高中数学笔记总结【高一至高三】.pdf

-1-高中数学知识点高中数学知识点 高中数学第一章高中数学第一章-集合集合 01.01.集合与简易逻辑集合与简易逻辑集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点知识要点知识要点一、知识结构一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A=B.如果CACBBA，那么，.注：Z=整数（）Z=全体整数（）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（）（例：S=N；A=N，则 CsA=0）空集的补集是全集.若集合 A=集合 B，则 CBA=，CAB =CS（CAB）=D （注 ：CAB =）.3.（x，y）|xy=0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集.-2-（x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例：1323yxyx 解的集合(2，1).点集与数集的交集是.（例：A=(x，y)|y=x+1 B=y|y=x2+1 则 AB=）4.n 个元素的子集有 2n个.n 个元素的真子集有 2n 1 个.n 个元素的非空真子集有 2n2 个.5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：若325baba或，则应是真命题.解：逆否：a=2 且 b=3，则 a+b=5，成立，所以此命题为真.，且21yx 3 yx.解：逆否：x+y=3x=1 或 y=2.21yx且3 yx,故3 yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若255pffxxx或，.4.集合运算：交、并、补.|,|,ABx xAxBABx xAxBAxUxAIUU交：且并：或补：且C5.主要性质和运算律（1）包含关系：,;,;,.UAAA AUAUAB BCAC ABA ABB ABA ABB IIUUC（2）等价关系：UABABAABBABUIUUC(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.1.整式不等式的解法整式不等式的解法根轴法根轴法（零点分段法）从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论.0 0 0 二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R的解集)0(02acbxax21xxxx 2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：cbax,与)0(ccbax型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.-4-个 个 个个 p个 q个 个 个个 p个 q个 个 个个 q个 p个 个 个 个个 q个 p个个个个个个个个个个个个个个个个（三）简易逻辑三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq”)；p 且 q(记作“pq”)；非 p(记作“q”)。3、“或”、“且”、“非”的真值判断（1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真4、四种命题的形式：原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章高中数学第二章-函数函数 02.02.函数函数函数函数 知识要点知识要点知识要点知识要点一、本章知识网络结构：一一一一一一一F:AB一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一二、知识回顾：（一）映射与函数 -5-1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数；若当 x1f(x2),则说 f(x)在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正正确确理理解解奇奇、偶偶函函数数的的定定义义。必必须须把把握握好好两两个个问问题题：（1 1）定定义义域域在在数数轴轴上上关关于于原原点点对对称称是是函函数数)(xf为为奇奇函函数数或或偶偶函函数数的的必必要要不不充充分分条条件件；（2 2）)()(xfxf或或)()(xfxf是是定定义义域域上上的的恒恒等等式式。2奇奇函函数数的的图图象象关关于于原原点点成成中中心心对对称称图图形形，偶偶函函数数的的图图象象关关于于y轴轴成成轴轴对对称称图图形形。反反之之亦亦真真，因因此此，也也可可以以利利用用函函数数图图象象的的对对称称性性去去判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性。3.奇奇函函数数在在对对称称区区间间同同增增同同减减；偶偶函函数数在在对对称称区区间间增增减减性性相相反反.4 如如果果)(xf是是偶偶函函数数，则则|)(|)(xfxf，反反之之亦亦成成立立。若若奇奇函函数数在在0 x时时有有意意义义，则则0)0(f。7.奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足 -6-定义域一定要关于y轴对称，例如：12 xy在)1,1 上不是偶函数.满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba ,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy 在)1,1 上不是奇函数.满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.8.对称变换：y=f（x）（轴对称xfyyy=f（x）（轴对称xfyxy=f（x）（原点对称xfy9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x）=1+xx1的定义域为 A，函数 ff（x）的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是 .解：)(xf的值域是)(xff的定义域B，)(xf的值域R，故RB，而 A1|xx，故AB.11.常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf.证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12.熟悉常用函数图象：例：|2xy|x关于y轴对称.|2|21xy|21xy|2|21xy22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（AB -7-xyxy xy(0,1)xy(-2,1)|122|2xxy|y关于x轴对称.熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域,3|Rxxx，值域,2|Ryyy值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数)10(aaayx且的图象和性质a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1.性质（5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数对数函数 y=logax 的图象和性质:对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21ffffff）xy23 -8-a10a1a0)1,0(x时 0y),1(x时0y -9-注：当0,pba时，)log()log()log(baba.：当0fM时，取“+”，当n是偶数时且0pM时，0fnM，而0pM，故取“”.例如：xxxaaalog2(log2log2Q中 x0 而2log xa中 xR）.xay（1,0aa f）与xyalog互为反函数.当1fa时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当10pp a时，则相反.（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21ffffff）注：当0,pba时，)log()log()log(baba.：当0fM时，取“+”，当n是偶数时且0pM时，0fnM，而0pM，故取“”.例如：xxxaaalog2(log2log2Q中 x0 而2log xa中 xR）.xay（1,0aa f）与xyalog互为反函数.当1fa时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当10pp a时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.（5）在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数 -10-.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x2；判定 f(x1)与 f(x2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学高中数学 第三章 数列考试内容：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实际问题 03.03.数数数数 列列列列 知识要点知识要点知识要点知识要点数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和 -11-1.等差、等比数列：等差数列等比数列定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGannn通项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公式A=2ba 推广：2na=mnmnaaabG2。推广：mnmnnaaa2性质1若 m+n=p+q 则 qpnmaaaa若 m+n=p+q，则qpnmaaaa。等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*ff knNkn）)0(fknknknknaaaaG（0,*ff knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm -12-2若nk成 A.P（其中Nkn）则nka也为 A.P。若nk成等比数列（其中Nkn），则nka成等比数列。3nnnnnsssss232,成等差数列。nnnnnsssss232,成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm 5看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n)bknan(kn,为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注：i.acb，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acb a、b、c 等比数列.ii.acb（ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要.iii.acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分.iv.acb且0fac为 a、b、c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个.nncqa(qc,为非零常数).正数列na成等比的充要条件是数列nxalog（1fx）成等比数列.数列na的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn注：danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数 -13-列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差na前 n 项和ndandBnAnSn22122 2d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为 2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇 得到所求项数到代入12 nn.3.常用公式：1+2+3+n=21nn 61213212222nnnnL 2213213333nnnL注：熟悉常用通项：9，99，999，110 nna；5，55，555，11095nna.4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1.其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元.因此，第二年年初可存款：)1(.)1()1()1(101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra.分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率.1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5.数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x 对应1na），并设二根21,xx若 -14-21xx 可设nnnxcxca2211.，若21xx 可设nnxncca121)(；由初始值21,aa确定21,cc.rPaann1（P、r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n 转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定.转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(LrrPaPnnPr211L.用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，.6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0pd时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01pnnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：,.21)12,.(413,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3.在等差数列na中,有关 Sn 的最值问题：(1)当1a0,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值.(2)当1a0 时，满足001mmaa的项数 m 使得ms取最小值。在解含绝 -15-对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于nnba其中 na是等差数列，nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+.+n=2)1(nn 2）1+3+5+.+(2n-1)=2n 3）2333)1(2121nnnL 4）)12)(1(613212222nnnnL 5）111)1(1nnnn )211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq高中数学第四章高中数学第四章-三角函数三角函数考试内容：考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 -16-弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinxarc-cosxarctanx 表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形（8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1”04.04.三角函数三角函数三角函数三角函数 知识要点知识要点知识要点知识要点1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|o终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180|o 终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|oo终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|o 终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|oo 终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|oo若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：ko360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：oo180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：ko180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：oo90360k2.角度与弧度的互换关系：360=2 180=1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad18057.30=5718 11800.01745（rad）3、弧长公式：rl|.扇形面积公式：211|22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；.yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）yxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1 2 3 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的 的 的P、x,y)-17-、-+-+、oooxyxyxy6、三角函数线 正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：三角函数 定义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossin cotsincos 1cottan 1cossin229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系 （二）角与角之间的互换sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tan sincoscossin)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12cos tantan1tantan)tan(42675cos15sinoo,42615cos75sinoo,3275cot15tanoo,3215cot75tanoo.sincos1cos1sincos1cos12tanTMAOPxy(3)个 ox2,个 sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16.个 个 个 个 个 个:OOxyxy -18-10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域RRR值域 1,1 1,1RAA,周期性 222奇偶性奇函数偶函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（Zk）2,12kk；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）.xysin与xycos的周期是.)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy 的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）.)sin(xy的对称轴方程是2 kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称OyxZkkxRxx,21|且xytanxycosxysin -19-当tan,1tan)(2Zkk；tan,1tan)(2Zkk.xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.函数xytan在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.abbabaycos)sin(sincos22 有yba22.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短yxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象 -20-（|1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。高中数学第五章高中数学第五章-平面向量平面向量05.平面向量平面向量平面向量平面向量 知知知知识识识识要点要点要点要点1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a；坐标表示法 aj j（，）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作a.(4)特殊的向量：零向量 aO OaO O.单位向量 aO为单位向量aO1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）2121yyxx(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 ab b.平行向量也称为共线向量.-21-3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)abxxyyrrabbarrrr()()abcabcrrrrrrACBCAB向量的减法三角形法则1212(,)abxxyyrr()abab rrrrABBA uuu ruu u r,ABOAOB数乘向量1.ar是一个向量,满足:|aarr2.0 时,aarr与同向;b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 定义域 1 0)(0)()()(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或 2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf 2 3（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgf xg xf xg xf xaaaf xg xaaaf xg xab abf xab（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；1 2应用化归思想等价转化 3)()()()(0)()0)(),(0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：2311 24(1)2(1)(1)()22 327xxxxx 2222232(1)(1)1 242 3(1)()22 3279xxxyxxyy类似于22sin cossin(1 sin)yxxxx，111|()2xxxxxx与同号，故取等 -30-高中数学第七章高中数学第七章-直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程07.07.直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程 知识要点知识要点知识要点知识要点一、直一、直线线方程方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是)0(1800ppoo.注：当o90或12xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0,0(,baba时，直线方程是：1byax.注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线.在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在y轴上的纵截距是21,bb，则1l212kkl，且21bb 或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l.两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在.0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在.（即01221BABA是垂直的充要条件）4.直线的交角：-31-直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当o90时21121tankkkk.两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当o90，则有21121tankkkk.5.过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6.点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd.注：1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(|yyxxPP.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：22|OPxy2.定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段1212PPPPPPuuu ruuu r所成的比为即,其中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 1,12121yyyxxx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0180）、斜率:tank4.过两点1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：.12()xx当2121,yyxx（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:2