高中数学知识点总结和大学所有数学公式.pdf

若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 1 页 共 81 页 高中数学第一章高中数学第一章-集合集合 考试内容：考试内容：集合、子集、补集、交集、并集集合、子集、补集、交集、并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件考试要求：考试要求：榆林教学资源网榆林教学资源网 http:/（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合（2）理解逻辑联结词）理解逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义条件及充要条件的意义01.集合与简易逻辑集合与简易逻辑集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点知识要点知识要点一、知识结构一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：二、知识回顾：（一）（一）集合集合1.1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集；如果如果BA，同时，同时AB，那么，那么 A=B.如果如果CACBBA，那么，.注注：Z=整数整数（）Z=全体整数全体整数（）已知集合已知集合 S 中中 A 的补集是一个有限集，则集合的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集也是有限集.（）（例：）（例：S=N；A=N，则，则 C CsA=0）空集的补集是全集空集的补集是全集.若集合若集合 A=集合集合 B，则，则 C CBA=，C CAB =C CS（C CAB）=D （注注 ：C CAB =）.3.（x，y）|xy=0，xR，yR坐标轴上的点集坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集二、四象限的点集.若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 2 页 共 81 页 （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集一、三象限的点集.注注：对方程组解的集合应是点集对方程组解的集合应是点集.例：例：1323yxyx 解的集合解的集合(2，1).点集与数集的交集是点集与数集的交集是.（例：（例：A=(x，y)|y=x+1 B=y|y=x2+1 则则 AB=）4.n 个元素的子集有个元素的子集有 2n个个.n 个元素的真子集有个元素的真子集有 2n 1 个个.n 个元素的非空真子集有个元素的非空真子集有 2n2 个个.5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题否命题逆命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题原命题逆否命题逆否命题.例：例：若若325baba或，则应是应是真命题真命题.解：逆否：解：逆否：a=2 且且 b=3，则，则 a+b=5，成立，所以此命题为真，成立，所以此命题为真.，且21yx 3 yx.解：逆否：解：逆否：x+y=3x=1 或或 y=2.21yx且3 yx,故故3 yx是是21yx且的既不是充分，又不是必要条件的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.3.例：若例：若255pffxxx或，.4.4.集合运算：交、并、补集合运算：交、并、补.|,|,ABx xAxBABx xAxBAxUxAIUU交：且并：或补：且C5.5.主要性质和运算律主要性质和运算律（1 1）包含关系：包含关系：,;,;,.UAAA AUAUAB BCAC ABA ABB ABA ABB IIUUC（2 2）等价关系：等价关系：UABABAABBABUIUUC（3 3）集合的运算律：集合的运算律：交换律：交换律：.;ABBAABBAUUII 结合律结合律:)()();()(CBACBACBACBAUUUUIIII 分配律分配律:.:.)()()();()()(CABACBACABACBAUIUIUIUIUI0-10-1 律：律：,AAA UAA UAU IUIU等幂律：等幂律：.,AAAAAAUI求补律：求补律：ACACU UA=A=ACACU UA=UA=U C CU UU=U=C CU U=U=U 反演律：反演律：C CU U(AB)=(AB)=(C(CU UA)(CA)(CU UB)B)C CU U(AB)=(AB)=(C(CU UA)(CA)(CU UB)B)6.6.有限集的元素个数有限集的元素个数若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 3 页 共 81 页 定义：有限集定义：有限集 A A 的元素的个数叫做集合的元素的个数叫做集合 A A 的基数，记为的基数，记为 card(card(A)A)规定规定 card()card()=0.=0.基本公式：基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card ABcard Acard Bcard ABcard ABCcard Acard Bcard Ccard ABcard BCcard CAcard ABCUIUUIIIII(3)(3)card(card(U UA)=A)=card(U)-card(U)-card(A)card(A)(二二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.1.整式不等式的解法整式不等式的解法根轴法（零点分段法）根轴法（零点分段法）将不等式化为将不等式化为 a a0 0(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(x-x)(x-xm m)0(0(0”,“0”,则找则找“线线”在在 x x 轴上方的区间；若不等式是轴上方的区间；若不等式是“0”,“baxb 解的讨论；解的讨论；一元二次不等式一元二次不等式 axax2 2+box0(a0)+box0(a0)解的讨论解的讨论.0 0 0 二次函数二次函数cbxaxy2（0a）的图象）的图象一元二次方程一元二次方程的根002acbxax有两相异实根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根有两相等实根abxx221 无实根无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R R的解集)0(02acbxax21xxxx 若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 4 页 共 81 页 个 个 个个 p个 q个 个 个个 p个 q个 个 个个 q个 p个 个 个 个个 q个 p个个个个个个个个个个个个个个个个2.2.分式不等式的解法分式不等式的解法（1 1）标准化：移项通分化为）标准化：移项通分化为)()(xgxf0(0(或或)()(xgxf0)0)；)()(xgxf 0(0(或或)()(xgxf0)0)的形式，的形式，（2 2）转化为整式不等式（组）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf3.3.含绝对值不等式的解法含绝对值不等式的解法（1 1）公式法：）公式法：cbax,与与)0(ccbax型的不等式的解法型的不等式的解法.（2 2）定义法：用）定义法：用“零点分区间法零点分区间法”分类讨论分类讨论.（3 3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.4.一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布一元二次方程一元二次方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)（1 1）根的）根的“零分布零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2 2）根的）根的“非零分布非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑（三）简易逻辑1 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或或”、“且且”、“非非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词命题和逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”构成的命题是复合命题。构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：构成复合命题的形式：p p 或或 q(q(记作记作“pq”“pq”)；p p 且且 q(q(记作记作“pq”“pq”)；非；非 p(p(记作记作“q”“q”)。3 3、“或或”、“且且”、“非非”的真值判断的真值判断（1 1）“非非 p”p”形式复合命题的真假与形式复合命题的真假与 F F 的真假相反；的真假相反；（2 2）“p“p 且且 q”q”形式复合命题当形式复合命题当 P P 与与 q q 同为真时为真，其同为真时为真，其他情况时为假；他情况时为假；（3 3）“p“p 或或 q”q”形式复合命题当形式复合命题当 p p 与与 q q 同为假时为假，其同为假时为假，其他情况时为真他情况时为真4 4、四种命题的形式：、四种命题的形式：原命题：若原命题：若 P P 则则 q q；逆命题：若逆命题：若 q q 则则 p p；否命题：若否命题：若PP 则则qq；逆否命题：若；逆否命题：若qq 则则pp。(1)(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5 5、四种命题之间的相互关系：、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题原命题逆否命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6 6、如果已知、如果已知 p pq q 那么我们说，那么我们说，p p 是是 q q 的充分条件，的充分条件，q q 是是 p p 的必要条件。的必要条件。若若 p pq q 且且 q qp,p,则称则称 p p 是是 q q 的充要条件，记为的充要条件，记为 p pq.q.若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 5 页 共 81 页 7 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章高中数学第二章-函数函数考试内容：考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性映射、函数、函数的单调性、奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系反函数互为反函数的函数图像间的关系指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数对数对数的运算性质对数函数对数对数的运算性质对数函数函数的应用函数的应用考试要求：考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念）了解映射的概念，理解函数的概念（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质和性质（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 02.函数函数函数函数 知识要点知识要点知识要点知识要点一、本章知识网络结构：一、本章知识网络结构：一一一一一一一F:AB一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一二、知识回顾：二、知识回顾：（一）（一）映射与函数映射与函数1.映射与一一映射映射与一一映射2.函数函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数反函数的定义反函数的定义设函数设函数)(Axxfy的值域是的值域是 C，根据这个函数中，根据这个函数中 x,y 的关系，用的关系，用 y 把把 x 表示出，得表示出，得到到 x=(y).若对于若对于 y 在在 C 中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过 x=(y)，x 在在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示就表示 y 是自变量，是自变量，x 是自变量是自变量 y 的函数，这样的函数的函数，这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数叫做函数)(Axxfy的反函数，记作的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成习惯上改写成)(1xfy（二）函数的性质（二）函数的性质若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 6 页 共 81 页 函数的单调性函数的单调性定义：对于函数定义：对于函数 f(x)的定义域的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,若当若当 x1x2时，都有时，都有 f(x1)f(x2),则说则说 f(x)在这个区间上是增函数；在这个区间上是增函数；若当若当 x1f(x2),则说则说 f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.若函数若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性函数的奇偶性正正确确理理解解奇奇、偶偶函函数数的的定定义义。必必须须把把握握好好两两个个问问题题：（1 1）定定义义域域在在数数轴轴上上关关于于原原点点对对称称是是函函数数)(xf为为奇奇函函数数或或偶偶函函数数的的必必要要不不充充分分条条件件；（2 2）)()(xfxf或或)()(xfxf是是定定义义域域上上的的恒恒等等式式。2奇奇函函数数的的图图象象关关于于原原点点成成中中心心对对称称图图形形，偶偶函函数数的的图图象象关关于于y轴轴成成轴轴对对称称图图形形。反反之之亦亦真真，因因此此，也也可可以以利利用用函函数数图图象象的的对对称称性性去去判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性。3.奇奇函函数数在在对对称称区区间间同同增增同同减减；偶偶函函数数在在对对称称区区间间增增减减性性相相反反.4 如如果果)(xf是是偶偶函函数数，则则|)(|)(xfxf，反反之之亦亦成成立立。若若奇奇函函数数在在0 x时时有有意意义义，则则0)0(f。7.奇函数，偶函数：奇函数，偶函数：偶函数：偶函数：)()(xfxf设（设（ba,）为偶函数上一点，则（）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于定义域一定要关于y轴对称，例如：轴对称，例如：12 xy在在)1,1 上不是偶函数上不是偶函数.满足满足)()(xfxf，或，或0)()(xfxf，若，若0)(xf时，时，1)()(xfxf.奇函数：奇函数：)()(xfxf设（设（ba,）为奇函数上一点，则（）为奇函数上一点，则（ba ,）也是图象上一点）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：定义域一定要关于原点对称，例如：3xy 在在)1,1 上不是奇函数上不是奇函数.若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 7 页 共 81 页 xy满足满足)()(xfxf，或，或0)()(xfxf，若，若0)(xf时，时，1)()(xfxf.8.对称变换：对称变换：y=f（x）（轴对称xfyyy=f（x）（轴对称xfyxy=f（x）（原点对称xfy9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论在进行讨论.10.外层函数的定义域是内层函数的值域外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数例如：已知函数 f（x）=1+xx1的定义域为的定义域为 A，函数，函数 ff（x）的定义域是的定义域是 B，则集合，则集合 A 与集合与集合 B 之间之间的关系是的关系是 .解：解：)(xf的值域是的值域是)(xff的定义域的定义域B，)(xf的值域的值域R，故，故RB，而，而 A1|xx，故，故AB.11.常用变换：常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf.证：证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：证：)()()()(yfyxfyyxfxf12.熟悉常用函数图象：熟悉常用函数图象：例：例：|2xy|x关于关于y轴对称轴对称.|2|21xy|21xy|2|21xyxy xy(0,1)xy(-2,1)|122|2xxy|y关于关于x轴对称轴对称.熟悉分式图象：熟悉分式图象：例：例：372312xxxy定义域定义域,3|Rxxx，值域值域,2|Ryyy值域值域x前的系数之比前的系数之比.（三）指数函数与对数函数（三）指数函数与对数函数22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（AB xy23若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 8 页 共 81 页 指数函数指数函数)10(aaayx且的图象和性质的图象和性质a1a10a10a0(4)x0 时，时，y1;x1;x0 时，时，0y10y0(4)x0 时，时，0y1;x00y1;x1.y1.性性质质（5 5）在）在 R R 上是增函数上是增函数（5 5）在）在 R R 上是减函数上是减函数对数函数对数函数 y=logax 的图象和性质的图象和性质:对数运算：对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21ffffff）若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 9 页 共 81 页 注注：当：当0,pba时，时，)log()log()log(baba.：当：当0fM时，取时，取“+”，当，当n是偶数时且是偶数时且0pM时，时，0fnM，而，而0pM，故取，故取“”.例如：例如：xxxaaalog2(log2log2Q中中 x0 而而2log xa中中 xR）.xay（1,0aa f）与）与xyalog互为反函数互为反函数.当当1fa时，时，xyalog的的a值越大，越靠近值越大，越靠近x轴；当轴；当10pp a时，则相反时，则相反.（四）方法总结（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：对数运算：a1a10a10a1a0y0)1,0(x时时 0y ),1(x时时0y性性质质（5 5）在（）在（0 0，+）上是增函数）上是增函数在（在（0 0，+）上是减函数）上是减函数若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 10 页 共 81 页 nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21ffffff）注注：当：当0,pba时，时，)log()log()log(baba.：当：当0fM时，取时，取“+”，当，当n是偶数时且是偶数时且0pM时，时，0fnM，而，而0pM，故取，故取“”.例如：例如：xxxaaalog2(log2log2Q中中 x0 而而2log xa中中 xR）.xay（1,0aa f）与）与xyalog互为反函数互为反函数.当当1fa时，时，xyalog的的a值越大，越靠近值越大，越靠近x轴；当轴；当10pp a时，则相反时，则相反.函数表达式的求法：函数表达式的求法：定义法；定义法；换元法；换元法；待定系数法待定系数法.反函数的求法：先解反函数的求法：先解 x,x,互换互换 x x、y y，注明反函数的定义域，注明反函数的定义域(即原函数的值域即原函数的值域).).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常常涉及到的依据为涉及到的依据为分母不为分母不为 0 0；偶次根式中被开方数不小于偶次根式中被开方数不小于 0 0；对数的真数大于对数的真数大于 0 0，底数大于零且不，底数大于零且不等于等于 1 1；零指数幂的底数不等于零；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：函数值域的求法：配方法配方法(二次或四次二次或四次)；“判别式法判别式法”；反函数法；反函数法；换元法；换元法；不等式法；不等式法；函数的单调性法函数的单调性法.单调性的判定法：单调性的判定法：设设 x x1,x,x2是所研究区间内任两个自变量，且是所研究区间内任两个自变量，且 x x1x x2；判定判定 f(xf(x1)与与 f(xf(x2)的的大小；大小；作差比较或作商比较作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)f(-x)与与 f(x)f(x)之间的关系：之间的关系：f(-x)f(-x)=f(x)=f(x)为偶函数；为偶函数；f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)为奇函数；为奇函数；f(-x)-f(x)=0f(-x)-f(x)=0 为偶；为偶；f(x)+f(-x)=0f(x)+f(-x)=0 为奇；为奇；f(-x)/f(x)=1f(-x)/f(x)=1 是是偶；偶；f(x)f(-x)=-1f(x)f(-x)=-1 为奇函数为奇函数.图象的作法与平移：图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学高中数学 第三章第三章 数列数列考试内容：考试内容：数列数列等差数列及其通项公式等差数列前等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式项和公式等比数列及其通项公式等比数列前等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式项和公式考试要求：考试要求：若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 11 页 共 81 页 （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实际问题项和公式，井能解决简单的实际问题 03.03.数数数数 列列列列 知识要点知识要点知识要点知识要点等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义daann1)0(1qqaann递推公式递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项中项2knknaaA（0,*ff knNkn）)0(fknknknknaaaaG（0,*ff knNkn）前前n项和项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质重要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 12 页 共 81 页 1.1.等差、等比数列：等差、等比数列：等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGannn通项公通项公式式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公求和公式式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公中项公式式A=2ba 推广：推广：2na=mnmnaaabG 2。推广：。推广：mnmnnaaa21若若 m+n=p+q 则则 qpnmaaaa若若 m+n=p+q，则，则qpnmaaaa。2若若nk成成 A.P（其中（其中Nkn）则）则nka也为也为 A.P。若若nk成等比数列成等比数列（其中（其中Nkn），），则则nka成等比数列。成等比数列。3nnnnnsssss232,成等差数列。成等差数列。nnnnnsssss232,成等比数列。成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm 性质性质5看数列是不是等差数列有以下三种方法：看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n)bknan(kn,为常数为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注注：i.acb，是，是 a、b、c 成等比的双非条件，即成等比的双非条件，即acb a、b、c 等比数列等比数列.ii.acb（ac0）为为 a、b、c 等比数列的充分不必要等比数列的充分不必要.若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 13 页 共 81 页 iii.acb为为 a、b、c 等比数列的必要不充分等比数列的必要不充分.iv.acb且且0fac为为 a、b、c 等比数列的充要等比数列的充要.注意：任意两数注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个，则等比中项一定有两个.nncqa(qc,为非零常数为非零常数).正数列正数列na成等比的充要条件是数列成等比的充要条件是数列nxalog（1fx）成等比数列）成等比数列.数列数列na的前的前n项和项和nS与通项与通项na的关系：的关系：)2()1(111nssnasannn注注：danddnaan111（d可为零也可不为零可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）差数列）若若d不为不为 0，则是等差数列充分条件），则是等差数列充分条件）.等差等差na前前 n 项和项和ndandBnAnSn22122 2d可以为零也可不为零可以为零也可不为零为等差的充要条为等差的充要条件件若若d为零，则是等差数列的充分条件；若为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）（不是非零，即不可能有等比数列）2.等差数列依次每等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为若等差数列的项数为 2Nnn，则，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为若等差数列的项数为Nnn12，则，则nnanS1212，且，且naSS偶奇，1nnSS偶奇 得到所求项数到代入12 nn.3.常用公式：常用公式：1+2+3+n=21nn 61213212222nnnnL 2213213333nnnL注注：熟悉常用通项：熟悉常用通项：9，99，999，110 nna；5，55，555，11095nna.4.等比数列的前等比数列的前n项和公式的常见应用题：项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为例如，第一年产量为a，年增长率为，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，则每年的产量成等比数列，公比为公比为r1.其中第其中第n年产量为年产量为1)1(nra，且过，且过n年后总产量为：年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存例如：一年中每月初到银行存a元，利息为元，利息为r，每月利息按复利计算，则，每月利息按复利计算，则每月的每月的a元过元过n个月后便成为个月后便成为nra)1(元元.因此，第二年年初可存款：因此，第二年年初可存款：若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 14 页 共 81 页 )1(.)1()1()1(101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra.分期付款应用题：分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为为分期付款方式贷款为 a 元；元；m 为为 m 个月将款全部付清；个月将款全部付清；r为年利率为年利率.1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5.数列常见的几种形式：数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）为二阶常数）用特证根方法求解用特证根方法求解.具体步骤：具体步骤：写出特征方程写出特征方程qPxx2（2x对应对应2na，x 对应对应1na），并设二根），并设二根21,xx若若21xx 可可设设nnnxcxca2211.，若，若21xx 可设可设nnxncca121)(；由初始值由初始值21,aa确定确定21,cc.rPaann1（P、r 为常数）为常数）用用转化等差，等比数列；转化等差，等比数列；逐项选代；逐项选代；消去常数消去常数 n 转化为转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求的形式，再用特征根方法求na；121nnPcca（公式法），（公式法），21,cc由由21,aa确定确定.转化等差，等比：转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.选代法：选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(LrrPaPnnPr211L.用特征方程求解：用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.由选代法推导结果：由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，.6.几种常见的数列的思想方法：几种常见的数列的思想方法：等差数列的前等差数列的前n项和为项和为nS，在，在0pd时，有最大值时，有最大值.如何确定使如何确定使nS取最大值时的取最大值时的n值，有两种方法：值，有两种方法：一是求使一是求使0,01pnnaa，成立的，成立的n值；二是由值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求利用二次函数的性质求n的值的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：例如：,.21)12,.(413,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法定义法:对于对于 n2 的任意自然数的任意自然数,验证验证)(11nnnnaaaa为同一常数。为同一常数。(2)通项公式法。通项公式法。(3)中项公式法中项公式法:验证验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。都成立。若非一番寒彻骨 那得梅花扑鼻香 天道酬勤天行健，君子以自强不息地势坤，君子以厚德载物 第 15 页 共 81 页 3.在等差数列在等差数列na中中,有关有关 Sn 的最值问题：的最值问题：(1)当当1a0,d0 时，满足时，满足001mmaa的项数的项数 m 使得使得m