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专升本高数二第03讲讲义

不定积分
一、不定积分
1、原函数

二、换元积分法
1、第一换元法（凑微分法）
（1）直接凑
要求不定积分，首先考虑能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中没有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接凑。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】 积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是x，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的，所以做题时要凑成一致的。
（2）间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分，变形，可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分，再凑公式。
特点：被积函数中含有导数关系。
2、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）
（1）根式换元
特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁
三、分部积分法
分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分，当被积函数是两个函数的乘积，而又没有导数关系时，考虑分部积分法。
1、分部积分法原则

【注】 （1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。
（2）有时通过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。

定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限）

二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质，考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导，主要的考查题型是：直接给一个变限积分，进行求导；定积分求导；含有变限积分的极限问题。

四、第一换元法（凑微分法）（积分上下限可保持不变）
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
（1）直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
（2）间接凑（先凑微分，再凑公式）（被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）（注意积分上下限的变化）
（1）根式换元
特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁
【注】（1）由于换元中积分变量发生了变化，所以其对应的积分上下限也会发生变化，定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化；
（2）定积分的计算不需要回代。
六、定积分的分部积分法

定积分的应用
一、平面图形的面积计算
① 上下结构的平面图形的面积：

法则：被积函数右减左，积分区间看上下。
步骤 (1)画图；

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