影院座位设计建模论文.pdf

1影院座位设计影院座位设计摘摘 要要本文研究了电影院的座位设计问题，观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角，视角越大，仰角越小，满意度就越大。根据这一条件，建立模型，进行比较，提出了增加观众平均满意度的设计改进方案。问题一：当一定时，满意程度主要取决于视角与仰角，由图中的几何关系建立的数学模型，以数形结合结合的方法进行分析，利用 Matlab 软件作图，通过图像得知视角与仰角的变化关系，在时取到最佳位置，此时30最大值为，其对应的 x 的值为 1.7282 米，结合实际考虑离散化的情13.9174形，相邻两排座位间的间距相等，取为 0.8 米【1】这个最佳位置应当是影院的第四排。问题二：运用题目中的已知条件，在某一座位选定时（即 x 的值确定时），通过分析视角与地板线倾角的内在关系，随着地板线倾角的增大，视角逐渐增大；并且，由与的关系，角越大，角不超过的区域越大，即仰30角不超过条件的座位所占比例越大。给出合理的约束条件，找到约束条件下的最优解，考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的值，解出时达15.054到平均观众满意度的最大值。问题三：先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高角的平均值。再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方，由问题二中的模型求解知当时，观众的15.054平均满意度最大。由引理，考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施。如果考虑到人的眼睛到头顶的距离 0.1m，若后排不被前排挡住视线，地板线倾角在范围内变化。利用 C 语言进行搜索求出最大平均视7.12515.054:角，倾角.座位安排为第一排被抬高 3.1m 的倾斜6.4355Dym7.125直线，过直线首尾端点，以高于直线 0.01m,采用 x 为 y 的二次曲线进行拟合，得到的拟合二次函数的表达式为：.最大平均视20.00730.16184.1940yxx 角将在原有基础上提高，得出改进后的地板线会提高观众的平均满意程度。2关键词关键词：最佳位置；平均满意度；座位排列形状；二次拟合1.1.问题的重述问题的重述 影院中，观众在座位上的满意程度主要取决于视角 和仰角。视角 是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角 是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，仰角太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感。一般要求仰角不超过 30.现假设影院屏幕高 h，上边缘距地面高 H，地板线倾角，第一排与屏幕水平距离 d，最后一排座位与屏幕水平距离 D，观众平均坐高 c 为已知条件。（其中 h=1.8m,H=5m,d=4.5m,D=19m,c=1.1m）现有以下几个问题：（1）地板倾角，试找出最佳座位在什么地方；10（2）试求所有观众满意程度最大的时候的倾角（一般不超过）；20（3）地板线设计成什么形状时，可以进一步提高观众的满意程度。2 2问题的分析问题的分析 问题要求我们从不同的角度考虑影院设计对观众满意程度的影响。观众在座位上的满意程度主要取决于视角 和仰角。视角 是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角 是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，前两问我们可以用建立直角坐标系并找到相关量的关系并建立相应函数的方法来解决。第三问是较为开放的一问。要求我们开放思维，去大胆并且合理地设想符合条件的最优化的座位排列方式，先考虑改进直线的情况下的最优方案，因此改进计划中第一要解决的就是使角符合条件区域更广；其次，还要尽可能的进一步提高角的平均值。再对直线地板先来改进设计，保证对应的座位点的坐标均在抛物线上，且均在平均满意度最大的直线的上方并结合相应3的数学模型，给出较为严谨的数学推导与证明。仰角在满足条件的范围内,最佳座位处视角最大。（4）根据要求 一般不超过 30，所以 0，30，我们知道，实际中影院的座位是离散的，而非连续的。故我们要在符合题目条件的情况下找到最接近连续情况下考虑的最优解的离散解，从而找出最佳座位在什么地方。接下来考虑视角 和仰角，试求所有观众满意程度最大的时候的倾角（一般不超过），再通过考虑视角 和仰角 及角，给出地板线设计成什么形状时，20可以进一步提高观众的满意程度。3 3模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明3 31 1 模型的假设模型的假设（1）忽略观众看电影时，个人视力因素的影响；（2）观众席座位等高；（3）各排座位之间距离相等；（4）同一排座位，观众的满意程度相同.；（5）最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；（6）影院的的地板成阶梯状；（7）把观众的眼睛看作一个点；（8）观众的平均满意度只取决于视角和仰角，其他因素忽略不计；（9）相邻两排座位间的间距相等，取为 0.8 米【1】；(10)假设屏幕的长度与座位的排长相等;3 32 2 符号说明符号说明 :观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角）（单位：度）:观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角）（单位：度）:地板线倾角（单位：度）:影院屏幕高（单位：m）h:上边缘距地面高（单位：m）H:第一排座位与屏幕水平距离（单位：m）d:最后一排座位与屏幕水平距离（单位：m）D:观众平均坐高（指眼睛到地面的距离）（单位：m）c44 4模型的准备模型的准备为了建立模型，解决问题，首先我们准备一下工作：以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图 1 所示：其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。ABMSOE5 5模型的建立与求解模型的建立与求解5 51 1 问题问题 1 1 的模型建立与求解的模型建立与求解仰角在满足条件的范围内,最佳座位处视角最大。根据要求 一般不超过 30，所以 0，30以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图 1 所示：ctanxhcHhhH ddD EStanxBOMNP屏幕地面地板视觉线xc图 1 影院座位设计的剖面图xyA5其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。ABMSOE则由图可设视觉线上任意一点的坐标为，屏幕上下点的坐标分OEP)tan,(xx别为，的斜率记为,的斜率记为。),(cHdA),(chHdBAPAPkBPBPk由斜率公式得：，)(tantandxcHxkAP)(tan)tan(dxchHxkBP则直线和的斜率与夹角满足如下关系：APBP 【1】)tan)(tan()()(1tan2chHxcHxdxdxhkkkkAPBPAPBP当=10时，tan=0.176,【2】tan3.94.5tantantan0.176tanHcdx g将【2】式中 x 的表达式及相关已知量的值代入【1】式中可得：23.94.5tan1.8(4.5)0.176tantan3.94.5tan3.94.5tan3.94.5tan(4.5)(0.1765 1.1)(0.1765 1.8 1.1)0.176tan0.176tan0.176tan 通过 matlab 作图可以得到与的关系图像如下：（程序见附录一）ctanxhcHhhH ddD EStanxBOMNP屏幕地面地板视觉线xc图 1 影院座位设计的剖面图xyA600.20.40.60.811.21.41.600.050.10.150.20.250.30.35由图像可以看出，时，随着的增加而增加。（由题300.526 时，会导致观众不舒适，故只考虑的情况。）并且我们由题可以3030知道，的值时越大越利于提高观众满意度，所以可以推得最佳的位置应当在处，利用 matlab 可以算的此时，,最佳位置距墙3013.91741.7282x 的距离为 6.2282m.但是我们知道，实际中影院的座位是离散的，而非连续的。故我们要在符合题目条件的情况下找到最接近连续情况下考虑的最优解的离散解，这就要考虑影院座位前后间距的问题了。根据有关资料可以查的，一般影院的座位前后间距约为 0.8m，故 x 的值可离散化为如下以 0.8【1】为公差等差数列：0，0.8，1.6，2.4，3.2，4.0，4.8，5.6，6.4，7.2，8.0，14.4.因此，符合题意并考虑到实际情况的最后解应当为 x=2.4,处，即影院座位的第四排处。当然，在不同座位间距下，我们仍然可以依照此法快速求出最佳位置的排数。5.25.2 问题问题 2 2 的模型建立与求解的模型建立与求解 由题分析可知，要使观众的满意程度达到最大，有两个方面因素：(1)仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2)所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。并且，为了保证后排观众的满意程度，我们限定最后一排观众的眼睛不超过屏幕上边缘。结合问题 1 中的结论，可得与的关系式为：7 【1】2()tan1()(tan)(tan)BPAPBPAPkkh xdkkxdxHc xHhc易得与的关系如下：.tantan4.5Hcxx 由此可见，在某一座位选定时（即 x 的值确定时），随着地板线倾角的增大，视角逐渐增大；并且，角越大，角不超过的区域越大，即仰角不30超过条件的座位所占比例越大。考虑到最后一排观众视高不超过屏幕上边缘的限定，我们可以得出合理的值应当满足，即.tanHcDd15.054因此综上，取到时所有观众的平均满意程度最大。15.0545.35.3 问题问题 3 3 的模型建立与求解的模型建立与求解问题 2 中求得的最优解中，第一排的，超过了arctan()40.914Hcd条件中的，因此改进计划中第一要解决的就是使角符合条件区域更广；30其次，还要尽可能的进一步提高角的平均值。引理引理 竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。证明见附录二。于是似乎地板线设计成水平面，高度为，即屏幕的垂直平分线，这样所2hH 有点的视角都最大。但实际上某人的视角范围内里有其他人时，视角就要减小，如上述水平面，只有第一排观众视角最大，其它排的视角为其一半，若考虑眼睛到头顶的高度，则视角更小。可见，第一排观众的视高不能超过屏幕下边缘的高度，否则后面的人就会被挡住。也就是说座位（考虑人的视高）的平均高度要尽量接近屏幕的中垂线，且要尽量防止前排观众挡住后排观众的一部分视线（可通过增加排间高度差来实现）。这正好验证了第 2 问的结论，地板线倾角时，平均视角最大，因为这样才能使所有的点距屏幕中垂线最近。15.054那么如何进一步提高观众的满意度呢？考虑到屏幕中垂线处视角最大，可采取抬高各排高度的措施。由题，各排的排间高度差相等时，则观众眼睛连线为直线。如果考虑到人的眼睛到头顶的距离（按照平均水平并理想化，这个距离给定为0.1m），若后排不被前排挡住视线（理想简化模型，不考虑靠后的座位视角下边被前排遮挡的8情况），则地板线倾角应当至少为.经过进一步分析，平0.1arctan7.1250.8均视角最大的情况只可能在一下条件下发生：（1）最后一排观众的视高在范围内变化；（2）地板线倾角在范围内变化。因()2hHH:7.12515.054:此，我们在这两个条件的约束下求解最优解。设最后一排的坐标，列出直线方程：，于是，(,)DD ytan()DyyxDd观众眼睛的位置可以表示为：。我们利用C语言进行搜(,()tan)Dx xDdy索（具体程序见附录三），求出最大平均视角，倾角6.4355Dym.座位安排的示意图如下：7.125在直线阶梯状的基础上充分考虑到，的限制因素，平均满意度主要取决于视角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除n以就得到，于是我们就得到下列关系式：n11(,)niiniinfn 为了保证第排座位所在的位置应高于第排座位所在的高度；前一排的k1k观众不会挡住后一排，同时满足观众的视线视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近，且仰角大的座位所占的比例尽可能小。因此，对原直线模型各排的座高尽可能改进到视角尽可能大，现设计如下模型：92(1)cos)tan(1)cos)(1)costan)(1)costan)h kldkldklHcklHhc211215.030平均满意度最大的地板线设计改进后的地板线运用第一问中的三个模型分别探讨第二问要就的值，使观众的平均满意度最大。由平均座高 1.1m 可求出倾角的最大值为S5 1.1arctan15.0314.5只有未知量，且，其中在直线模型的基础上，不改变第一排015.03及最后一排的位置，为达到平均视角最大，仰角较小，对中间各排座位的高度进行一下调整，设计趋近直线型的抛物线递增型，且其导函数递减型的座高模型，以提高平均视角，即进一步提升观众的满意度，x 分别为0，0.8，1.6，2.4，3.2，4.0，4.8，5.6，6.4，7.2，8.0，8.8，9.6，10.4，11.2，12.0，12.8，13.6，14.4，且有曲线上的点（0,4.194）、（4.8,4.802）、（14.5，5）通过曲线的二次拟合给定抛物线形如图所示。（程序见附录四）10-5.1-5-4.9-4.8-4.7-4.6-4.5-4.4-4.3-4.2-4.1-15-10-50得到的拟合二次函数的表达式为：.20.00730.16184.1940yxx 易得此时观众的平均视角得到进一步提升，仰角在条件范围内的区域增大，即观众满意度得到了进一步提升。6 6模型结果的分析与检验模型结果的分析与检验 我们可以看到，我们的模型中有许多结合实际考虑的部分，例如考虑到实际座位前后间隔，和实际中前排观众对后排观众视角的影响等。这样的考虑，使得我们的模型具有了一定的实际运用价值以及更加好的合理性。对问题一，我们可设计如下模型进行结果的检验)tan)(tan()()(arctanmax2chHxcHxdxdxhtantan33330.cHxdcHdDxts对问题二，我们可做如下算法设计进行结果的检验11（1）让地板线倾角 在内逐一取值，步长为 0.01;20,00（2）让 x 在4.5,19内逐一取值，步长为；l（3）对一个取定的，判断 x 所在的位置仰角是否超过，若仰角030超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角 和视角030 的取值，否则，只需要考虑视角 的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时 的取值；（4）改变值，重新求值、判断.从而来检验我们模型中的结果计算结果为：（程序见附录五）015.0543对问题三，我们可做如下算法思路设计进行结果的检验第排观众的满意度为,则观众平均满意程度函数为：，平kSnSSnkk1均满意度的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。S所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即取某一定值)，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐x渐增大，仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。第一排观众的仰角为，不满足仰角的条件，o9149.40可知第排座位所对应的仰角的正切值：k nkdlkcHlkk,3,2,1,)(cos)1(tancos)1(tanL其中为地板线上的座位的总排数：，随着地板线倾角的n1cos5.14ln变化，相邻两排座位间的间距 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。l由于地板线倾角不超过，所以，并限制最后一排观众的视高不o202019 n要超过屏幕的上边缘，即。o0543.15可求出第排座位所对应的水平视角的正切值为：k2(1)cos)tan(1)cos)(1)costan)(1)costan)h kldkldklHcklHhc当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出，oo8975.151143.5。oo9149.400设计优化模型对模型结果进行检验：12平均满意度的优化模型为：nSSnkk1max取整数其中nnklkxdDxnts,2,1,cos)1(00543.1502019.Loo同时附加条件,用以限制前一排不遮挡后一排视角，将每一排的座10.1kkyy位高度座位要求解的对象，以平均视角最大，即满意度为目标函数，建立一个合理的动态规划模型，在满足，和后排高于前排的约束条件下求3020得各排高度散点图的最优解。然后将满足约束条件的散点图的高度设计成相应排座位的高度，即可结合实际给出地板线设计形状，通过模型平均视角的求解合理给出满意度界定标准，从而与问题三模型结果进行比较，可得问题三模型结果的正确性，合理性。求解过程中，我们的模型进行了多处的理想假设，估算以及拟合操作，这样必然会有一定的误差。关于误差的分析，在前文必要位置我们已经对产生误差的原因作出了说明和解释，在此不再赘述。7 7模型的推广与改进模型的推广与改进 通过对问题的进一步研究以及对影院的实地考察，我们提出以下解决该问题的思路：我们将每一排的高度座位分开考虑的变量，通过每一排高度和视角、仰角以及地板线倾角的关系，列出每一排高度表达的、，用作为目标max函数，利用运筹学中的动态规划模型求解其满足，和后排高于前3020排的约束条件下的最优解。其中求解过程运用 lingo 软件实现。建立平均满意度的优化模型为：nSSnkk1max13取整数其中nnklkxdDxnts,2,1,cos)1(00543.1502019.Loo同时附加条件,用以限制前一排不遮挡后一排视角，将每一排10.1kkyy的座位高度座位要求解的对象，以平均视角最大，即满意度为目标函数，建立一个合理的动态规划模型，在满足，和后排高于前排的约束条件3020下求得各排高度散点图的最优解。也可根据求出第排座位所对应的水平视角k的正切值为：2(1)cos)tan(1)cos)(1)costan)(1)costan)h kldkldklHcklHhc以作为目标函数，将、，及地板线倾角转化为每排高度控制的函maxky数关系式，代入平均满意度的优化模型，可得出以条件为状态转10.1kkyy移方程的动态规划模型，然后利用反向算法进行模型的求解，将满足约束条件的散点图的高度设计成相应排座位的高度，即可结合实际给出地板线设计形状，通过模型平均视角的求解合理给出满意度界定标准，此模型图，设身处地，从每排观众的角度，通过控制座位高度，已达到该排观众尽可能的满意，从而具有精确性，合理性，但模型受实际场地的具体限制，需要大量动态变量下的运算，推广价值与文中模型相比，有待提升。本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用,所建立的模型可用于大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。同时对于已知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:运用该模型去解决会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和推广性。我们建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，本文所建立的模型不但能指导多媒体教室的设计，对标准篮球的设计也具有参考意义.运用我们所建立的模型，对于已知剖面来分析物体的形状这一类型的问题的处理有很好的参考价值.例如：运用该模型去解决房间的布局，旗杆高度的设计等相关的问题.8 8模型的优缺点模型的优缺点14 在问题求解过程中，我们不仅仅是单纯的去给出算式计算结果，而是尽量做到与实际结合去考虑和解决问题，模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理。模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。并在不断的思考中去深化对这一模型的认识。当然我们的模型还有许多理想化和定性非定量的成分，还有待进一步用数学严谨地求解和证明。模型在建立过程中充分考虑到观众平均满意度的特殊性（假设屏幕的长度与影院的宽度一致），即选取其中的一列，得出最佳地板线倾角；模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,考虑前排观众额部对后排观众的遮挡,考虑到人的眼睛到头顶的距离（按照平均水平并理想化，这个距离给定为 0.1m），若后排不被前排挡住视线（理想简化模型，不考虑靠后的座位视角下边被前排遮挡的情况），这些数据还有待科学论证化。参考文献参考文献【1】周人忠 电影院建筑设计【M】北京：中国建筑出版社，1986；【2】姜启源数学模型（第四版）M北京：高等教育出版社，2011；【3】张杰 运筹学模型及其应用【M】，北京：清华大学出版社，2012；【4】张学敏，MATLAB 基础及应用，北京：中国电力出版社，2012；【5】http:/ 年 4 月 9 日）附录附录附录一：fun1=inline(atan(1.8*(3.9-4.5*tan(b)./(tan(10*pi/180)+tan(b)+4.5)./(3.9-4.5*tan(b)./(tan(10*pi/180)+tan(b)+4.5).2+(3.9-4.5*tan(b)./(tan(10*pi/180)+tan(b)*tan(10*pi/180)-5+1.1).*(3.9-4.5*tan(b)./(tan(10*pi/180)+tan(b)*tan(10*pi/180)-5+1.8+1.1),b);b=linspace(0,pi/2,1000);a=fun1(b);plot(b,a)附录二：COxyAB证明图如上证明图，设，则直线 BC、AC 的斜率分别1(0,)Ay2(0,)By(,)C c y16为KBC=（y-y2）/c，KAC=(y-y1)/c，他们的夹角满足：，可知当时，取得极值。该12212()tan1()()BCACBCACKKyy cK Kcyyyy122yyytan引理得证。附录三：#include#include#define pi acos(-1)int main()int i;double max=0,temp,jiao,S,a,aa,M,x,maxa,yd,maxyd;double l=0.8,H=4.50,h=1.20,d=4.50,D=19.00;for(yd=3.9;yd=5;yd+=0.1)for(aa=7.125;aa=15.054;aa+=0.1)a=aa/180*pi;S=0;M=H+D*tan(a)-yd;for(i=1;i x=0,4.8,14.5;y=4.194,4.802,5;plot(x,y)p=polyfit(x,y,2)xx=0:0.05:14.5;yy=polyval(p,xx);plot(-yy,-xx,b)附录五：clearclck=0:0.01:20;m=0;v=0;17for sita=k.*2.*pi./360 s=0;l=0.8*cos(sita);n=fix(14.5/l)+1;for x=4.5:l:19 if xm&tan(sita)*14.53.9 m=s/n;v=sita;endendmv*180/pi