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七年级下册初一数学《变量之间的关系》教案

变量之间的关系
§4.1 用表格表示的变量间关系
【例题】一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：
时间(秒)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
速度
(米/秒)
0
0.3
1.3
2.8
4.9
7.6
11.0
14.1
18.4
24.2
28.9
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量? 哪个是因变量?
(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么?
(3)当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗? 在哪1秒钟内，v的增加最大?
(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限?

【变式】
1、如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点；第三层每边有三个点，依此类推：
(1)填写下表：
层数
1
2
3
4
5
6
……
该层的点数

……
所有层的点数

……
(2)每层点数是如何随层数的变化而变化的? 所有层的总点数是如何随层数的变化而变化的?
(3)此题中的自变量和因变量分别是什么?
(4)写出第n层所对应的点数，以及n层的六边形点阵的总点数；
(5)如果某一层的点数是96，它是第几层?
(6)有没有一层，它的点数是100? 为什么?

2、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价(单位：元)，日销量(单位：件)发生相应变化如下表：
降价(元)
5
10
15
20
25
30
35
日销量(件)
780
810
840
870
900
930
960
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系? 其中那个是自变量，哪个是因变量?
(2)每降价5元，日销量增加多少件? 请你估计降价之前的日销量是多少?
(3)如果售价为500元时，日销量为多少?

§4.2 用关系式表示的变量间关系
【例题】如图，已知梯形的上底为x，下底为8，高为4．
8
4
x
(1)求梯形面积y与x的关系；
(2)用表格表示，当x从3到7(每次增加1)时，y的相应值；
(3)当x每增加1时，y如何变化?
(4)当y=50时，x为多少?
(5)当x=0时，y等于多少? 此时它表示的是什么?

【变式】
10
2
20
1、将若干张长为20cm、宽为10cm的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm．
(1)求4张白纸粘合后的总长度；
(2)设x张白纸粘合后的总长度为y cm，写出y与x之间的关系式；
(3)并求当x=20时，y的值。

2、声音在空气中传播的速度y (米/秒)与气温之间有如下关系：
(1)在这一变化过程中，自变量是________、因变量是________；
(2)当气温时，声音速度y=________米/秒；
(3)当气温时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距________米。

A
B
C
P
3、如图，在中，已知，边AC=4cm，BC=5cm，点P为CB边上一动点，当点P沿CB从点C向点B运动时，的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么?

(2)如果设CP长为，的面积为，则y与x的关系可表示为_______________；

(3)当点P从点D(点D为BC的中点)运动到点B时，则的面积从______变到______

§4.3 用图象表示的变量间关系
【例题1】某山区今年6月中旬的天气情况是：前6天小雨，后6天暴雨，那么反映该地区某河流水位变化的图象大致是( )

A B C D
【变式1】为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一般的水，下面的图象可以刻画水箱的存水量v (立方米)与放水或注水时间t (分钟)之间的关系的是( )

A B C D
【例题2】新成药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：
(1)何时血液中含药量最高? 是多少微克?
(2)A点表示什么意义?
(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长?
(4)你建议该儿童首次服药后几小时再服药? 为什么?

【变式2】如图，是表示某天小明上学从家到学校时，离家的距离与时间的关系的图象。
(1)小明从家到学校有多远? 他一共用了多长时间到校?
(2)中途小明停下来子啊路边的商店买了一些练习本，图中那一段曲线表示这一过程?
(3)你能想象小明从离家到第4min时的情况吗?

【拓展】
1、王大爷带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价出售一些后，又降价出售，售出土豆的千克数x与他手中持有的钱数y (含备用零钱)的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
(1)王大爷自带的零钱是多少?
(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，
这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，问他一共带了多少千克土豆?

2、如图中的折线ABC是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系的图象。
(1)通话1分钟，要付电话费多少元? 通话5分钟要付多少电话费?
(2)通话多少分钟以内，所支付的电话费不变?
(3)如果通话3分钟以上，电话费y(元)与时间t(分钟)的关系式是
，那么通话4分钟的电话费是多少元?

§4.4 速度的变化
【例题1】如图，是某人骑自行车的行驶路程s (千米)与行驶时间t (时)的函数图象，
下列说法不正确的是( )
A. 从0时到3时，行驶30千米
B. 从1时到2时匀速前进
C. 从1时到2时原地不动
D. 从出发地到1时与从2时到3时的行驶速度相同
速度/v
时间/t
a
d
c
b
0
【小结】1、观察右图回答下列问题：
(1)a代表物体从____________开始____________运动；
(2)b代表物体________________运动；
(3)c代表物体________________运动；
路程/S
时间/t
a
c
b
0
(4)a表示的速度________d表的速度(填“>”、“=”或“<”)
2、观察右图回答下列问题：
(1)a代表物体____________运动；
(2)b代表物体____________；
(3)c代表物体__________运动直至回到______；
【变式1】(1)一列火车从青岛站出发，加速行驶一段时间开始匀速行驶。过了一段时间，火车到达下一个车站。乘客上下车后，火车又加速，一段时间后再次开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的图是下图中的( )

A． B． C． D．
(2)小李骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(b<a)，再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系示意图是( )

【例题2】小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图所示)
(1)图象表示了哪两个变量的关系? 哪个是自变量? 哪个是因变量?
(2)10时和13时，他分别离家多远?
(3)他到达离家最远的地方时什么时间? 离家多远?
(4)11时到12时他行驶了多少千米?
(5)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐?
(6)由他离家最远的地方返回时的平均速度是多少?
【变式2】(1)如图，是自行车行驶路程与时间的关系图，则整个行驶
过程的平均速度是( )
A．20 B．40 C．15 D．25
(2)如图所示，OA、BA分别表示甲、乙两名学社运动的路程与时间的
关系图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者
的速度比慢者的速度每秒快( )
A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m
【拓展】1、甲、乙两地相距80千米，A骑自行车，B骑摩托车沿相同路线由甲地到乙地行驶，两人行驶的路程y (千米)与时间x (时)的关系如图所示，请你根据图象回答或解决下面的问题：
(1)谁出发较早? 早多长时间? 谁到达乙地较早? 早多长时间?

(2)两人在途中行驶的速度分别是多少?

(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的路程y(千米)与时间x(小时)的关系。

2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一家个体车主或一家国有出租车公司签订租车合同，合同中规定所付月租金的多少与出租车每月行驶的距离有关。下图表示出租车每月行驶的距离与所付月租金的关系，(表示个体车主，表示国有出租车)观察图象回答下列问题
(1)每月行驶路程在什么范围内时租国有公司的车合算?

(2)租个体车主的车，租来的车如果没有行驶，是否也要缴租金?
缴多少租金? 租国有公司的车呢?

(3)每月行驶路程等于多少时，租两家车的费用相同?

(4)如果这个单位估计每月行驶的路程2300米，那么这个单位租哪家的车合算?

知识整合与解题指导
一、知识导航
1、主要概念：变量是 ；自变量是 ；因变量是 。
2、变量之间关系的三种表示方法： 。
其特点是：
列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到，查询方便；但是不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。
关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。
图象：形象直观。可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图象是近似的、局部的，由图象确定因变量的值欠准确。
有关概念应用
【例题1】下列各题中，那些量在发生变化? 其中自变量和因变量各是什么?
(1)用总长为60的篱笆围成一边长为L (m)，面积为S (m2)的矩形场地；
(2)正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.

用关系式表示两变量的关系
【例题2】①设一长方体盒子高为10，底面为正方形，求这个长方体的体积v与底面边长a的关系。

②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。

【变式】如图，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A(平方米)
与拉开长度b(米)的关系式是： 。

用图象表示两变量的关系
【例题3】2003年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是2003年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图(数据来源：卫生部每日疫情通报)．从图中，可知道：
(1)5月6日新增确诊病例人数为 人；
(2)在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为 人；
(3)从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈 趋势．

【例题4】星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s (米)与散步所用时间t (分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是( ).
A. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了
一段，然后回家了
C. 从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家了
D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返
0 1 2 3 4 5
y (千米)
30
15
x (小时)
甲
乙
45
【变式】右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A地到B地时，行驶的路程y (千米)与经过的时间x (小时)之间的关系．请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B地．
【提高练习】
1、小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是(　　)

A B C D
2．根据图示的程序计算函数值，
输入x值

(－2≤x≤－1)

(－1＜x≤1)

(1＜x≤2)
输出y值

若输入的x的值为，则输出的结果为 ．
(1)
(2)
(3)
(4)
3．如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形．

例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位……，依此规律，则第（5）个图形的表面积是　　　个平方单位．
4、小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是(　　)
A．8.6分钟 B．9分钟
C．12分钟 D．16分钟

5、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)
之间的关系如图所示．
请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是　　　　　　，
从点燃到燃尽所用的时间分别是　　　　　　　；
(2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等(不考虑都燃尽时的情况)?
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高? 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低?

6、某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示．
回答问题：(1)机动车行驶几小时后加油? (2)中途中加油_________L；
(3)已知加油站距目的地还有，车速为，若要达到目的
地，油箱中的油是否够用? 并说明原因．

7、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
所挂质量
0
1
2
3
4
5
弹簧长度
18
20
22
24
26
28
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量? 哪个是因变量?
(2)当所挂物体重量为时，弹簧多长? 不挂重物时呢?
(3)若所挂重物为时(在允许范围内)，你能说出此时的弹簧长度吗?

8、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜(千克)之间的关系式；
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚子多少钱?

9、某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元(本题的通话均指市内通话)，若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为元和元．
(1)写出、与x之间的关系式；
(2)一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同?
(3)某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些?

10、如图是某水库的蓄水量v (万米3)与干旱持续时间t (天)之间的关系图，回答下列问题：
(1)该水库原蓄水量为多少万米3? 持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3?
(2)若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报?
(3)按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸?

2000
2001
年份
2002
5
15
2.5
12.5
10
7.5
万元
·
·
·
·
·
工人工资总额
股东总利润
·
11．某公司有2位股东，20名工人. 从2000年至2002年，公司每年股东的总利润和每年工人的工资总额如下图所示．

（Ⅰ）填写下表：
年 份
2000年
2001年
2002年
工人的平均工资（元）
5000

股东的平均利润（元）
25000

（Ⅱ）假设在以后的若干年中，每年工人的工资和股东的利润都按上图中的速度增长，那么到哪一年，股东的平均利润是工人的平均工资的8倍?

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