七年级下册不等式及其基本性质讲义.doc

七年级下册不等式及其基本性质讲义

中国教育培训领军品牌
美国纳斯达克上市机构

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
年 级 ： 上 课 次 数 ：
学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ：
课 题

课 型
□ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课
授课日期及时段

教 学 内 容
【基础知识网络总结与新课讲解】

知识点一、不等式的有关概念：
1. 不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。
注意：常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．
例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 

例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。
    提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。
    参考答案：
    （1）a＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x≤1
注意：列不等式时应注意两点：
    ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。
    ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。
2．不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）
（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc，。
（3） 不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc，。
（4） 对称性：如果a>b，那么b<a。
（5）同向传递性：a>b，b>c那么a>c。
注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向是否改变。
说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：
①若a－b＞0，则a大于b ；
②若a－b＜0，则a小于b ；
③若a－b≥0，则a不小于b ；
④若a－b≤0，则a不大于b ；
⑤若ab＞0或，则a、b同号；
⑥若ab＜0或，则a、b异号。

任意两个实数a、b的大小关系：
①a-b>Oa>b； ②a-b=Oa=b； ③a-b<Oa<b．
不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;
但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。

例3.对于不等式x+2＜6，字母x表示未知数，当x取某一个数值a（例如3）时，x+2的值小于6，我们就说当x=a时，不等式x+2＜6成立，当x取某一个数值b（例如5）时，x+2的值不小于6，我们就说当x=b时，不等式x+2＜6不成立，说明当x取下列数值时，不等式2x+1＜5是否成立？
    -1，0，3，-2.5，+4，-4，4.5
 提示：把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1的值，若小于5则不等式成立；若不小于5则不等式不成立。
    参考答案：当x=-1,0,-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立。
    说明：因为当x=1，0，-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立，当x=2,+4,4.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1，0，-2.5-4是不等式2x+1＜5的解，而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。

例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。
    （1）由2a＞5，得a＞  （2）由a-7＞，得a＞7
    （3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。 

例5.设a＞b；用"＞"或"＜"号填空：
    （1）                   （2）a-5      b-5     （3）- a - b
    （4）6a      6b   （5）-               （6）-a       -b
    参考答案：（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞ （5）＜ （6）＜

例5.试比较下列两个代数式值的大小：
（1）5a+2与4a+2 （2）x3+3x2-7与x3+2x2-7
提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。
参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a
　　　∵a可取正数，负数或零，∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能：
       ① 当a＞0时，5a+2＞4a+2 ② 当a=0时，5a+2=4a+2
       ③ 当a＜0时，5a+2＜4a+2。
    （2）（x3+3x2-7）-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2 ∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7

例6.已知二数a＞2,b＞2,试比较a+b与ab的大小。
提示： 此题可用作商比较法来比较a+b与ab 的大小。
参考答案：a+b＜ab。
说明：  ∵a＞b,b＞2∴ab＞0且
∵
又ab＞0 ∴a+b＜ab。
课内练习：
1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果a＞b，则

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;
（2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；
（4）若a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。
3.       按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a＞b两边都加上-4； （2）-3a＜b两边都除以-3；
（3）a≥3b两边都乘以2； （4）a≤2b两边都加上c；
4.       根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：

5.比较下列各题两式的大小：

6．【探索与创新】
（1）用适当的符号填空
①∣3∣＋∣4∣ ∣3＋4∣； ②∣3∣＋∣－4∣ 3＋（－4）∣；
③∣－3∣＋∣4∣ ∣－3＋4∣； ④∣－3∣＋∣－4∣ ∣ －3＋（－4）∣；
⑤∣0∣＋∣4∣ ∣0＋4∣；
（2）观察后你能比较∣a∣＋∣b∣和∣a＋b∣的大小吗？
课后习题：
    1．当x取何值时，不等式3x＜5x+1成立（ ）
      A.-     B.-1      C.0      D.-3.5
    2．下列不等式的变形中，正确的是（ ）
      A.若2x＜-3，则x＜- , B.若- x＜0，则x＞0
      C.若- ，则x＞y。 D.若- ，则x＜-6
    3．若关于x的不等式ax＞b（a≠0），有x＜ ,那么a一定是（ ）
      A.正数      B.负数      C.非正数     D.任何数
    4．若a＞b且a≠0,b≠0，则（ ）
      A. B. C.a＞b＞0时 ，b＜a＜0时， ，
      D.ab同号时， ,a、b异号时，
5．已知a＞b，用“＞”或“＜”号填空．
（1）a－2 b－2； （2）3a 3b；（3）a b；
（4）－a －b； （5）－10a －10b; （6）ac2 b c2．
6．若x＞y，则ax＞ay，那么a一定为 （ ）．
（A）a≥0 （B）a≤0 （C）a＞0 （D）a＜0
7．若m＜n，则下列各式中正确的是 （ ）．
（A）m－3＞n－3 （B）3m＞3n
（C）－3m＞－3n （D）＞
8．下列各题中，结论正确的是 （ ）．
（A）若a＞0，b＜0，则＞0 （B）若a＞b，则a－b＞0
（C）若a＜0，b＜0，则ab＜0 （D）若a＞b，a＜0，则＜0
9．下列变形不正确的是 （ ）．
（A）若a＞b，则b＜a （B）若－a＞－b，则b＞a
（C）由－2x＞a，得x＞ （D）由x＞－y，得x＞－2y
10．下列不等式一定能成立的是 （ ）．
（A）a＋c＞a－c （B）a2＋c＞c （C）a＞－a （D）＜a
11、在下列空格中填上不等号，并注明理由：
（1）若5+x＞8,则x　　　3,根据是　　　。 （2）若6x＞3，则x　　　,根据是　　　。
（3）若 ＞1，则x　　　-3，根据是 　　　。 （4）若x＞y，则- 　　　 - ,根据是　　　。
12、如果a＜b，用"＜"或"＞"填空。
    （1）a-1　　　　b-1 (2)-2a　　　　-2b (3) 　　　  （4）1-a　　　　　1-b
13、若-，则c     0（填"＞"或"＜"号)
14、列出表示下列各数量关系的不等式： 
    （1）m的2倍与3的和大于7；
    （2）x的 与4的差是负数；
    （3）a的一半与b的3倍的和不大于1；
    （4）y的立方是非负数。
15．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－17＜－5； （2）＞－3；

（3）＞11； （4）＞．

16．a一定大于－a吗？为什么？

17．已知将不等式mx＞m的两边都除以m，得x＜1，则m应满足什么条件？

18.设 a＞b，用“＞”或“＜”号填空：
(1)a+3 ______ b+3；    (2)5a ______ 5b；

(5)ma______ mb(m≠0)．

30分钟检测
一、选择题（每题4分，共32分）
1、如果m＜n＜0,那么下列结论中错误的是（ ）
A、m－9＜n－9 B、－m＞－n C、 D、
2、若a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）
A、a＞b B、ab＞0 C、 D、－a＞－b
3、由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是（ ）
A、a≤0 B、a＜0 C、a≥0 D、a＞0
4、如果t＞0,那么a＋t与a的大小关系是（ ）
A、a＋t＞a B、a＋t＜a C、a＋t≥a D、不能确定
5、如果，则a必须满足（ ）
A、a≠0 B、a＜0 C、a＞0 D、a为任意数
6、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A、cb＞ab B、ac＞ab C、cb＜ab D、c＋b＞a＋b
7、有下列说法：
（1）若a＜b，则－a＞－b； （2）若xy＜0，则x＜0，y＜0；[来源:学科网]
（3）若x＜0，y＜0，则xy＜0； （4）若a＜b，则2a＜a＋b；
（5）若a＜b，则； （6）若，则x＞y。
其中正确的说法有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
8、2a与3a的大小关系（ ）
A、2a＜3a B、2a＞3a C、2a＝3a D、不能确定
二、填空题（每题4分，共32分）
9、若m＜n，比较下列各式的大小：
（1）m－3______n－3 （2）－5m______－5n （3）______[来源:Zxxk.Com]
（4）3－m______2－n (5)0_____m－n （6）_____
10、用“＞”或“＜”填空：
（1）如果x－2＜3，那么x______5； （2）如果x＜－1，那么x______；
（3）如果x＞－2，那么x______－10；（4）如果－x＞1，那么x______－1；
（5）若，，则x______.
11、x＜y得到ax＞ay的条件应是____________。
12、若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0,[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（4）＜0中，正确结论的序号为________。
13、满足－2x＞－12的非负整数有________________________。
14、若ax＞b，ac2＜0，则x________.
15、如果x－7＜－5，则x ；如果－＞0，那么x ；
16、当x 时，代数式2x－3的值是正数.
三、解答题（每题9分，共36分）
17、说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
（1）由x＞－3，得x＞－6；___________________________;
（2）由3＋x≤5，得x≤2；______________________________;
（3）由－2x＜6，得x＞－3；____________________________;
（4）由3x≥2x－4，得x≥－4.___________________________;
18、根据不等式的性质解下列不等式，并说出每一步的依据：
（1）x－9＜1 （2）

19、求不等式1＋x＞x－1成立的x取值范围。

20、同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：甲同学说：“5a＞4a”，乙同学说：“这不可能”，请你评说一下两名同学的观点究竟哪个正确？为什么？举例说明.

网]
四、拓展探究（不计入总分）
17、若a＜b＜0，则下列式子：
①a＋1＜b＋2；②；③a＋b＜ab；④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

参考答案[来源:学#科#网]
1、A 2、D 3、B 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D
9、（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜
10、（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜（5）＜ 11、a＜0 12、（2）（4）
13、1，2，3，4，5 14、＜ 15、＜2 ＜0 16、＞ 17、C

第 11 页 共 11 页
使命·责任·分享·学习