信息论与编码8.pptx

第八章第八章 循环码循环码第八章第八章 循环码循环码 内容提要循环码是线性分组码中一个重要的子类。本章首先介绍抽象代数中与循环码直接相关的基础知识，主要包括有限域的概念、有限域的本原元及有限域的结构；然后提出循环码的定义以及循环码的多项式描述方法，给出生成多项式和校验多项式的定义，论述了循环码构成的有关重要定理；接着讨论循环码的编译码方法及其实现电路；最后介绍已获得广泛应用的循环汉明码、BCH码等。8.1 8.1 有限域及其结构有限域及其结构8.1.1 8.1.1 域的定义域的定义1多项式多项式几个有关概念：（1）多项式：；（2）系数：fiK（集合）i=1,2,n；（3）首一多项式：若多项式最高幂次项的系数fn=1，称该多项式为首一多项式；（4）多项式f(x)的阶次n记为f(x)=n；（5）多项式因式分解：将多项式分解为若干个因式相乘，这种分解是唯一的；（6）即约多项式：阶大于0且在给定集合K上除了常数和本身的乘积外，不能被其他多项式除尽的多项式。2有关多项式的一些运算有关多项式的一些运算（1）多项式带余除法若p(x)不能整除a(x)，商Q(x)，余r(x)，记为：a(x)=Q(x)p(x)+r(x)r(x)p(x)（2）多项式模d(x)运算的剩余类集合 多项式a(x)被p(x)所除，余数记为r(x)，称为a(x)的模p(x)运算，就称为对多项式a(x)进行模p(x)运算的剩余类集合。【例8.2】对系数取自K=0,1的任意多项式a(x)进行模p(x)=x3+x+1运算，设所得余式为r(x)，因为，则0r(x)3，因此剩余类集合就是所有阶次小于3的多项式集合=0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+1。定义8.1域是一些元素的集合，在这些元素中定义了加法和乘法两种运算，且满足如下11条性质：（1）对加法它是一个交换群（满足5条性质：封闭性、结合律、交换律、存在幺元、存在逆元）；（2）对乘法它也是一个交换群（满足5条性质：封闭性、结合律、交换律、存在幺元、存在逆元（除去0元素）；（3）对加法、乘法满足分配律：a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc。1整数在带余运算条件下构成一个有限域必要条件：模d运算，d必是一个素数。2多项式在余式运算条件下构成一个有限域多项式集合Fa(x)被p(x)除所得的余式记为，则剩余类集合构成一个域的充要条件是p(x)为即约多项式。若p(x)=m，则是所有阶次低于m的多项式集合。【例8.5】根据域的定义，判断例8.2中的剩余类集合是否为有限域？v（1）在中定义加法、乘法二种运算，满足结合律、交换律、分配律；v（2）元素0为加法幺元，元素1为乘法幺元；v（3）通过表8-5和表8-6可以看出对于加法、乘法运算都满足封闭性，且都存在逆元。因此是一个有限域将 简记为r(x)+01xx+1x2x2+1x2+xx2+x+1001xx+1x2x2+1x2+xx2+x+1110 x+1xx2+1x2x2+x+1x2+xxxx+101x2+xx2+x+1x2x2+1x+1x+1x10 x2+x+1x2+xx2+1x2x2x2x2+1x2+xx2+x+101xx+1x2+1x2+1x2x2+x+1x2+x10 x+1xx2+xx2+xx2+x+1x2x2+1xx+101x2+x+1x2+x+1x2+xx2+1x2x+1x10表8-5模p(x)=x3+x+1的加法表1xx+1x2x2+1x2+xx2+x+111xx+1x2x2+1x2+xx2+x+1xxx2x2+xx+1x2+x+1x2+1x+1x+1x2+xx2+1x2+x+1x21xx2x2x+1x2+x+1x2+xxx2+11x2+1x2+11x2xx2+x+1x+1x2+xx2+xx2+xx2+x+11x2+1x+1xx2x2+x+1x2+x+1x2+1x1x2+xx2x+1表8-6模p(x)=x3+x+1的乘法表在上例中8.1.2 有限域的本原元有限域的本原元定义8.2在有限域GF(q)中，若某一元素的阶为q=1，则称此元素为本原元，记为，即则GF(q)中的其他所有非零元素都可写成的方幂。以本原元为根的即约多项式称为本原多项式。【例8.7】基域GF(2)=0,1，扩展域，生成多项，是p(x)的根，即是所有阶次小于3的多项式集合，共有8个元素：将中的8个元素分别用剩余类、的方幂、的线性组合及二进制三维矢量表示列于表8-7中。剩余类方幂表示的线性组合二进制三维矢量000000111001x010 x222100 x2+132+1101x2+x+142+1111x+16+1011x2+x62+110表8-7GF(23)中元素的四种表示方法加法运算宜采用线性组合表示，乘法运算宜采用幂级数表示。8.1.3 8.1.3 有限域的结构有限域的结构定义8.3满足pe=0的最小整数p称为域的特征，其中e为乘法幺元。定理8.2 每个有限域GF(q)的特征必为素数。定义8.4设GF(Q)是GF(q)的扩展域，GF(Q)，以为根的阶次最低的多项式（系数取自GF(q)），称作在GF(q)上的最小多项式，显然它是即约的（否则就不会阶次最低）。定理8.3的最小多项式是唯一的，且能整除任何以为根的多项式。定理8.4域GF(q)中的每个元素均是多项式的根，反之的根都是GF(q)中的元素。推论8.1 设 是GF(q)中各元素的最小多项式，则定理8.5有限域的阶必为其子域阶之幂。推论8.2有限域的阶必为其特征之幂。推论8.3有限域其子域的阶必为特征之幂。定理8.6设p是有限域GF(q)的特征，n是正整数，GF(q)，则8.1.4 最小多项式的共轭根组最小多项式的共轭根组定理8.7 对GF(pm)中的任意元素，恒有 。【例8.10】基域GF(2)=0,1，扩展域GF(23)，生成多项式p(x)=x 3+x+1，特征p=2，任取=（x 2+x+1）GF(2m)，可验算定理8.8基域GF(q)，扩展域GF(Q)，f(x)是系数取自GF(q)的多项式，f(x)GF(Q)，若是f(x)的根，则q也是f(x)的根。定理8.9 设 ，共轭根组的最小多项式为：定义8.5两个元素共享同一个最小多项式，则称它们互为共轭，同一最小多项式的共轭根称为共轭根组。由定理8.8知：若是f(x)的根，则也都是f(x)的根，它们是共轭根组。有关有限域的小结剩余类线性组合幂级数矢量00000001110001x0010 x2220100 x3331000 x+1+140011x2+x2+50110 x3+x23+261100 x3+x+13+171011x2+12+180101x3+x3+91010 x2+x+12+1100111x3+x2+x3+2+111110 x3+x2+x+13+2+1121111x3+x2+13+2+1131101x3+13+1141001表8-8GF(24)中元素的四种表示方法（1）本原元；（2）本征多项式p(x)，满足p()=0；（3）特征：特征是素数（4）最小多项式；（5）最小多项式的共轭根组；（6）的因式分解（等于最小多项式的连乘）；（7）元素的四种表示法：剩余类、幂级数、线性组合、矢量表示；（8）素域：p为素数；子域：；扩展域：。【例8.12】在GF(2)=0,1系数域上，以p(x)=x4+x+1为模构成有限域GF(24)，在GF(2)上分解多项式x16x。（1）由于GF(2)=0,1，e=1，1+1=0，所以特征p=2。（2）本原元设为p(x)的根，则 4=+1。15=4443=1，因此为本原元，p(x)为本原多项式。（3）元素的四种表示方法，如表8-8所示：（4）共轭根组a,a8,a4,a8对应最小多项式x4x1；a3,a6,a12,a24=a9对应最小多项式x4xxx1；a5,a10对应最小多项式xx1；a7,a14,a13,a26=a11对应最小多项式x4x1；a15=对应最小多项式x1；0对应最小多项式x（5）的因式分解根据推论8.1，有（6）子域，素域因为16=44，16=(22)2，所以GF(Q)只有一个素域GF(p)=GF(2)=0,1,一个子域（7）本原元是否唯一？否!若i与Q1互素，则就是本原元，与Q-1=15互素的数有1,2,4,7,8,11,13,14，则都是本原元，其中对应的本原多项式为（）对应的本原多项式为【例8.13】（7，4）线性分组码，生成矩阵 ，这是一个标准生成矩阵，将其生成的全部16个码矢按重量分类列于表8-9。8.2 8.2 循环码的一般概念循环码的一般概念表8-9 将（7，4）码按重量分类重量=0重量=3重量=4重量=70000000000101100111011111111001011001110100101100111010010110001101001011000110100111100010010011110001011001110在表中的16个码字中，重量为3的7个码字形成一个循环，重量为4的7个码字形成另一个循环，全“0”码字和全“1”码字可以看成自身循环。图8-1 （7，4）线性码的码字循环图8.2.1 循环码的定义循环码的定义定义定义8.6一个（n，k）线性码C，若对任意c=(cn1,cn2,c0)C，将码矢中的各码符号循环左移（或右移）一位，恒有c=(cn2,c0,cn1)C，就称C为（n，k）循环码。由于（n,k）线性分组码是n维线性空间Vn中的一个k维子空间，因此（n，k）循环码是n维线性空间Vn中的一个k维循环子空间。为了借助代数这一工具研究循环码，可以将一个码矢c=(cn1,cn2,c0)中的各码元ci（i=0,1,n1）看成一个多项式的系数，从而将码矢c表示成码多项式的形式。码的循环移位可用代数表示，即码多项式：c(x)=cn1xn1+cn2xn2+c1x+c0 xc(x)mod(xn1)=(cn1xn+cn2xn1+c1x2+c0 x)mod(xn1)=cn2xn+c1x2+c0 x+cn1即循环码的一位循环移位可由模xn1下的码多项式c(x)乘以x的运算给出。后面给出的多项式，都要对其进行模xn1运算。8.2.2 循环码的多项式描述循环码的多项式描述定理定理8.12（n，k）循环码的生成多项式g(x)，其幂次为nk，且常数项必不为零。8.3 8.3 循环码的生成多项式和生成矩阵循环码的生成多项式和生成矩阵定理8.10说明，只要找到g(x)，就可由它生成循环码，称g(x)为循环码的生成多项式生成多项式。那么g(x)是否存在且唯一呢？g(x)如何找？下面两条定理说明了g(x)的特性。定理定理8.13生成多项式g(x)必整除xn1。8.3.1 生成多项式生成多项式定理定理8.10 设g(x)是码C中的最低次码多项式，则C是循环码的充要条件是：所有非零码多项式都是g(x)的倍式。定理定理8.11 在（n，k）循环码C中，有唯一的最低次首一码多项式。综合定理8.10至定理8.13可知，构造（n，k）循环码的的问题在于分解因式xn1，找到nk次多项式g(x)，g(x)就是（n，k）循环码的生成矩阵。将GF(q)上的所有qk个（k1）次信息组多项式与g(x)相乘，就得到qk个码多项式c(x)。【例8.15】构造（7，4）循环码：要构造一个（7，4）循环码，就是要在x71中找出一个nk=3次的因式g(x)作为码的生成多项式，逐一用所有信息多项式作为乘因子，它们与g(x)的倍式就构成了（7，4）循环码。分解因式x71=(x3+x+1)(x3+x2+1)(x+1)，前面两个因式都是nk=3次多项式，都可作为生成多项式g(x)，此例中选g(x)=(x3+x+1)，其所生成的循环码如表8-10所示。表8-10 由g(x)生成码多项式信 息 位信息多项式g(x)的倍式码 多 项 式码 矢000000(x3+x+1)00000000000111(x3+x+1)x3+x+100010110010 xx(x3+x+1)x4+x2+x00101100011x+1(x+1)(x3+x+1)x4+x3+x2+100111010100 x2(x2)(x3+x+1)x5+x3+x201011000101x2+1(x2+1)(x3+x+1)x5+x2+x+101001110110 x2+x(x2+x)(x3+x+1)x5+x4+x3+x01110100111x2+x+1(x2+x+1)(x3+x+1)x5+x4+101100011000 x3x3(x3+x+1)x6+x4+x310110001001x3+1(x3+1)(x3+x+1)x6+x4+x+110100111010 x3+x(x3+x)(x3+x+1)x6+x3+x2+x10011101011x3+x+1(x3+x+1)(x3+x+1)x6+x2+110001011100 x3+x2(x3+x2)(x3+x+1)x6+x5+x4+x211101001101x3+x2+1(x3+x2+1)(x3+x+1)x6+x5+x4+x3+x2+x+1111111111110 x3+x2+x(x3+x2+x)(x3+x+1)x6+x5+x11000101111x3+x2+x+1(x3+x2+x+1)(x3+x+1)x6+x5+x3+11101001 从表8-10中可看出，除全零码矢（0000000）和全1码矢（1111111）外，其余码矢可分别由码矢（0001011）和（0011101）循环移位得到。（n，k）循环码，设其生成多项式为g(x)gn-kxn-kgn-k-1xn-k-1g1xg0 由于g(x)，xg(x)，xk1g(x)共k个码多项式（它们表示分别将g(x)循环移位0次，1次，k1次）必线性无关，故可用它们组成码的一组基底，而与这些码多项式相对应的k个线性无关的码矢就构造出kn阶生成矩阵G，即8.3.2 生成矩阵生成矩阵【例8.17】GF(2)中的（7，4）循环码，x71=(x3+x+1)(x3+x2+1)(x+1)，取g(x)=(x3+x+1),生成矩阵为 ,由g(x)或G都可生成（7，4）循环码。由g(x)生成：根据c(x)=u(x)g(x)，其生成码多项式如表8-10所示。由G生成：根据c=u G，其生成码矢如表9-2所示。例如，信息组u=1001，编码为8.4 8.4 循环码的校验多项式和校验矩阵循环码的校验多项式和校验矩阵1反多项式多项式a(x)=an1xn1+an2xn-2+a1x+a0的反多项式定义为a*(x)=xn1an1x(n1)+an2x(n2)+a1x1+a0=an1+an2x+a1xn2+a0 xn1=a0 xn1+a1xn2+an2x+an1定理定理8.14a(x)b(x)=0 mod(xn1)的充要条件是a(x)的系数矢量与xib*(x)（i=1,2,n）的系数矢量正交。2校验多项式、校验矩阵 已知g(x)整除xn1，记为xn1=g(x)h(x)对上式两边取mod(xn1)，则有0=g(x)h(x)mod(xn1)由定理8.14知，g(x)与xih*(x)（i=0,1,nk1）正交，另一方面根据式（7-7）有G HG H T=0，故取多项式xih*(x)（i=0,1,nk1）的系数为行矢可构成校验矩阵由于H H是由h(x)的反多项式h*(x)得到的，相应地称h(x)为校验多项式。【例8.18】GF(2)中的（7，4）循环码，x71=(x3+x+1)(x3+x2+1)(x+1)取生成多项式 g(x)=x3+x+1则校验多项式 h(x)的反多项式 h*(x)=x4(x4+x2+x1+1)=x4+x3+x2+1校验矩阵 由于循环码也归属于线性码，故同样可利用初等变换将生成矩阵G变换成标准形式的生成矩阵，在（n，k）循环码中，由标准形式的生成矩阵所生成的码字，前面k位是信息位，后面nk位是校验位。循环码是线性分组码的一个子类，所有线性分组码的性质均适用于循环码。（1）用xnk乘u(x)；（2）用g(x)除xnku(x)，得余式r(x)；（3）组合xnku(x)+r(x)，得码字c(x)。系统码可写成如下形式：8.5 8.5 循环码的编码循环码的编码所以系统循环码的任一码矢可写成码多项式 c(x)=xnku(x)+r(x)对上式两边取mod g(x)，得（注意到 1、r(x)=nk1；2、任一码多项式c(x)都是生成多项式g(x)的倍式 。）r(x)=xnku(x)mod g(x)上式表明，将信息多项式u(x)移位nk次，然后用g(x)去除它，余数就是检验多项式r(x)，由此可得编码步骤：除法电路可用反馈移位寄存器构成【例8.21】GF(2)中的（7，4）循环码，生成矩阵g(x)=x3+x+1，编码电路如下图所示。信息位输入 u3,u2,u1,u0g0-g1 g3 B S 码字输出 C 图8-4（74）循环码编码电路D0D1D2门2门1电路工作过程：（1）寄存器D0D1D2预清零；（2）在前k=4个节拍时，门1、门2开，开关S接至B端，信息位 u3,u2,u1,u0由高至低逐位移入寄存器，同时输出到信道，待4个节拍结束，寄存器中就是3位校验位；（3）后=3个节拍时，门1、门2关，开关S接至C端，将寄存器中的校验位依次输出到信道。例如：对于信息组（1101），对应信息多项式 u(x)x3x21，余式r(x)x3(x3x21)mod g(x)=1码多项式c(x)x3 u(x)+r(x)=x6 x5x31对应码矢 表8-15校验位计算过程节 拍输 入D0D1D2000011110211013010041100对于（n，k）循环码，可以定义码的生成多项式g(x)除以接收码字多项式y(x)的余式为伴随式多项式s(x)，写 s(x)y(x)mod g(x)由于 y(x)c(x)e(x)(824)而 c(x)mod g(x)0于是 s(x)e(x)mod g(x)伴随式s(x)计算电路的一个重要性质：定定理理8.15 设s(x)是接收码字多项式r(x)的伴随式。则y(x)的一次循环移位xy(x)（mod xn1）的伴随式s(1)(x)，是s(x)在伴随式计算电路中无输入时，右移一位的结果（称为自发运算）：s(1)(x)xs(x)mod g(x)8.6 8.6 循环码的译码循环码的译码 8.6.1 伴随式计算伴随式计算【例例8.23】以g(x)x4x3x21为生成多项式的（7，3）循环码（示于表8.11），能纠正一个错误。设传送出现一个错，错误图样e（0 0 0 0 1 0 0），即e(x)x2，其伴随式 s(x)e(x)mod g(x)x2 mod(x4x3x21)x2，即s（01 0 0）现设错误图样e1（0 0 0 1 0 0 0）,即e(1)(x)xe(x)x3，相应的伴随式s(1)(x)x3mod(x4x3x21)x3,即s1（1 0 0 0）s1是s在图8.6所示的g(x)x4x3x21除法电路中无输入时，右移一位的结果，也即自发运算的结果。电路计算s、s1的过程见表9-9、9-10图8.6（7，3）循环码的伴随式计算电路 用图8-6所示的除法电路来计算伴随式循环码的译码可按以下三个步骤进行：（）根据伴随式s(x)找出对应的估值错误图样 ；（）（）计算 ，得到估值码字 。若 ，则译码正确，若 ，则译码错误。（）由接收到的y(x)计算伴随式多项式s(x)=y(x)mod g(x)；根据定理8.15可知，在计算得到接收码字多项式y(x)的伴随式s(x)后，无须重新计算就可得到y(x)的各次循环移位所对应的伴随式s(i)(x)，i=1，2，n1。由于s(x)=y(x)mod g(x)，而y(x)=c(x)+e(x)，又由于码多项式c(x)是生成多项式g(x)的倍式，因此有s(x)=e(x)mod g(x)，可看出若s(x)是y(x)的伴随式，则它也是e(x)的伴随式，而s(x)在伴随式计算电路中自发运算所得的s(i)(x)也就是e(x)的各次循环移位所对应的伴随式。这样就可以把某一可纠正的错误图样e(x)及其所有的小于等于n1次的循环移位归成一类，只需用一个错误图样来代表。译码时只要计算这个错误图样的伴随式，该类中其他错误图样的伴随式都可由该伴随式在g(x)除法电路中循环移位来得到。8.6.2 循环码的纠错译码循环码的纠错译码【例8.24】仍以例8.23中的（7，3）循环码为例。当码字传送出现一位错误时，若用一般译码器，需要识别（0 0 0 0 0 0 1），（0 0 0 0 0 1 0），（0 0 0 0 1 0 0），（0 0 0 1 0 0 0），（0 0 1 0 0 0 0），（0 1 0 0 0 0 0），（1 0 0 0 0 0 0）7个不同的错误图样，但对于按定理8.15设计的循环码译码器来说，可以把这些错误图样归成一类，译码器只要识别其中的一个错误图样就可以了。其译码器电路示于图8-7。图8.7 （7，3）循环码译码器 设发送码字c=（0 1 1 1 0 1 0），错误图样e=（1 0 0 0 0 0 0），则接收矢量y=（1 1 1 1 0 1 0），伴随式s(x)=e(x)mod g(x)=x6 mod(x4+x3+x2+1)=x3+x2+x，即s=（1 1 1 0）。译码器工作过程如表8-19所示。表8-19（7，3）循环码译码过程1移 位 寄 存 器 状 态伴 随 式 状 态节 拍yMx0 x1x2x3x4x5x6D0D1D2D300 0 0 0 0 0 00 0 0 01101 0 0 0 0 0 01 0 0 02101 1 0 0 0 0 01 1 0 03101 1 1 0 0 0 01 1 1 04101 1 1 1 0 0 01 1 1 15000 1 1 1 1 0 01 1 0 06101 0 1 1 1 1 01 1 1 07000 1 0 1 1 1 10 1 1 1810 0 1 0 1 1 10 0 0 00900 0 0 1 0 1 10 0 0 011000 0 0 0 1 0 10 0 0 011100 0 0 0 0 1 00 0 0 011200 0 0 0 0 0 10 0 0 001300 0 0 0 0 0 00 0 0 011400 0 0 0 0 0 00 0 0 00 清零后在第17拍，接收码字y一方面被送入移位寄存器D0D3，另一方面被送入g(x)除法电路计算伴随式，在第7拍结束时得到s=（1 1 1 0）。随后与门开，并输出纠错信号M=1，对接收码字y的第一位实施纠错，同时M=1信号使D0D3清零。第814拍移位寄存器中的内容依次输出，由于错误码元已被纠正，故输出=（0 1 1 1 0 1 0）。循环码译码器的缺点无法对接收到的码字实现连续的译码输出。改进的译码器称作Meggit通用译码器通用译码器，其结构如图8.8，可实现连续的译码输出。图8.8 Meggit通用译码器 8.6.3 Meggit译码器译码器【例8.25】GF(2)中的（7，4）循环码，生成矩阵g(x)=x3+x+1，利用Meggit通用译码器译码，电路如图8-9所示，图中 代表移位寄存器，由它们构成伴随式寄存器。g0 g1 g3 p 信息位输入 译码输出 图8-9（7，4）循环码Meggit译码电路s0s2s1门2门1输出缓冲寄存器错误图案检测器D门3 译码过程可叙述如下。先考虑接收矢量最高位y6：如果y6出错，则错误图案为e(x)=x6，对应伴随式。如果其他位出错，类似地也可算得对应的伴随式，把各种错误图案所对应的伴随式s(i)(x)（i=0,1,2,3,4,5,6）列于表8-21。表8-21 各种错误图案所对应的伴随式错 误 图 案伴 随 式s0 s1 s2x6x2+11 0 1x5x2+x+11 1 1x4x2+x0 1 1x3x+11 1 0 x2x20 0 1xx0 1 0111 0 0定义定义8.7 设是GF(2m)上的一个本原元，则以的本原多项式为生成多项式的（2m1，2m1m）Hamming码是循环码。码的校验矩阵为 (829）因码长n2m1，H也可以表为 (830)8.7 8.7 一些重要的循环码一些重要的循环码8.7.1 循环循环Hamming码码例如，以GF(23)上的三次本原多项式为生成 多 项 式，可 生 成 一 个（7，4）循 环Hamming码，其生成多项式g(x)x3x1。设是GF(23)上的本原元，则码的校验矩阵定定义义8.8 8.8 设是GF(2m)上的一个本原元，t为整数，则以含有、2、2t等共2t个根，其系数在GF(2)上的最低次多项式g(x)为生成多项式的循环码，叫做二元本原二元本原BCHBCH码码。码长n2m1校验位数rnkmt最小距离d2t1纠错能力为t二元本原BCH码的参数为：8.7.2 BCH码码(927)【例例8.26】设m4，是GF(24)上的本原元，求码长n24115的二元本原 BCH码。若t1，则码以为根，即以，2，4，8共轭根系为根，最小多项式m1(x)x4x1 生成多项式 g(x)m1(x)x4x1校验位数目nk4 码的校验矩阵为由此生成的（15，11）BCH码就是已经学过的循环Hamming码。若t2，则码以，3为根，即以，2，4，8共轭根系和3，6，12，24 9共轭根系为根，最小多项式m3(x)x4x3x2x1生成多项式 g(x)m1(x)m3(x)(x4x1)(x4x3x2x1)x8x7x6x41校验位数目nk8，其校验矩阵 若t3，则码以，3，5为根，即以，2，4，8共轭根系、3，6，12，249共轭根系和5，10共轭根系为根，最小多项式m5(x)x2x1生成多项式 g(x)m1(x)m3(x)m5(x)(x4x1)(x4x3x2x1)(x2x1)x10 x8x5x4x2x1校验位数目nk10，其校验矩阵循环码是线性分组码中一个重要的子类，由于这种码的代数结构完全建立在有限域基础上，它是目前理论上最为成熟的一类码。本章的主要内容有：本本 章章 小小 结结（2）循环码的性质：循环码的生成多项式，生成多项式的重要性质，由生成多项式构造生成矩阵。（1）循环码的定义及多项式描述：循环码的循环特性，循 环码的码字多项式，循环码是多项式剩余类环的一个主理想子环。（5）循环Hamming码和BCH码：用g(x)的根定义循环码，建立在有限域扩域上的BCH码。（4）循环码的译码：伴随式的计算电路，自发运算电路，Meggit译码器。（3）循环码的编码：用生成多项式编码的理论，除法电路，循环码的编码电路。