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第3章 MATLAB符号计算
符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1 创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：
sym(‘常量’) %创建符号常量
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
>> a=sym('sin(2)')
a =
sin(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
语法：
sym(常量,参数) %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
表3.1 参数设置
参数
作用
d
返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f
返回该符号值最接近的浮点表示
r
返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一
e
返回最接近的带有机器浮点误差的有理值
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')

a =
sin(2)
例如，把常量转换为符号常量，按系统默认格式转换：
a=sym(sin(2))

a =
8190223105242182*2^(-53)
【例3.1】创建数值常量和符号常量。
a1=2*sqrt(5)+pi %创建数值常量

a1 =
7.6137
a2=sym('2*sqrt(5)+pi') %创建符号表达式

a2 =
2*sqrt(5)+pi
a3=sym(2*sqrt(5)+pi) %按最接近的有理数型表示符号常量

a3 =
8572296331135796*2^(-50)
a4=sym(2*sqrt(5)+pi,'d') %按最接近的十进制浮点数表示符号常量

a4 =
7.6137286085893727261009189533070
a31=a3-a1 %数值常量和符号常量的计算

a31 =
0
a5='2*sqrt(5)+pi' %字符串常量

a5 =
2*sqrt(5)+pi
可以通过查看工作空间来查看各变量的数据类型和存储空间，工作空间如图3.1所示。图3.1 工作空间窗口

3.1.2 创建符号变量和表达式
创建符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令。

1. 使用sym命令创建符号变量和表达式
语法：
sym(‘变量’,参数) %把变量定义为符号对象
说明：参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为’positive’、’real’和’unreal’， ’positive’ 表示为“正、实”符号变量，’real’表示为“实”符号变量，’unreal’ 表示为“非实”符号变量。如果不限定则参数可省略。
【例3.2】创建符号变量，用参数设置其特性。
syms x y real %创建实数符号变量
z=x+i*y; %创建z为复数符号变量
real(z) %复数z的实部是实数x

ans =
x
sym('x','unreal'); %清除符号变量的实数特性
real(z) %复数z的实部

ans =
1/2*x+1/2*conj(x)
程序分析：设置x、y为实数型变量，可以确定z的实部和虚部。
语法：
sym(‘表达式’) %创建符号表达式
【例3.2续】创建符号表达式。
f1=sym('a*x^2+b*x+c')

f1 =
a*x^2+b*x+c

2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式
语法：
syms(‘arg1’, ‘arg2’, …,参数) %把字符变量定义为符号变量
syms arg1 arg2 …,参数　 %把字符变量定义为符号变量的简洁形式
说明：syms用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。参数设置和前面的sym命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。
【例3.2续】使用syms命令创建符号变量和符号表达式。
syms a b c x %创建多个符号变量
f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式

f2 =
a*x^2+b*x+c
syms('a','b','c','x')
f3=a*x^2+b*x+c; %创建符号表达式
程序分析：既创建了符号变量a、b、c、x，又创建了符号表达式，f2、f3和f1符号表达式相同。
3.1.3 符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
A=sym('[a,b;c,d]')

A =
[ a, b]
[ c, d]
例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：
syms a b c d
A=[a b;c d]

A =
[ a, b]
[ c, d]
【例3.3】比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
A=sym('[a,b;c,d]') %创建符号矩阵

A =
[ a, b]
[ c, d]

B='[a,b;c,d]' %创建字符串矩阵

B =
[a,b;c,d]

C=[a,b;c,d] %创建数值矩阵

??? Undefined function or variable 'a'.
程序分析：由于数值变量a、b、c、d未事先赋值，MATLAB给出错误信息。
C=sym(B) %转换为符号矩阵

C =
[ a, b]
[ c, d]
whos

Name Size Bytes Class

A 2x2 312 sym object
B 1x9 18 char array
C 2x2 312 sym object

Grand total is 25 elements using 642 bytes
程序分析：查看符号矩阵A，可以看到为2×2的符号矩阵，占用较多的字节。
3.2符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点：
§ 传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。符号运算不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算是非常准确的。
§ 符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
§ 符号运算的时间较长，而数值型运算速度快。
3.2.1符号表达式的代数运算
符号表达式的运算符和基本函数都与数值计算中的几乎完全相同。

1. 符号运算中的运算符
(1) 基本运算符
§ 运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。
§ 运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。
§ 运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。
(2) 关系运算符
§ 在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。
§ 运算符“= =”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。当为“真”时，比较结果用1表示；当为“假”时，比较结果则用0表示。

2. 函数运算
(1) 三角函数和双曲函数
三角函数包括sin、cos、tan；双曲函数包括sinh、cosh、tanh；三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外，其余的asin、acos、atan函数在符号运算中与数值计算的使用方法相同。
(2) 指数和对数函数
指数函数sqrt、exp、expm的使用方法与数值计算的完全相同；对数函数在符号计算中只有自然对数log(表示ln)，而没有数值计算中的log2和log10。
(3) 复数函数
复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计算中，MATLAB没有提供求相角的命令。
(4) 矩阵代数命令
MATLAB提供的常用矩阵代数命令有diag，triu，tril，inv，det，rank， poly，expm，eig等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样。
【例3.4】求矩阵的行列式值、非共轭转置和特征值。
syms a11 a12 a21 a22
A=[a11 a12;a21 a22] %创建符号矩阵

A =
[ a11, a12]
[ a21, a22]
det(A) %计算行列式

ans =
a11*a22-a12*a21
A.' %计算非共轭转置

ans =
[ a11, a21]
[ a12, a22]
eig(A) %计算特征值

ans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]

【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')

f =
2*x^2+3*x+4
g=sym('5*x+6')

g =
5*x+6
f+g %符号表达式相加

ans =
2*x^2+8*x+10
f*g %符号表达式相乘

ans =
(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)
3.2.2 符号数值任意精度控制和运算
1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
§ 数值型：MATLAB的浮点运算。
§ 有理数型：Maple的精确符号运算。
§ VPA型：Maple的任意精度运算。

2. 任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
digits(n) %设定默认的精度
说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
S=vpa(s,n) %将s表示为n位有效位数的符号对象
说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')

a =
2*sqrt(5)+pi
digits %显示默认的有效位数

Digits = 32

vpa(a) %用默认的位数计算并显示

ans =
7.6137286085893726312809907207421
vpa(a,20) %按指定的精度计算并显示

ans =
7.6137286085893726313
digits(15) %改变默认的有效位数
vpa(a) %按digits指定的精度计算并显示

ans =
7.61372860858937

3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3 %数值型

a1 =
0.6667
a2 = sym(2/3) %有理数型

a2 =
2/3
a3 =vpa('2/3',32) %VPA型

a3 =
.66666666666666666666666666666667
程序分析：
§ 三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§ 有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
§ VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
§ 数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
format long
a1

a1 =
0.66666666666667
3.2.3 符号对象与数值对象的转换
1. 将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。

2. 将符号对象转换为数值对象
使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法：
N=double(S) %将符号变量S转换为数值变量N
N=numeric(S) %将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量与数值变量进行转换。
clear
a1=sym('2*sqrt(5)+pi')

a1 =
2*sqrt(5)+pi

b1=double(a1) %转换为数值变量

b1 =
7.6137

a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

a2 =
7.6137286085893726312809907207421

b2=numeric(a2) %转换为数值变量

b2 =
7.6137
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
b3=eval(a1)

b3 =
7.6137
用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
whos

Name Size Bytes Class

a1 1x1 148 sym object
a2 1x1 190 sym object
b1 1x1 8 double array
b2 1x1 8 double array
b3 1x1 8 double array

Grand total is 50 elements using 362 bytes
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则
，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
§ 小写字母i和j不能作为自由变量。
§ 符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
§ 大写字母比所有的小写字母都靠后。

2. findsym函数
如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
语法：
findsym(EXPR,n) %确定自由符号变量
说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')

f =
a*x^2+b*x+c
findsym(f) %得出所有的符号变量

ans =
a, b, c, x
g=sym('sin(z)+cos(v)')

g =
sin(z)+cos(v)
findsym(g,1) %得出第一个符号变量

ans =
z
程序说明：符号变量z和v距离x相同，以在x后面的z为自由符号变量。
3.3.2符号表达式的化简
同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例如以下的f(x)就可以分别表示为：
§ 多项式形式的表达方式：f(x)=x3+6x2+11x-6
§ 因式形式的表达方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
§ 嵌套形式的表达方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
【例3.9】三种形式的符号表达式的表示。
f=sym('x^3-6*x^2+11*x-6') %多项式形式

f =
x^3-6*x^2+11*x-6
g= sym('(x-1)*(x-2)*(x-3)') %因式形式

g =
(x-1)*(x-2)*(x-3)
h= sym(' x*(x*(x-6)+11)-6') %嵌套形式

h =
x*(x*(x-6)+11)-6

1. pretty函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
pretty(f)

3 2
x - 6 x + 11 x - 6

2. collect函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
collect(g)

ans =
x^3-6*x^2+11*x-6
当有多个符号变量，可以指定按某个符号变量来合并同类项。下面有x、y符号变量的表达式：
f1=sym('x^3+2*x^2*y+4*x*y+6')

f1 =
x^3+2*x^2*y+4*x*y+6
collect(f1,'y') %按y来合并同类项

ans =
(2*x^2+4*x)*y+x^3+6

3. expand函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
expand(g)

ans =
x^3-6*x^2+11*x-6

4. horner函数
【例3.9续】给出符号表达式的嵌套形式。
horner(f)

ans =
x*(x*(x-6)+11)-6

5. factor函数
【例3.9续】给出符号表达式的因式形式。
factor(f)

ans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)

6. simplify函数
【例3.9续】利用三角函数来简化符号表达式cos2x-sin2x。
y=sym('cos(x)^2-sin(x)^2')

y =
cos(x)^2-sin(x)^2
simplify(y)

ans =
2*cos(x)^2-1

7. simple函数
simple 函数给出多种简化形式，给出除了pretty 、collect、expand、factor、simplify简化形式之外的radsimp、combine、combine(trig)、convert形式，并寻求包含最少数目字符的表达式简化形式。
【例3.9续】利用simple简化符号表达式cos2x-sin2x。
simple(y)

simplify:

2*cos(x)^2-1

radsimp:

cos(x)^2-sin(x)^2

combine(trig):

cos(2*x)

factor:

(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x))

expand:

cos(x)^2-sin(x)^2

combine:

cos(2*x)

convert(exp):

(1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x))^2+1/4*(exp(i*x)-1/exp(i*x))^2

convert(sincos):

cos(x)^2-sin(x)^2

convert(tan):

(1-tan(1/2*x)^2)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2-4*tan(1/2*x)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2

collect(x):

cos(x)^2-sin(x)^2
ans =
cos(2*x)
程序分析：得出最简化的符号表达式为“cos(2*x)”。
3.3.3符号表达式的替换
1. subexpr函数
语法：
subexpr(s,s1) %用符号变量s1来置换s中的子表达式
subexpr函数对子表达式是自动寻找的，只有比较长的子表达式才被置换，比较短的子表达式，即使重复出现多次，也不被置换。
【例3.10】用subexpr函数使的特征值表达式简洁。
syms a b c d x
s=eig([a b;c d]) %计算特征值

s =
[ 1/2*a+1/2*d+1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
[ 1/2*a+1/2*d-1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
subexpr(s,x) %用x替换子表达式

ans =
[ 1/2*a+1/2*d+1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
[ 1/2*a+1/2*d-1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]

2. subs函数
subs函数可用来进行对符号表达式中符号变量的替换。
语法：
subs(s) %用给定值替换符号表达式s中的所有变量
subs(s,new) %用new替换符号表达式s中的自由变量
subs(s,old,new) %用new替换符号表达式s中的old变量
【例3.10续】用subs函数对符号表达式(x+y)2+3(x+y)+5进行替换。
f=sym('(x+y)^2+3*(x+y)+5') %创建符号表达式

f =
(x+y)^2+3*(x+y)+5

x=5;
f1=subs(f) %用工作空间的给定值替换x

f1 =
(5+y)^2+20+3*y
f2=subs(f,'x+y','s') %用s替换x+y

f2 =
((s))^2+3*((s))+5
f3=subs(f,'x+y',5) %用常数5替换x+y

f3 =
45
f4=subs(f,'x','z') %用z替换x

f4 =
((z)+y)^2+3*((z)+y)+5

3.3.4求反函数和复合函数
在MATLAB中finverse函数可以求得符号函数的反函数。
语法：
finverse(f,v) %对指定自变量v的函数f(v)求反函数
说明：当v省略，则对默认的自由符号变量求反函数。
1. 求反函数
【例3.11】求tex的反函数。
f=sym('t*e^x') %原函数

f =
t*e^x
g=finverse(f) %对默认自由变量求反函数

g =
log(x/t)/log(e)
g=finverse(f,'t') %对t求反函数

g =
t/(e^x)
程序分析：如果先定义t为符号变量，则参数't'的单引号可去掉：
syms t
g=finverse(f,t)

2. 求复合函数
【例3.11续】计算tex与ay2+by+c的复合函数。
f=sym('t*e^x'); %创建符号表达式
g=sym('a*y^2+b*y+c'); %创建符号表达式
h1=compose(f,g) %计算f(g(x))

h1 =
t*e^(a*y^2+b*y+c)
h2=compose(g,f) %计算g(f(x))

h2 =
a*t^2*(e^x)^2+b*t*e^x+c
h3=compose(f,g,'z') %计算f(g(z))

h3 =
t*e^(a*z^2+b*z+c)
【例3.11续】计算得出tex与y2的复合函数。
f1=sym('t*e^x');
g1=sym('y^2');
h1=compose(f1,g1)

h1 =
t*e^(y^2)
h2=compose(f1,g1,'z') %计算f(g(z))

h2 =
t*e^(z^2)
h3=compose(f1,g1,'t','y') %以t为自变量计算f(g(z))

h3 =
y^2*e^x
h4=compose(f1,g1,'t','y','z') %以t为自变量计算f(g(z))，并用z替换y

h4 =
z^2*e^x
h5=subs(h3,'y','z') %用替换的方法实现h5与h4相同结果

h5 =
(z)^2*e^x
3.3.5 符号表达式的转换
1. 符号表达式与多项式的转换
构成多项式的符号表达式f(x)可以与多项式系数构成的行向量进行相互转换，MATLAB提供了函数sym2poly和poly2sym实现相互转换。
(1) sym2poly函数
【例3.12】将符号表达式2x+3x2+1转换为行向量。
f=sym('2*x+3*x^2+1')

f =
2*x+3*x^2+1
sym2poly(f) %转换为按降幂排列的行向量

ans =
3 2 1
f1=sym('a*x^2+b*x+c')

f1 =
a*x^2+b*x+c
sym2poly(f1)

??? Error using ==> sym/sym2poly
Input has more than one symbolic variable.
程序分析：只能对含有一个变量的符号表达式进行转换。
(2) poly2sym函数
【例3.12续】将行向量转换为符号表达式。
g=poly2sym([1 3 2]) %默认x为符号变量的符号表达式

g =
x^2+3*x+2
g=poly2sym([1 3 2],sym('y')) %y为符号变量的符号表达式

g =
y^2+3*y+2

2. 提取分子和分母
如果符号表达式是一个有理分式(两个多项式之比)，可以利用numden函数来提取分子或分母，还可以进行通分。
语法：
[n,d]=numden(f)
说明：n为分子；d为分母；f为有理分式。
【例3.13】用numden函数来提取符号表达式和的分子、分母。
f1=sym('1/(s^2+3*s+2)')

f1 =
1/(s^2+3*s+2)
f2=sym('1/s^2+3*s+2')

f2 =
1/s^2+3*s+2
[n1,d1]=numden(f1)

n1 =
1
d1 =
s^2+3*s+2
[n2,d2]=numden(f2)

n2 =
1+3*s^3+2*s^2
d2 =
s^2
3.4 符号极限、微积分和级数求和
3.4.1符号极限
假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本用法如表3.2所示。
表3.2 limit函数的用法
表达式
函数格式
说明

limt(f)
对x求趋近于0的极限

limt(f,x,a)
对x求趋近于a的极限，当左右极限不相等时极限不存在。

limt(f,x,a, left)
对x求左趋近于a的极限

limt(f,x,a, right)
对x求右趋近于a的极限

【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。
f=sym('1/x')

f =
1/x
limit(f) %对x求趋近于0的极限

ans =
NaN
limit(f,'x',0) %对x求趋近于0的极限

ans =
NaN
limit(f,'x',0,'left') %左趋近于0

ans =
-inf
limit(f,'x',0,'right') %右趋近于0

ans =
inf
程序分析：当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。

采用极限方法也可以用来求函数的导数：。
【例3.14续】求函数cos(x)的导数。
syms t x
limit((cos(x+t)-cos(x))/t,t,0)

ans =
-sin(x)
3.4.2符号微分
函数diff是用来求符号表达式的微分。
语法：
diff(f) %求f对自由变量的一阶微分
diff(f,t) %求f对符号变量t的一阶微分
diff(f,n) %求f对自由变量的n阶微分
diff(f,t,n) %求f对符号变量t的n阶微分
【例3.15】已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。
f=sym('a*x^2+b*x+c')

f =
a*x^2+b*x+c
diff(f) %对默认自由变量x求一阶微分

ans =
2*a*x+b
diff(f,'a') %对符号变量a求一阶微分

ans =
x^2
diff(f,'x',2) %对符号变量x求二阶微分

ans =
2*a
diff(f,3) %对默认自由变量x求三阶微分

ans =
0

微分函数diff也可以用于符号矩阵，其结果是对矩阵的每一个元素进行微分运算。
【例3.15续】对符号矩阵求微分。
syms t x
g=[2*x t^2;t*sin(x) exp(x)] %创建符号矩阵

g =
[ 2*x, t^2]
[ t*sin(x), exp(x)]
diff(g) %对默认自由变量x求一阶微分

ans =
[ 2, 0]
[ t*cos(x), exp(x)]
diff(g,'t') %对符号变量t求一阶微分

ans =
[ 0, 2*t]
[ sin(x), 0]
diff(g,2) %对默认自由变量x求二阶微分

ans =
[ 0, 0]
[ -t*sin(x), exp(x)]

diff还可以用于对数组中的元素进行逐项求差值。
【例3.15续】可以使用diff计算向量间元素的差值。
x1=0:0.5:2;
y1=sin(x1)

y1 =
0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093
diff(y1) %计算元素差

ans =
0.4794 0.3620 0.1560 -0.0882
程序分析：计算出的差值比原来的向量少一列。
3.4.3符号积分
积分有定积分和不定积分，运用函数int可以求得符号表达式的积分。
语法：
int(f,’t’) %求符号变量t的不定积分
int(f,’t’,a,b) %求符号变量t的积分
int(f,’t’,’m’,’n’) %求符号变量t的积分
说明：t为符号变量，当t省略则为默认自由变量；a和b为数值，[a,b]为积分区间；m和n为符号对象，[m,n]为积分区间；与符号微分相比，符号积分复杂得多。因为函数的积分有时可能不存在，即使存在，也可能限于很多条件，MATLAB无法顺利得出。当MATLAB不能找到积分时，它将给出警告提示并返回该函数的原表达式。
【例3.16】求积分和 。
f=sym('cos(x)');
int(f) %求不定积分

ans =
sin(x)
int(f,0,pi/3) %求定积分

ans =
1/2*3^(1/2)
int(f,'a','b') %求定积分

ans =
sin(b)-sin(a)
int(int(f)) %求多重积分

ans =
-cos(x)
diff和int命令，也可以直接对字符串f进行运算：
f='cos(x)';
【例3.16续】求符号矩阵的积分。
syms t x
g=[2*x t^2;t*sin(x) exp(x)] %创建符号矩阵

g =
[ 2*x, t^2]