专题2.2：嵌套函数相关问题的研究与拓展.doc

专题2.2：嵌套函数相关问题的研究与拓展 专题2.2：嵌套函数相关问题的研究与拓展 【问题提出】问题1：设函数，若，则_ 变式：设函数f(x),若f(f(a)2,则实数a的取值范围是_. 问题2：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点已知函数（1）当时，求的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围【探究拓展】探究1：若函数有极值点 ,且则关于的方程的不同实根个数是_ 3变式1：设函数，则函数的零点个数为_.4变式2：函数方程有7个根的充要条件是_,变式3：设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则2变式4：已知函数和在的图象如下图表示：给出下列四个命题：方程有且仅有6个根； 方程有且仅有3个根；方程有且仅有5个根； 方程有且仅有4个根；其中正确命题的是_(注：把你认为是正确的序号都填上). 变式5：已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为_变式6： (2009年福建高考第10题)函数的图象关于直线对称. 据此可推测，对任意的非零实数，关于的方程的解集都不可能是（ ）DA. B C D 变式7：已知函数，试讨论方程的解的情况. 变式8：已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是_. 探究2：定义在R上的函数,关于x的方程有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则f (x1x2x3x4x5)_.变式1： 已知函数f(x)则使ff(x)2成立的实数x的集合为 .答案：x|0x1,或x=2变式2：已知定义在R上的函数，则成立的整数x的取值的集合为 变式3：（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数，当时，则实数的取值范围是 .变式4：设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则实数的取值范围为_. 思考：设函数，若函数有且只有3个实根，则实数的取值范围为_.变式5：定义域为的函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是_. 变式6：已知函数，则函数的所有零点之和是_. 变式7：已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值为 .4. 或探究3：已知函数，. 若为单元素集，试求的值. 拓展1：已知，函数，如果函数与函数有相同的零点，试求实数的取值范围.变式：已知是不全为零的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.拓展2：（12年江苏）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数探究4：定义：一般地，对于定义在区间上的函数（1）若存在,使得,则称是函数的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在,使,则称是函数的二阶不动点,简称稳定点；若, 两集合之间的关系如何？拓展1：（2009年上海交大自主招生）定义函数的不动点，当时，我们称为函数的不动点，若有唯一不动点，则也有唯一不动点.拓展2：（2010浙大自主招生）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围； （3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.解：（1）若，则显然成立；若，设，故. （2）有实根，.又，所以，即的左边有因式，从而有. ，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是. （3）由题意：x0是函数的稳定点, 则， 若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾. 若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾 故， 所以x0是函数的不动点. 变式1：设函数（）,若存在使成立，则的取值范围是_变式2：设函数（，为自然对数的底数），若存在使成立，则的取值范围是_.变式3：设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是_拓展3：已知函数，. 若为单元素集，试求的值. 拓展4：能否给出不动点稳定点的几何意义？变式1：（2008年上海交大自主招生）已知函数，且没有实数根，是否有实数根？并证明你的结论.【答案】没有.法一：无实数根，.即为，.于是有或.；.故均不存在实数根.法一：先介绍一个引理.引理：若，则.引理的证明：，有，故，由的任意性知.回到原题. 即，这是一个4次方程，由上述引理知，一定可以分解出这样一个因式.，即.由于无实根. 下面只要说明方程是否有实根即可. 下略(见上面的解法).法二：若，则，对一切恒成立，于是；若，则，对一切恒成立，于是.综上所述，没有实数根.法三：反证法. 若存在，令，则，即是图像上的点；又，即也是图像上的点. 显然这两个点不重合，且这两点关于直线对称. 而是连续函数，故与必有交点，从而有实数解，矛盾！注：从法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数是对的，对一般的连续函数都有一样的结论.变式2：设，则满足条件的所有实数的取值分别为_. 解：由易得.（i）当时，显然成立；（ii）当时，记，令，则，可知即和的解只能为，故必须无解，解得综上：变式3：（2013年江西高考）已知函数，且（1）证明：函数的图像关于直线对称； （2）若满足, 但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围.探究5：设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有（是自然对数的底数），则的值等于_.解析：由，采用换元，即有：(1)(2)； 可知：(3)；又已知函数为增函数，可知，代入(2)式有；因此：；变式1：已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x 0，都有，则= _【答】【说明】必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾所以可设则将c代入，得，即是单调增函数，当c = 时，成立，则变式2：已知定义在上的函数为单调函数，且，则.解答：设，可求得答案为.变式3：已知定义域为上的函数为单调函数，若对任意的x 0，都有，求函数的解析式. 变式4：已知定义域为上的函数为单调函数，若对任意的x 0，都有，求函数的解析式.变式5：已知定义域为的函数满足.（1）若，求；若，求；（2）设有且只有一个实数，使得，求函数的解析式.探究6：函数满足，这样的函数有_个值域应为像集的子集（背景：正交空间投影两次不变性）拓展：已知（）满足，求这样的函数个数有多少个？解：规律为：若满足条件的映射中，仅有个自身映射，那么必有（1）10个（2）证明：设满足条件的映射中仅有个自身映射（）,不妨设，,如果有满足,由,则,与题设矛盾.所以对于,必有接下去利用分步计数原理加以说明第一步：从个数中选出个数构成自身映射，不妨记为,则共有种情形；第二步：剩下的个数映射到的情形共有种情形所以当有个元素构成自身映射的映射个数有,故共有个映射满足条件【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？