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2023年浙江省金华市永康市中考数学模拟试卷
2023年浙江省金华市永康市中考数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023•乐山）下列各数中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．
2．如图，数轴上点A，B，C，D表达的数中，绝对值相等的两个点是（ ）
A．点A和点C B．点B和点C C．点A和点D D．点B和点D
3．下列关于“0”的说法中，对的的是（ ）
A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
4．某校初三（1）班8名女生的体重（单位：kg）为：35，36，38，40，41，42，42，45，则这组数据的众数等于（ ）
A．38 B．39 C．40 D．42
5．由图所示的地板砖各两块所铺成的下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．袋中有形状，大小相同的10个红球和5个白球，闭上眼睛从袋中随机取出一个球，取出的球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在函数①y=﹣2x+1 ②y=2x2﹣1 ③ ④y=﹣x中，通过点（1，﹣1）的函数解析式的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，以点P为圆心，认为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）
9．关于x的不等式﹣2x+a≤2的解集如图所示，那么a的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
10．某种型号的变速自行车的积极轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．则这种变速车共有多少档不同的车速（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．已知∠A=70°，则∠A的余角是 _________ ．
12．（2023•江津区）分式方程的解是x= _________ ．
13．如图，⊙O的直径是AB，CD是⊙O的弦，若∠D=70°，则∠ABC等于 _________ 度．
14．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件： _________ ，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
15．（2023•福州）如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3= _________ ．
16．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=2AB=4，现有一直角三角板的直角顶点放在点O处，直角三角板的两边与矩形ABCD的边交于点E，F，假如OE=a，用a的代数式表达出所有也许的OF的值 _________ ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．
18．先化简，再求值：（a+b）2﹣2（ab﹣b2），其中a=2，b=﹣1．
19．（2023•眉山）如图，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A1B2C2．
（1）在方格纸中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）设B点坐标为（﹣3，﹣2），B2点坐标为（4，2），△ABC与△A1B2C2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．
20．（2023•湘潭）某县七年级有15000名学生参与安全应急预案知识竞赛活动，为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了400名学生的得分（得分取正整数，满分100分）进行记录：
频率分布表
分 组
频 数
频 率
49.5～59.5
20
59.5～69.5
32
0.08
69.5～79.5
0.20
79.5～89.5
124
89.5～100.5
144
0.36
合 计
400
1
请你根据不完整的频率分布表．解答下列问题：
（1）补全频率分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”，这次15000名学生中约有多少人评为“D”？假如随机抽取一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩评为“A”、“B”、“C”、“D”哪一个等级的也许性大？请说明理由．
21．（2023•安顺）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保存根号）
22．如图，将腰长为的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限，使点C的坐标为（﹣1，0），点A在y轴上，点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在该抛物线上，并说明理由．
23．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F．
（1）如图1，点G在矩形ABCD内部，试判断GF与DF的数量关系，并证明你的结论；
（2）①如图2，当点G在BC边上时，即有，则的值为 _________ ；
②当点G在矩形ABCD内部时，假如，求的值；
③当点G在矩形ABCD内部时，假如，用t的代数式表达（直接写出结论）；当点G在矩形ABCD外部时，你得出的结论是否还成立？请直接写出结论即可．
24．如图，直线l1与坐标轴分别交于点A、B，通过原点的直线l2与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，已知点C（3，），且OA=8．在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q，以PQ为边向右作正方形PQEF．设点P的横坐标为t．
（1）点求直线l1的解析式；
（2）当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积的最大值；
（3）设点M坐标为，在点P的运动过程中，点M能否在正方形PQEF内部？若能，求出t的取值范围；若不能，试说明理由．
2023年浙江省金华市永康市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023•乐山）下列各数中，最小的实数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．
考点：实数大小比较。
分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
解答：解：∵四个答案中只有A，B为负数，
∴应从A，B中选；
∵|﹣3|＞|﹣1|，
∴﹣3＜﹣1．
故选A．
点评：本题考察实数的概念和实数大小的比较，得分率不高，也许会出乎我们意料．其失分的主线因素是很多学生对数没有一个整体的概念，对实数的范围模糊不清，以至出现0是最小实数这样的错误答案．
2．如图，数轴上点A，B，C，D表达的数中，绝对值相等的两个点是（ ）
A．点A和点C B．点B和点C C．点A和点D D．点B和点D
考点：数轴；绝对值。
分析：本题需先根据各点在数轴上表达得数，再根据绝对值的性质即可求出结果．
解答：解：根据数轴上点A，B，C，D在数轴上表达的数
得出；A=﹣6，
D=6
∴|A|=6，
∴|D|=6，
∴绝对值相等的两个点是点A和点D．
故选C．
点评：本题重要考察了数轴的表达方法，在解题时要注意绝对值的性质是解题的关键．
3．下列关于“0”的说法中，对的的是（ ）
A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
考点：平方根；有理数；相反数；倒数。
专题：分类讨论。
分析：根据有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义对各选项依次判断即可解答．
解答：解：A、最小的正整数是1，故本选项错误；
B、0的相反数是0，故本选项错误；
C、0没有倒数，对的；
D、0的平方根是0，故本选项错误．
故选C．
点评：本题重要考察有理数的分类，相反数、倒数、平方根的定义，数量掌握各知识点是解答本题的关键．
4．某校初三（1）班8名女生的体重（单位：kg）为：35，36，38，40，41，42，42，45，则这组数据的众数等于（ ）
A．38 B．39 C．40 D．42
考点：众数。
分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义求出这组数的众数即可．
解答：解：数据42出现了两次最多为众数．
故选D．
点评：本题属于基础题，考察了拟定一组数据的众数的能力．
5．由图所示的地板砖各两块所铺成的下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．袋中有形状，大小相同的10个红球和5个白球，闭上眼睛从袋中随机取出一个球，取出的球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式。
专题：应用题。
分析：让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
解答：解：由于所有机会均等的也许共有15种．而抽到白球的机会有5种，因此抽到白球的概率有．
故选B．
点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．在函数①y=﹣2x+1 ②y=2x2﹣1 ③ ④y=﹣x中，通过点（1，﹣1）的函数解析式的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质。
专题：计算题。
分析：把x=1分别代入四个函数关系式求函数值，鉴定函数值是否为﹣1．
解答：解：当x=1时，①y=﹣2x+1=﹣1，②y=2x2﹣1=1，③=﹣1，④y=﹣x=﹣1，
∴满足条件的函数解析式有3个．
故选B．
点评：本题考察了点的坐标与函数解析式的关系．关键是将点的横坐标代入函数解析式，看纵坐标是否相符．
8．如图，以点P为圆心，认为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）
考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理。
分析：过点P作PC⊥AB于点C，运用垂径定理以及结合点A和点B的坐标即可得出点C的坐标，即可得出AC的长度，从而可得出PC的长度，且点P位于第一象限，即可得出P的坐标．
解答：解：过点P作PC⊥AB于点C；
即点C为AB的中点，
又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
故点C（4，0）
在Rt△PAC中，PA=，AC=2，
即有PC=4，
即P（4，4）．
故选C．
点评：本题重要考察垂径定理的应用和解直角三角形的应用，规定学生可以准确作出辅助线，灵活运用所学知识．
9．关于x的不等式﹣2x+a≤2的解集如图所示，那么a的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
考点：在数轴上表达不等式的解集。
分析：根据数轴可知x=﹣1存在，因此x的取值为x≥﹣1，然后根据不等式解出x关于a的不等式，令其等于﹣1即可得出a的值．
解答：解：依题意得：x≥﹣1
∵﹣2x+a≤2
∴﹣2x≤2﹣a
即x≥﹣1
∴﹣1=﹣1
∴a=0．
故选C．
点评：本题考察了解简朴不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而犯错．
（1）解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
（2）数轴上的箭头方向表达数字的递增，若不等式的取值具有等号，则在该点的表达是实心的，若取不到，则在该点的表达是空心的．
10．某种型号的变速自行车的积极轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．则这种变速车共有多少档不同的车速（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
考点：也许性的大小。
分析：易得积极轴上可以有3个变速，后轴上有4个变速，相乘即可得到变速车共有多少档不同的车速．
解答：解：∵积极轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；
∴积极轴上可以有3个变速，
∵后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12，
∴后轴上可以有4个变速，
∵变速比为2，1.5，1，3的有两组，
又∵前后齿轮数之比假如一致，则速度会相等，
∴共有3×4﹣4=8种变速，
故选B．
点评：解决本题的关键是找到两次实验中每次也许出现的结果次数．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．已知∠A=70°，则∠A的余角是 20° ．
考点：余角和补角。
专题：计算题。
分析：根据互余的定义得出．
解答：解：根据定义∠A=70°的余角度数是90°﹣70°=20°．
点评：若两个角的度数和为90°，则这两个角互余．
12．（2023•江津区）分式方程的解是x= 1 ．
考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：观测可得最简公分母为x（x+1）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检查．
解答：解：方程两边同乘x（x+1），
得x+1=2x，
解得x=1．
将x=1代入x（x+1）=2≠0．
所以x=1是原方程的解．
点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
13．如图，⊙O的直径是AB，CD是⊙O的弦，若∠D=70°，则∠ABC等于 20 度．
考点：圆周角定理。
分析：连接AC，构造直角三角形ABC．根据同弧所对的圆周角相等，求得∠A，再进一步根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠ABC．
解答：解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠A=∠D=70°，
∴∠ABC=90°﹣70°=20°．
故答案为：20．
点评：本题考察了圆周角定理，综合运用了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．
14．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件： ∠B=∠1或 ，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
考点：相似三角形的鉴定。
专题：开放型。
分析：此题属于开放题，答案不唯一．注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角相应相等的三角形相似或有两边相应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可．
解答：解：此题答案不唯一，如∠C=∠2或∠B=∠1或．
点评：此题考察了相似三角形的鉴定：有两角相应相等的三角形相似；有两边相应成比例且夹角相等三角形相似．要注意对的找出两三角形的相应边、相应角，根据鉴定定理解题．
15．（2023•福州）如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3= ．
考点：反比例函数系数k的几何意义。
专题：数形结合。
分析：根据反比例函数的几何意义，知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．
解答：解：由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．
∵图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴∴S1=1×（2﹣1）=1，S2=1×（1﹣）=，S3=1×（﹣）=，
∴S1+S2+S3=1++==1.5．
故答案为：1.5．
点评：本题重要考察了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考察的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要对的理解k的几何意义．
16．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=2AB=4，现有一直角三角板的直角顶点放在点O处，直角三角板的两边与矩形ABCD的边交于点E，F，假如OE=a，用a的代数式表达出所有也许的OF的值 2，2a， ．
考点：旋转的性质；矩形的性质。
专题：计算题。
分析：当F为CD的中点时，OE=FC=FD=a，由△DFO∽△DCB，运用相似比求OF，当F不是CD的中点时，作OM⊥BC，ON⊥CD，垂足分别为M、N，可证△OME∽△ONF，由相似比可求OF，当F与C点重合时，过O点作OG⊥OC，交BC于G点，
解答：解：①当F为CD的中点时，OE=FC=FD=a=1，
∵O为BD的中点，∴OF∥BC，
∴△DFO∽△DCB，则==，OF=2=2，
②当F不是CD的中点时，作OM⊥BC，ON⊥CD，垂足分别为M、N，
∵∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOE=∠NOF，
∴△OME∽△ONF，==2，OF=2a，
③当F与C点重合时，过O点作OG⊥OC，交BC于G点，
OF=OC=AC==．
故答案为：2，2a，．
点评：本题考察了旋转的性质，关键是由旋转得出几个特殊位置的OF的值．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17．
考点：特殊角的三角函数值；零指数幂。
专题：计算题。
分析：分别根据0指数幂、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
解答：解：，
=1+4×﹣3，
=1+2﹣3，
=1﹣．
故答案为：1﹣．
点评：本题考察的是指数幂、特殊角的三角函数值及二次根式的性质，纯熟掌握以上知识是解答此题的关键．
18．先化简，再求值：（a+b）2﹣2（ab﹣b2），其中a=2，b=﹣1．
考点：整式的混合运算—化简求值。
分析：解题关键是化简，再把给定的值代入求值．
解答：解：原式=a2+2ab+b2﹣2ab+2b2=a2+3b2，
∴当a=2，b=﹣1时，原式=22+3×（﹣1）2=4+3=7．
点评：本题重要考察了完全平方公式、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的解决．
19．（2023•眉山）如图，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A1B2C2．
（1）在方格纸中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）设B点坐标为（﹣3，﹣2），B2点坐标为（4，2），△ABC与△A1B2C2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．
考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。
专题：作图题；网格型。
分析：根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而求出A（﹣2，0），A1（3，0），P（，0）．
解答：解：（1）如图：
（2）△ABC与△A1B2C2成中心对称，
如（1）中图所示，连接CC2（或BB2）交AA1于点P．
则P点就是对称中心．
∵B（﹣3，﹣2），B2（4，2），∴A（﹣2，0），A1（3，0），
∴P（，0）．
点评：本题考察的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的相应点也是关键的一步．平移作图的一般环节为：①拟定平移的方向和距离，先拟定一组相应点；②拟定图形中的关键点；③运用第一组相应点和平移的性质拟定图中所有关键点的相应点；④按原图形顺序依次连接相应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先拟定图形的关键点；②运用旋转性质作出关键点的相应点；③按原图形中的方式顺次连接相应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．中心对称是旋转180度时的特殊情况．
20．（2023•湘潭）某县七年级有15000名学生参与安全应急预案知识竞赛活动，为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了400名学生的得分（得分取正整数，满分100分）进行记录：
频率分布表
分 组
频 数
频 率
49.5～59.5
20
59.5～69.5
32
0.08
69.5～79.5
0.20
79.5～89.5
124
89.5～100.5
144
0.36
合 计
400
1
请你根据不完整的频率分布表．解答下列问题：
（1）补全频率分布表；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将得分转化为等级，规定得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”，这次15000名学生中约有多少人评为“D”？假如随机抽取一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩评为“A”、“B”、“C”、“D”哪一个等级的也许性大？请说明理由．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表。
专题：图表型。
分析：（1）根据频数分布表：可知69.5﹣79.5这组频数为400﹣（20+32+124+144）=80；
（2）依次可计算出49.5﹣59.5这组的频率为0.05，79.5﹣89.5这组的频率为0.31．据此可补全直方图．
（3）用样本估计总体，可知总体中B的频率为0.2+0.31=0.51，大于A、C、D的频率，故这名学生评为B等的也许性最大．
解答：解：（1）如图，
分 组
频 数
频 率
49.5～59.5
20
0.05
59.5～69.5
32
0.08
69.5～79.5
80
0.20
79.5～89.5
124
0.31
89.5～100.5
144
0.36
合 计
400
1
（2）如图，
（3）15000×0.05=750（人），
∵B的频率为0.2+0.31=0.51，大于A、C、D的频率，故这名学生评为B等的也许性最大．
点评：本题考察的是条形记录图综合运用．读懂记录图，从不同的记录图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形记录图能清楚地表达出每个项目的数据．
21．（2023•安顺）如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保存根号）
考点：切线的鉴定；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形。
专题：几何综合题。
分析：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）运用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可运用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．
解答：解：（1）DF与⊙O相切．
证明：连接OD，
∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC，
∴∠ADF=30°．
∵OB=OD，∠DBO=60°，
∴∠BDO=60°．（3分）
∴∠ODF=180°﹣∠BDO﹣∠ADF=90°．
∴DF是⊙O的切线．（5分）
（2）∵AD=BD=2，∠ADF=30°，
∴AF=1．
∴FC=AC﹣AF=3．（7分）
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
在Rt△FHC中，sin∠FCH=，
∴FH=FC•sin60°=．
即FH的长为．（10分）
点评：判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意运用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
22．如图，将腰长为的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限，使点C的坐标为（﹣1，0），点A在y轴上，点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在该抛物线上，并说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据腰长为的等腰Rt△ABC（∠C=90°），由AC=，CO=1，求出AO即可得出A点的坐标，进而得出B点的坐标；
（2）将B点坐标代入y=ax2+ax﹣2即可得出二次函数解析式；
（3）运用旋转的性质得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，进而得出△AC′P≌△CAO，得出B′（1，﹣1）C′（2，1）代入二次函数解析式求出即可．
解答：解：（1）如图1，做BE⊥x轴，
∵腰长为的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（﹣3，1）；
（2）将B点（﹣3，1）坐标代入y=ax2+ax﹣2即可得出二次函数解析式；
解析式为：y=+x﹣2；
（3）如图2，过点B'作B'M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C'作C'P⊥y轴于点P．在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°﹣∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，﹣1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
当x=1时y=+x﹣2=﹣1，
当x=2时y=+x﹣2=1，
可知点B′、C′在抛物线上．
点评：此题重要考察了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的鉴定等知识，注意运用旋转前后图形的性质得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，进而得出△AC′P≌△CAO是解决问题的关键．
23．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F．
（1）如图1，点G在矩形ABCD内部，试判断GF与DF的数量关系，并证明你的结论；
（2）①如图2，当点G在BC边上时，即有，则的值为 2 ；
②当点G在矩形ABCD内部时，假如，求的值；
③当点G在矩形ABCD内部时，假如，用t的代数式表达（直接写出结论）；当点G在矩形ABCD外部时，你得出的结论是否还成立？请直接写出结论即可．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。
分析：（1）运用图形的翻折变换性质的出Rt△EGF≌Rt△EDF；
（2）运用（1）中结论得出=2，进而运用射影定理表达出EG以及AD，AB的长求出即可．
解答：解：（1）GF=DF，
证明：∵矩形ABCD中，E是AD的中点，
将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，
EF=EF，∠A=∠BGE=∠D=90°，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF；
（2）①∵DC=DF，AE=ED=AB，
∴=2，
故答案为：2；
②假设DF=x，则FG=x，BG=2x，
∵由（1）知∠BEF=90°，
∴EG2=BG×GF，
∴EG=x，
AD=2x，
AB=2x，
∴=；
③，当点G在矩形ABCD外部时，得出的结论还成立．
点评：此题重要考察了图形的翻折变换以及三角形全等的证明等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．
24．如图，直线l1与坐标轴分别交于点A、B，通过原点的直线l2与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，已知点C（3，），且OA=8．在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q，以PQ为边向右作正方形PQEF．设点P的横坐标为t．
（1）点求直线l1的解析式；
（2）当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积的最大值；
（3）设点M坐标为，在点P的运动过程中，点M能否在正方形PQEF内部？若能，求出t的取值范围；若不能，试说明理由．
考点：一次函数综合题；正方形的性质。
分析：（1）本题需先根据已知条件，设出直线l1的解析式再根据C点的坐标和OA的长，求出k与b的值来，即可求出结果．
（2）先根据题意得出P、Q点的坐标，从而解出t的值，然后再分两种情况进行讨论，分别得出S的最大值，及可求出结果．
（3）本题分两种情况进行讨论，当t＜3时和t＞3时，分别求出t的取值范围，即可求出结果．
解答：解：（1）设直线l1的解析式为y=kx+b，
∵直线l1与直线l2交于点C，
又∵OA=8，
∴把C（3，），A（8，0）代入上式得：
，
解得：b=6，k=﹣，
∴直线l1的解析式为：；
（2）点P在线段AC上时，根据题意有：，，
∴，
当EF在AD上时，t+2t﹣6=8，有，
当时，S=（2t﹣6）2，
当时，S最大=，
当时，，
当时，；
所以，S的最大值为；
（3）当t＜3时，有，
解得：t＜2，
当t＞3时，有，
解得：，
点M能在正方形PQEF内部，此时t的取值范围是或t＜2．
点评：本题重要考察了一次函数的综合应用，解题时要注意知识的综合运用，是一道很好的题．
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