漫谈提高解几解题速度的策略.docx

编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第9页 共9页漫谈提高解几解题速度的策略苏州外国语学校 张锦成解析几何就是运用坐标法解决两类基本问题：一类是求满足给定条件的点的轨迹即曲线，通过建立适当的坐标系求其方程也就是求曲线的方程；另一类是通过对曲线方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。高考中对于解析几何要求较高，究竟“考什么、怎么考、考多难”，结合08 年课改后各省市及全国高考卷中的解析几何题，可以看出高考中的解析几何就是围绕解析几何的两类基本问题来考查的，大部分学生觉得题难，有点让人摸索不透，很多学生为其而烦。解几题如果方法不当，则很难实施解题，即便免强能解，也是运算量超大，让人如临大敌，因此提高解题技巧，优化解题方法，就显得尤为重要，现就解几中常见的题型，强调几个应注意的策略： 一、.把向量条件数量化是解决以向量为背景的解析几何问题的第一程序解析几何在数学中体现了重要的数学思想“数形结合”，它能有效的培养学生的分析、解决问题的能力，其中以向量与解几的结合是数形结合的最佳载体，既有数的运算又有相应的几何意义。当解析几何问题中涉及到夹角、平行、垂直、共线、求动点轨迹等问题时可借助于向量进行解决。要充分利用向量条件中的信息，将位置关系转化为向量，将向量转化为坐标，这样复杂的问题就能简单化，容易理解、便于解决。例1 设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过A与AF垂直的直线分别交椭圆C和x轴正半轴于P，Q两点，且。 求椭圆C的离心率；OFAPQyx 若过A，Q，F三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程。【分析】：本题若通过直线方程来处理题设中的垂直，通过线段的长度来处理向量的关系，一定很烦；若是用向量处理垂直问题，设出相应的点，用点的坐标去表示向量，巧妙地将形转化为数，这样会使问题简单易解。详解如下：解：设，则，得，设，由得：，由点P在椭圆上，得所以椭圆的离心率为。 由，所以又，所以的外接圆的圆心为于是C到直线的距离，则所以椭圆方程为二、认清问题的本质，把问题化归彻底有些学生在处理问题的时候，不是不具备解析法的思想也不是没有处理解几问题应该具备的计算、分析能力，而是没有透过现象，认清问题的本质，或者说没有读懂题，就急于解题，这样的解题，切不可取。此时一定要分析问题的中心是什么，是什么量决定了问题的可研究性，例2 （江苏高考调研）已知在直角三角形中，若椭圆以、为焦点，且经过点.(1)试建立恰当的直角坐标系，求出椭圆的标准方程；(2)若经过左焦点的直线与椭圆交于、两点，问是否存在不等于零的实数，满足？若存在，求出实数的值 ， 若不存在，说明理由。【分析】：该题的第二问是对的探求问题，向量表达式的形的意义就是线段的中点、点、三点共线，即当直线的斜率取一确定值时能保证上述条件，所以该问题应该围绕直线的斜率来讨论，先确定的值然后再确定的值。有的同学没有搞清问题的本质，围绕来做文章，那么这个问题的处理就进了死胡同。解略。ABMxyOE例 3如图所示,已知圆交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN.（）若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长；（）若弦MN的中点恰好落在x轴上,求弦MN所在直线的方程；（）设弦MN上一点P(不含端点)满足成等比数列(其中O为坐标原点),试探求的取值范围.【分析】： 将三道小题都集中在圆的一条动弦上,同时考查了直线方程、圆的方程、平面向量的数量积、一元二次不等式、等比数列这五个C级知识点,另外还考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识点.现在高考命题的趋势就是在直线与圆内寻找新的亮点.很多情况下,新意达到了,同时题目的难度也上去了。有的同学不懂该题第三问的意思不知如何下手，实际上点是动弦上的动点，就是圆内任意一点，成等比数列，则又在一双曲线上，即双曲线在圆内的部分就是的轨迹，这样问题就好处理了。三、充分利用平面几何知识简化解题初中对“平几”已作了深入研究，“解析几何”首先以直线和圆作为研究对象，其目的是让我们更易，更快，更深的掌握解析法。这部分内容有着“承上启下”的特点，“解析几何”中往往会涉及初中平面几何知识，在处理问题时，有时要走出解几的思维模式，有机地运用平面几何知识，能起到化敏为简的功效。需要特别提醒的是：在用解析法研究直线与圆的过程中不要忽视它自身的几何性质。要擅于应用它们的“几何性质”解题，在很多情况下“几何性质”显得更为容易，方法显得更为灵巧。例4（05浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21求若点P在直线上运动，求F1PF2取最大值时点的坐标A1F1MxyPF2A2Ol【分析】：该题如果从函数角度考虑，最终转化为求正切函数的最大值 。略解如下：易求 准线方程，不妨设点坐标为当时，；当时，只需求的最大值即可,则当且仅当时，最大，当点的坐标为时，最大。另法：根据圆的知识要保证最大，则以线段为弦的圆的半径要最小，而点在直线上，故圆与直线又要相切，所以满足上述两条件的圆与直线的切点就是所求的点。由切割线定理知,所以则点坐标为。用此方法解决下例就很方便。aCBOAPDl例5（09无锡一模）某人在一小斜坡上的P点处（坡高h=10m）观看对面一座大楼顶上的广告画，如图所示，画高BC=8m，画所在的大楼高OB=22m，图上所示的山坡坡面可视为直线，A为直线与水平地面的交点，OA=20m，与水平地面的夹角为，若点P在直线上，试问：距水平地面多高时，此人观看广告画的视角最大？（不计此人身高）【分析】：该题当然可以用例4的方法，借助于正切函数的单调性来处理，但同样也可以用平面几何的知识来处理。以为弦与直线相切的切点，就是此人应该所处的位置。下面以解析法处理比较方便。具体过程略。四、形成几个条件反射1.当有点在曲线上的条件时，要注意该点的两重性，一是点满足曲线的定义，二是点坐标满足曲线的方程。圆锥曲线定义揭示了它的本质的属性，利用定义解题，是最基本的方法。圆锥曲线中的许多问题，是直接由定义延伸或转化而来的，旨在考查学生对重要概念的深层次理解以及灵活运用的能力，巧用定义结合图形解题，有利于洞察数量关系和结构关系，是一种简洁的思维形式，常常可收到事半功倍的效果。由于圆锥曲线是用“距离”来定义的，所以便于运用比例的性质来建立数量关系，结合相关几何背景，利用定比将线段转移，并经过比例运算，从而确定相关的几何量。例6 若椭圆的左准线为，左、右焦点分别为，抛物线的准线也为，焦点为，点为和的一个交点，则 .【分析】：设到的距离为，在上则那么MPF1F2QOxy例7.已知椭圆的左右焦点分别为，其半焦距为，圆的方程为。（1）若是圆上的任意一点，求证：为定值；（2）若椭圆经过圆上的一点且，求椭圆的离心率；（3）在（2）的条件下，若（O为坐标原点），求圆的方程。【分析】：（1）如果一动点到两定点的距离之比是非1的常数，那么动点的轨迹是阿波罗圆。显然是定值。（2）求离心率就是再找一A个关于的关系，而根据点的双重属性结合圆与椭圆的定义，易知，而，根据余弦定理，可以求出离心是，那么。(3) 这一小题的解法比较多，可以说从不同的角度分析，就有不同的方法。第一种思路是紧抓点的坐标满足曲线的方程，由点的双重属性，可以直接求出点的坐标（用c表示），再由两点之间的距离公式求出c，就可得到圆的方程。但这种方法涉及解方程组，计算比较繁一点；第二种思路是围绕椭圆的第二定义，求出点的横坐标或纵坐标，设点坐标为，过点作左准线的垂线垂足为，从而解得，另一途径是由，解得，进而求出圆的方程；第三种思路是根据向量的数量积来处理，两边平方，得，求得。所以圆的方程是。2当直线经过圆锥曲线的焦点时，注意这条直线的一些特殊性质。例8（09南通调研） 抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数，使0，（1）求直线AB的方程；（2）求AOB的外接圆的方程【分析】：本题主要考查向量、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生灵活运用圆的标准方程或一般方程求圆的方程，理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，也可求出交点坐标关注弦长公式：，抛物线的焦点弦长为关键是要抓住表达式的几何意义、三点共线解：（1）抛物线的准线方程为，A，B，F三点共线由抛物线的定义，得|= 设直线AB：，而由得。|= 从而，故直线AB的方程为，即。（2）由 求得A（4，4），B（，1）设AOB的外接圆方程为，则 解得 故AOB的外接圆的方程为五、涉及计算的时候要细心、要有信心，更要注意数据的处理方式解析几何第一步是检查框架，先居高临下，站在高处看这个题，然后再考虑每一步去实施，具体的就是计算。解析几何计算量很大，即使你不能完全做出这个题，只要你踏踏实实按照步骤来做，你就能得步骤分。如果能顽强解出一两个题出来，你的自信心就出来了。如果计算能力不过关。这个时候就得反复练习，做一遍不行，做两遍，做两遍不行做三遍，一定要把题做出来，只有做出来，你才会感觉到里边有很多你发现不了的问题，你才知道有很多你欠缺的问题。然后你知道问题在哪儿了，信心也就足了。平时多练习，最后加上细心，在高考中解析几何一定可以得高分。 例9（福建文科22）如图，椭圆（ab0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（）求椭圆的方程；（）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交于点，直线与交于点求证：点恒在椭圆上；【分析】：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程等基本知识，考查运算能力。该题对数学思维能力的要求相对较低，而对计算能力要求较高，对学生而言只要细心计算就可以解决问题。（1）解略 ()解如下由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n0),=1. AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, n(x0-4)+(m-4)y0=0, 由，得x0=.所以点M恒在椭圆G上。解析几何问题的类型很多，解决的方法多种多样，如果能在策略上注意本文所讲的几个要点，对提高解题速度，提高准确率一定会有所帮助。第 9 页 共 9 页