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IIR数字滤波器C语言
分类： 数字信号处理 2013-09-16 14:04 2146人阅读 评论(2) 收藏 举报
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11巴特沃斯滤波器的次数
12巴特沃斯滤波器的传递函数
13巴特沃斯滤波器的实现C语言
双1次z变换
21双1次z变换的原理
22双1次z变换的实现C语言
IIR滤波器的间接设计代码C语言
间接设计实现的IIR滤波器的性能
31设计指标
32程序执行结果
1.模拟滤波器的设计
      1.1巴特沃斯滤波器的次数
        根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。

       在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减

将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有

最后，可以解得次数N为

当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。
      1.2巴特沃斯滤波器的传递函数
         巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。其分母多项式

根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N为偶数的时候，

这里，使用了欧拉公式。同样的，当N为奇数的时候，

同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为

上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。

       1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）
          首先，是次数的计算。次数的计算，我们可以由下式求得。

其对应的C语言程序为
[cpp] view plaincopy
N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /   
            log10 (Stopband/Cotoff) ));  
         然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，

这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为
[cpp] view plaincopy
typedef struct   
{  
    double Real_part;  
    double Imag_Part;  
} COMPLEX;  

COMPLEX poles[N];  

for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)  
{  
    if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)  
    {  
        poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));  
    　　poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));        
        count++;  
        if (count == N) break;  
    }  
}   

       计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下式一样

这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，
[cpp] view plaincopy
int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,  
                 double *Res_Real,double *Res_Imag)  

{  
       *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);  
       *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);      
     return (int)1;   
}  
有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。我们做如下假设

这个时候，其传递函数为

将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。

计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。其代码为
[cpp] view plaincopy
 Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;   
 Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;  
 Res[1].Real_part = 1;   
 Res[1].Imag_Part= 0;  

for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)  
{  
  for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)  
  {  
      if(0 == count)  
 　{  
              Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
                   &(Res_Save[count].Real_part),  
                   &(Res_Save[count].Imag_Part));  
      }  
      else if((count_1 + 2) == count)  
      {  
            Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
   　Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;  
      }         
  　else   
  　{  
              Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
                   &(Res_Save[count].Real_part),  
                   &(Res_Save[count].Imag_Part));                 
1   　　Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
  　　 Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;  
 　}  
  }  
 　　*(b+N) = *(a+N);  
到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。
2.双1次z变换
      2.1双1次z变换的原理
        我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。这里着重说说双1次z变换。我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。
        和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。

将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，

其中，x(t)表示输入，y(t)表示输出。然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果

然后使用z变换，再将其化简。可得到如下结果

从而，我们可以得到了s平面到z平面的映射关系，即

由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联，所以，这个映射关系在高阶系统中，也是成立的。

然后，将关系式

带入上式，可得

到这里，我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。

         这里的Ω与ω的对应关系很重要。我们最终的目的设计的是数字滤波器，所以，设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候，首先是要设计模拟滤波器，再通过变换，得到数字滤波器。那么，我们首先需要做的，就是将数字滤波器的指标，转换为模拟滤波器的指标，基于这个指标去设计模拟滤波器。另外，这里的采样时间T的取值很随意，为了方便计算，一般取1s就可以。
       2.2双1次z变换的实现（C语言）
         我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。

我们将其进行双1次z变换，我们可以得到如下式子

可以看出，我们还是需要将式子乘开，进行合并同类项，这个跟之前说的算法相差不大。其代码为。
[cpp] view plaincopy
for(Count = 0;Count<=N;Count++)  
    {         
          　for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)  
            {  
                 Res[Count_Z] = 0;  
             Res_Save[Count_Z] = 0;    
            }  
                Res_Save [0] = 1;  
         　 for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)  
            {  
            　　for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
                {  
                    if(Count_2 == 0)  Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];      
　　　　　　　　　        　else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
                       　    Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];   
　　　　　　　　　　        else  Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];  
　　           　for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
              　　　{  
                    　 Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
                   　　Res[Count_Z]  = 0;  
              　　　}            
            }  
        for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)  
            {  
                        for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
                {  
                     if(Count_2 == 0) 　Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];     
                 else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
                      　　　　　　　 Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];  
                 else    
                       Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];     
            　}  
                  for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
                  {  
                       Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
                   Res[Count_Z]  = 0;  
                  }  
            }  
            for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
        {  
                    *(az+Count_Z) += 　pow(2,N-Count) * (*(as+Count)) *  
　　　　　　　　　　　      　　　　 　Res_Save[Count_Z];  
                *(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];               
         }    
    }  
到此，我们就已经实现了一个数字滤波器。

3.IIR滤波器的间接设计代码（C语言）
[cpp] view plaincopy
#include <stdio.h>  
#include <math.h>  
#include <malloc.h>  
#include <string.h>  

#define     pi     ((double)3.1415926)  

struct DESIGN_SPECIFICATION  
{  
    double Cotoff;     
    double Stopband;  
    double Stopband_attenuation;  
};  

typedef struct   
{  
    double Real_part;  
    double Imag_Part;  
} COMPLEX;  

int Ceil(double input)  
{  
     if(input != (int)input) return ((int)input) +1;  
     else return ((int)input);   
}  

int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b  
                                     ,double *Res_Real,double *Res_Imag)  

{  
       *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);  
       *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);      
     return (int)1;   
}  

int Buttord(double Cotoff,  
                 double Stopband,  
                 double Stopband_attenuation)  
{  
   int N;  

   printf("Wc =  %lf  [rad/sec] \n" ,Cotoff);  
   printf("Ws =  %lf  [rad/sec] \n" ,Stopband);  
   printf("As  =  %lf  [dB] \n" ,Stopband_attenuation);  
   printf("--------------------------------------------------------\n" );  

   N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /   
                    log10 (Stopband/Cotoff) ));  

   return (int)N;  
}  

int Butter(int N, double Cotoff,  
               double *a,  
               double *b)  
{  
    double dk = 0;  
    int k = 0;  
    int count = 0,count_1 = 0;  
    COMPLEX poles[N];  
    COMPLEX Res[N+1],Res_Save[N+1];  

    if((N%2) == 0) dk = 0.5;  
    else dk = 0;  

    for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)  
    {  
         if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)  
         {  
               poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));  
          poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));        
              count++;  
            if (count == N) break;  
         }  
    }   

     printf("Pk =   \n" );     
     for(count = 0;count < N ;count++)  
     {  
           printf("(%lf) + (%lf i) \n" ,-poles[count].Real_part  
                                      ,-poles[count].Imag_Part);  
     }  
     printf("--------------------------------------------------------\n" );  

     Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;   
     Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;  

     Res[1].Real_part = 1;   
     Res[1].Imag_Part= 0;  

    for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)  
    {  
         for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)  
         {  
              if(0 == count)  
           {  
                    Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
                                   &(Res_Save[count].Real_part),  
                                   &(Res_Save[count].Imag_Part));  
               //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[0].Real_part,Res_Save[0].Imag_Part);  
              }  

              else if((count_1 + 2) == count)  
              {  
                     Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
                Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;    
              }         
            else   
            {  
                     Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],  
                                   &(Res_Save[count].Real_part),  
                                   &(Res_Save[count].Imag_Part));  

                       //printf( "Res          : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res[count - 1].Real_part,Res[count - 1].Imag_Part);  
                //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].Imag_Part);  

                Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;  
                Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;  

                //printf( "Res_Save : (%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].Imag_Part);  

            }  
            //printf("There \n" );  
         }  

         for(count = 0;count <= N;count++)  
         {  
               Res[count].Real_part = Res_Save[count].Real_part;   
                 Res[count].Imag_Part= Res_Save[count].Imag_Part;  

            *(a + N - count) = Res[count].Real_part;  
         }  

         //printf("There!! \n" );  

        }  

     *(b+N) = *(a+N);  

     //------------------------display---------------------------------//  
     printf("bs =  [" );     
     for(count = 0;count <= N ;count++)  
     {  
           printf("%lf ", *(b+count));  
     }  
     printf(" ] \n" );  

     printf("as =  [" );     
     for(count = 0;count <= N ;count++)  
     {  
           printf("%lf ", *(a+count));  
     }  
     printf(" ] \n" );  

     printf("--------------------------------------------------------\n" );  

     return (int) 1;  
}  

int Bilinear(int N,   
                 double *as,double *bs,  
                 double *az,double *bz)  
{  
      int Count = 0,Count_1 = 0,Count_2 = 0,Count_Z = 0;  
      double Res[N+1];  
    double Res_Save[N+1];   

        for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)  
    {  
                 *(az+Count_Z)  = 0;  
            *(bz+Count_Z)  = 0;  
    }  

    for(Count = 0;Count<=N;Count++)  
    {         
          for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)  
            {  
                 Res[Count_Z] = 0;  
             Res_Save[Count_Z] = 0;    
            }  
             Res_Save [0] = 1;  

          for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)  
            {  
            for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
                {  
                     if(Count_2 == 0)    
                 {  
                       Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];  
                     //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
                 }    

                 else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
                 {  
                       Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];     
                              //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
                 }   

                 else    
                 {  
                       Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];  
                    //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
                 }                 
            }  

                    //printf( "Res : ");  
              for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
              {  
                     Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
                   Res[Count_Z]  = 0;  
                //printf( "[%d]  %lf  " ,Count_Z, Res_Save[Count_Z]);       
              }  
              //printf(" \n" );  

            }  

        for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)  
            {  
                    for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)  
                {  
                     if(Count_2 == 0)    
                 {  
                       Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];  
                     //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
                 }    

                 else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 != 0))    
                 {  
                       Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];  
                              //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
                  }   

                 else    
                 {  
                       Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];  
                     //printf( "Res[%d] %lf  \n" , Count_2 ,Res[Count_2]);  
                 }                 
            }  

                   //   printf( "Res : ");  
              for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
              {  
                     Res_Save[Count_Z]  =  Res[Count_Z] ;  
                   Res[Count_Z]  = 0;  
                //printf( "[%d]  %lf  " ,Count_Z, Res_Save[Count_Z]);       
              }  
               //printf(" \n" );  
            }  

             //printf( "Res : ");  
        for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)  
        {  
                    *(az+Count_Z) +=  pow(2,N-Count)  *  (*(as+Count)) * Res_Save[Count_Z];  
             *(bz+Count_Z) +=  (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];         
                     //printf( "  %lf  " ,*(bz+Count_Z));           
         }    
         //pr