《高等数学》(下)期末考试考前复习(网络版)2012.6.14.doc

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《高等数学》下册期末考试考前复习2013.6.20
第一部分 空间解析几何与向量代数
一、向量代数
1、向量的概念
（1）向量的定义
有大小有方向的线段（自由向量）
（2）向量的表示
1）， 为向量的直角坐标表示
2），
其中为向量的模（大小），
为的单位向量，，
为的方向余弦，
注：若有两点：，则向量为

2、向量的运算
（1）线性运算

（2）数量积（标积，点积）
1）
2）
特例：当时，（两向量垂直的判据）
（3）向量积（矢积，叉积）
1），与为右手螺旋关系
2）
特例：当时，，或
（两向量平行的判据）
3、 两点的间距公式

4、平面外一点到平面的距离公式：

平面的点法式方程为：
二、空间解析几何
1、空间曲面与空间曲线
（1）方程
曲面方程 （三元方程）
曲线方程 或
（2）常见的曲面与曲线
1） 柱面—— 一直线（母线）沿着一平面曲线（准线）作平行于一
定直线的移动所得的曲面
母线轴的柱面：
母线轴的柱面：
母线轴的柱面：
2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面
例旋转曲面
3）空间螺旋线

4）二次曲面（三元二次方程）
椭球面

椭球面与平行于坐标面平面的交线：
；
；

分别为在，与平面的椭圆。
抛物面
椭圆抛物面；
双曲抛物面（同号）
椭圆抛物面与平行于坐标面平面的交线：
为在平面的椭圆；
为在平面的抛物线
为在平面的抛物线
双曲面
（单叶）
（双叶）
单叶双曲面与平行于坐标面平面的交线：
为在平面的椭圆；

为在平面的双曲线
为一对相交于（）的直线；
为一对相交于（）的直线；
（3）空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线（空间曲线关于面的投影柱面）（空间曲线在面上的投影曲线）
2、平面与直线
（1）平面
（三元一次方程）
表示：1）点法式
其中
2）一般式
其中
3）截距式
其中为平面在三个直角坐标轴上的截距
注：） 通过坐标原点的平面：，且没有截距式；
）轴的平面：；轴的平面：
（2）直线
表示：1）对称式
其中方向向量
2） 一般式
当两平面不平行，即时，其交线为直线
3）参数式

（3）交角
1）两平面间的交角
即两平面法向量间的交角
，
当时，；
时，；
2） 两直线间的交角
即两直线的方向向量间的交角
，
当时，；
时，；
3）直线与平面间的交角
即直线的方向向量与平面法向量
间的交角的余角
，
当时，
时，；

第二部分 多元函数微分学

一、 多元函数的极限
二元函数
若（确定、有限），
则当以任意方式（有无穷多种方式）趋于时，极限 存在。
二、 多元函数的连续性
二元函数
若，
则在点连续。
三、多元函数的可导性
二元函数 ， 多元函数
1、偏导数的定义
二元函数
（1）一阶偏导数

式中，
均称为偏增量
（2）二阶偏导数

其它多元函数偏导数的定义与上相似
2、多元函数的可导性
若在点，存在偏导数，则称在
点可导。
注：（1）由二元函数可导性的定义可见，在点可导，未必在该点连续；
（2）当一阶偏导数存在且连续时，则在处可微；可微必可导，但可导未必可微。这一点与一元函数不同。
3、隐函数的偏导数
（1）隐函数以一个方程表示的情形
二元函数
《解法一》利用如下公式求偏导数：
；
《解法二》对两边对自变量或求偏导数，从而求出：或。
（这与一元隐函数求导数的两种解法相似）
（2）隐函数以方程组表示的情形

说明：上述方程组中的四个变量中只有两个独立变量
假如、在点的某一邻域，具有对各个变量的连续偏导数，且偏导数组成的Jacobi行列式

在点，，则方程组在点的某一邻域恒能够确定一组连续且具有连续偏导数的函数，它们满足

4、复合多元函数的偏导数
若，则说明：
二元复合函数具有：
三个中间变量：；二个最终自变量：
二元复合函数有两个对最终自变量偏导数公式，每个偏导数公式中包含三项，即

终上所述，偏导数的公式数=最终自变量的数目；每个偏导数公式包含的项数=中间变量的数目
注：（1）当某个最终自变量既是最终自变量又是中间变量时，必须要分清不同场合的不同身份，例如
，这是一个二元复合函数,
最终自变量有两个：；中间变量有三个：
因此，偏导数公式有两个，每个偏导数公式中含三项：即

（2）复合多元函数的偏导数的求算有两种算法：
1）按照上述算法求算偏导数；
2）先将中间变量与最终自变量的函数关系代入多元复合函数，使其直接成为多元函数，再求偏导数

5、多元函数的全微分
（1）二元函数在考察点可微的充分必要条件是：的偏导数在考察点存在且连续
（2）多元函数的全微分的表示
二元函数

三元函数

（3）在区域为某一二元函数的全微分的充分必要条件是：1）区域是一个单连通区域；
2）在处处成立
若已知，且都满足的充分必要条件，则可以通过以下步骤求得的形式：

四、多元函数的极值
二元函数的极值

若在 点可导，则极值点必为驻点：
；
且

， 极大
， 极小

非极值

不确定，须由定义判断
其中
注：条件极值问题
目标函数，约束条件
引入函数， （其中称为不定乘数（子））
求可能极值点（）：
求解以下方程组

得。在仅有一个可能极值点的情况下，该点也就是真正的极值点；在有多个可能极值点的情况下要逐一讨论。
上述做法可推广到三元或三元以上的多元函数情形，也可以推广到多个约束条
件的情形
注：在有些问题中。我们可以将条件极值问题变换成无条件极值问题处理，具体步骤如下：利用约束条件，将自变量化成另一自变量的函数，然后代入目标函数，这样，成为自变量仅为的复合函数了。

五、多元函数微分学的其它应用
1、空间曲线的切线与法平面方程
空间曲线 （参数形式）
过定点的空间曲线的切线方程为

式中切线向量为
过定点的空间曲线的法平面方程为

2、空间曲面的法线与切平面方程
空间曲面 （隐函数形式）
过定点的空间曲面的法线方程为

式中法线向量为
过定点的空间曲面的切平面方程为

注：若空间曲面给出的是显函数形式：，则可将显函数形式化成隐函数
形式处理，即

于是
过定点的空间曲面的法线方程为

过定点的空间曲面的切平面方程为

3、方向导数与梯度
（1）方向导数
如果三元函数在考察点可微，则函数沿一定方向的方向导数为

（2）梯度
如果三元函数在考察点可微，则函数在考察点的梯度为
注：1o梯度是向量，方向导数是数量；
2o梯度方向是函数空间变化最快的方向
3o函数在考察点沿某个方向的方向导数与函数在该点梯度的关系是 ；

第三部分 重积分

一、不定积分
二元函数

二、定积分
1、定义
二元函数， 平面积分区域

2、几何意义
以曲面为曲顶的曲顶柱体的体积
3、二重积分的计算
（1）在直角坐标中 面元
1）先对再对积分
作的直线（在该直线上不变）

其中为直线与积分（简单）
区域所交的先对积分时的积分下限与上限
2）先对再对积分
作的直线（在该直线上不变）

其中为直线与积分（简单）区域所交的先对积分时
的积分下限与上限
（2）在极坐标中 面元

1）先对再对积分

其中为射线与积分（简单）
区域所交的先对积分时的积分下限与上限
2）先对再对积分

其中为圆弧与积分（简单）
区域所交的先对积分时的积分下限与上限
注：（1）在什么情形下，需要对积分区域进行分区？
1） 若积分区域本身就是非简单区域时；
2） 虽然积分区域是简单区域，但是当在作直线（或者在作直线）时，该直线移动时，涉与到的（或者）不同时。遇到这种情况时，往往选择适当的积分次序就会避免分区问题的产生。
（2）如何改变二重积分的次序？
1）根据题给的积分次序先确定积分区域；
2）确定积分区域中曲线交点的坐标；
3）改变积分次序。
（3）何时用极坐标计算？
被积函数或积分区域中出现因子时，用极坐标积分比较方便。
4、三重积分的计算
三元函数
（1）在直角坐标中 体元
“先一后二”的积分
（先对积分，后对（）积分）
（先对积分，后对（）积分）
（先对积分，后对（）积分）
其中 分别为积分区域在平面,
平面与平面上的投影。
“先二后一”的积分

注：当时，用这种积分方法比较简捷。
（2）在球面坐标中 体元

（）
（3）在柱面坐标中 体元

注：当被积函数或积分区域中出现因子时，用球面坐标积分比较
方便；出现因子时，用柱面坐标积分比较方便。
第四部分 曲线积分与曲面积分

一、曲线积分与曲面积分
1、曲线积分
（1）对弧长的曲线积分（无向曲线）

其中弧元
有三种计算方法（对平面曲线）：
a) 对显式函数 或者
或者
或者
b) 对参数式函数

在极坐标下

注：1o对弧长的曲线积分，下限一定小于上限
2o如果是积分曲线是空间曲线，可以此推广。特别是当空间曲线是参数形式时，
（2）对坐标的曲线积分（对有向曲线）

或者
注：对坐标的曲线积分的向量表示
因向量，
矢径元因此，对坐标的曲线积分也可表示为：

2、曲面积分
（1）对面积的曲面积分（对无向曲面）

计算的一般方法：将对空间曲面的积分变换成曲面在某个坐标面上投影的二重积分
1）将投影到坐标面，投影为，

2）将投影到坐标面，投影为，

3）将投影到坐标面，投影为，

（2）对坐标的曲面积分（对有向曲面）

其中是有向曲面，曲面的方向用曲面的法线方向表示，对一般曲面有上侧与下侧（对轴）或者前侧与后侧（对轴），再或者右侧与左侧（对轴）之分；对封闭曲面有外侧与测之分。

注：1o 曲面的上侧与下侧是对轴而言的，上侧是指，投影到轴上为“+”；
下侧是指，投影到轴上为“-”；但是，对轴而言，前侧投影为“+”，后侧投影为“-”，对轴而言，右侧投影为“+”， 左侧投影为“-”。因此在题给曲面上侧或下侧的情形下，必须折算到轴或轴，是前侧还是后侧或者是右侧还是左侧
2o 对坐标的曲面积分的向量表示
因向量有向曲面元
因此对坐标的曲面积分也可表示为：

其意义为：向量通过曲面的通量
二、格林公式 高斯公式 *斯托克斯公式
1、格林公式（对闭合平面曲线的坐标的曲线积分成立）

条件：平面曲线分段光滑，在上有连续的一阶偏导数
正向是指：沿方向绕行，在其左边
2、对坐标的平面曲线积分与路径无关的条件
若在单连通区域处处成立，则对坐标的平面积分与路径无关，即
，或者
3、高斯公式（对闭合空间曲面坐标的曲面积分成立）

条件：为分片光滑曲面，具有的一阶连续偏导数
注：高斯公式的向量表示：
因向量有向曲面元
向量的散度为 ，故高斯公式也可表示为：

4、 *斯托克斯公式（对闭合空间曲线的坐标的曲线积分成立）

条件：空间曲线分段光滑，在曲面（连同边界）上有连续的偏导数
正向是指：右手四指沿的方向绕行时，大拇指所指的方向与的法向一致。
可见，格林公式是斯托克斯公式在二维情形下的特例
注：1o斯托克斯公式的向量表示：
因向量有向曲面元
，向量的旋度为 ，

故斯托克斯公式也可表示为：

2o格林公式是斯托克斯公式的特例，即当闭合曲线为平面闭合曲线时，向量
，
，因此，
左边：
右边：

于是斯托克斯公式格林公式：

第五部分 常微分方程

一、微分方程的概念
1、微分方程的定义
含的方程：
2、微分方程的概念
（1）方程阶数—方程中函数对自变量导数的最高阶数
（2）方程的通解—满足微分方程且含积分常数的函数
方程的特解—满足微分方程且不含积分常数的函数
二、一阶微分方程的解法
1、可分离变量型
若，即方程中不含的交叉项时，

2、齐次方程
若
令则，
，
即对新函数与变量而言，方程为可分离变量型了！
3、线性微分方程
若 （其中的幂次均为一次）
通解为
相应地有

通解为
4、全微分方程
若 ， 且 ，则方程为全微分方程
此时，必存在一函数：，

注：一般用观察法求出；也可以用积分求出：
由
再对（1）式两边对求偏导数：
比较（2）式两边，求得
5、伯努利方程
是一非线性的微分方程
令，

是一关于的线性的微分方程，可利用一阶线性微分方程的通解公式求出，再求出

三、二阶微分方程的解法
1、可降阶的二阶微分方程
（1）

（2）
令，
，当且仅当 时，方程为分离变量型
（3）
令，
，当且仅当 时，方程为分离变量型
2、二阶线性常系数微分方程
（1）二阶线性常系数齐次微分方程（这里齐次的含义：非齐次项为零）
其中为常数
特征方程：
特征根：
1） 两不等的实根

2） 两相等的实根

3） 一对共轭的复根
其中

（2）二阶线性常系数非齐次微分方程

其通解为 （线性方程解的架构）
其中为对应齐次微分方程的通解，称为余函数（或称补函数）
： ，特征根：
为非齐次方程的特解。
：
1）
其中为的次多项式，为常数
则

则；
或 单根
则；
等根
则
此时中各项系数代入方程后比较方程两边同次幂前的系数而确定。
2）
其中分别为的次多项式与次多项式
则
其中均为次多项式，
而值： 当；
当
而中各项的系数通过比较两边同次幂前的系数确定。

第六部分 无穷级数

一、常数项级数（简称数项级数）
1、级数收敛的定义
无穷级数 每项均为“数”
部分和，
若（确定、有限），则级数收敛，反之，级数发散
注：级数收敛的必要条件：，但不充分。
2、 正项级数

（1）审敛准则
1）第一比较准则（用考察级数与已知敛散性的标准级数比较）
若有两正项级数，且，则
若收敛，必收敛（大敛小必敛）；
若发散，必发散（小散大必散）。
2）第二比较准则（用考察级数与已知敛散性的标准级数比较）
若有两正项级数，且，
则两级数有相同的敛散性
3）一数项级数去掉、增加、改变前有限项或乘以一实数而得到的新级数与原级数的敛散性相同
4）达朗贝尔准则（检比法或比值法）（考察级数自身比较）
若有正项级数，且存在，则
当，级数收敛；当，级数发散。
注：若，则需用它法判别；
正项级数收敛的充要条件：（上有界）
5）柯西准则（检根法或根值法）（考察级数自身比较）
若有正项级数，且存在，
则当时，级数收敛；时，级数发散。
1、 一般数项级数
其中或者或者

若（2）收敛，则（1）必收敛，这种收敛称为“绝对收敛”；
若（2）发散，而（1）收敛，这种收敛称为“条件收敛”。4、交错级数
，其中
审敛准则——莱布尼茨准则
若1）；2） 则交错级数收敛
5、常见的收敛级数与发散级数（重要！必须记熟！！）
（1）等比级数

当时，级数收敛，且收敛于；当时，级数发散
（2）调和级数
发散
（3）级数

当时，级数收敛；当时，级数发散
（4）交错级数特例
级数收敛（条件收敛）
注：两个数项级数通项代数和构成的级数的敛散性
1o 若收敛，收敛，则也收敛；
2o 若收敛，发散，则必发散；
3o 若发散，发散，则可能发散，也可能收敛。

二、函数项级数

1、幂级数的定义——每项均为幂函数

或
2、幂级数的审敛准则
（1）第一定理——阿贝尔定理
1）若时，幂级数收敛，则之所有，均使
收敛；
2）若时，幂级数发散，则之所有，均使
发散。
（2）第二定理
设对某一区域之收敛，必存在一收敛半径，当，
即时，级数收敛；当，即时，级数发散，而
在两端，需另作讨论。
（3）对不缺项的幂级数（即系数）而言，收敛半径为
（确定、有限）
注：1o对，可令的收敛区间
其中为以为自变量的收敛半径。
2o对一类的缺项级数，可令
其中为以为自变量的收敛半径，而为以为自变量的收敛半径
3o对一类的缺项级数，与的收敛半径相同。
3、幂级数的性质
若幂级数在 收敛，则
（1）和函数在敛区逐点连续且可导；
（2）和函数的导数与和函数有相同的敛区与收敛半径；
（3）和函数的积分与和函数有相同的敛区与收敛半径。
4、函数展开成幂级数
若函数连续且存在任意阶导数，则可展开成泰勒级数或麦克劳林级数
（1）泰勒级数

（2）麦克劳林级数

注：若将函数展开成的幂级数，则首先要凑出一个的因子，然后再利用诸如的已知公式，作相应的变量对应即可。
5、常见函数的麦克劳林级数
（1）
，
（2）
，
（3）
，
（4）

*（5）

（6）
6、*函数展开成级数
（1）若为的周期有界函数，在上至多有有限个第一类间断点与极值点，则可在上展开成级数
（1） 若为的连续点

其中，

（2） 若为的间断点

（3） 若为区间的两端点

注：若为仅定义于的函数，则对可作偶延拓或奇延拓：
1）偶延拓

其中
2）奇延拓

其中
（2）若为的周期有界函数，满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式
为

其中

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