七年级数学实数单元知识点总结以及经典例题.docx

七年级数学实数单元知识点总结以及经典例题第六课时 实数LYX1、平方根算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a ,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0.结论：对于所有正数而言，被开方数越大，对应的算术平方根也越大。平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果x2=a ，那么x叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。结论：正数的平方根有两个，他们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根也是0. 正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。总结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零有一个平方根，它是零本身；负数没有平方根。由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。一个数的平方根的表示方法： 例1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。（1）12 , 144 （2）0.2 , 0.04（3）102 ，104 （4）14 ，256例2、0.01的平方根是（ ）（A）0.1 （B）0.1 （C）0.0001 （D）0.0001例3、 （0.3）2 = 0.09 （ ）（A）0.09 是 0.3的平方根. （B）0.09是0.3的3倍.（C）0.3 是0.09 的平方根. （D）0.3不是0.09的平方根.例4、判断下列说法是否正确：（1）9的平方根是3; （2）49的平方根是7 ； （3）（2）2的平方根是2 ； （4）1 的平方根是 1 ； （5）1 是 1的平方根; （6）7的平方根是49. （7）若X2 = 16 则X = 4 例5、（1）9的算术平方根是 （2） 的算术平方根是 （3）0.01的算术平方根是 （4）算术平方根等于它本身的是 例6、若一个数的平方根与它算术平方根的值相同，则这个数是（ ）A1 B0 C0或1 D 1、0或-12、立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。我们可以根据这种关系求一个数的立方根。若x是a的立方根，则说明x3a，其中a的立方根记为， ，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。中的根指数3不能省略。（说明：算术平方根的符号，实际上省略了 中的根指数2.因此也可读作“二次根号a”。）注意：a的取值范围是全体实数！（即a可以是正数，也可以是负数，还可以为0.立方根的特征：任何一个数 a 都只有一个立方根；正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0；互为相反数的数的立方根也互为相反数。归纳平方根和立方根的异同点：相同点: 0的平方根、立方根都有一个是0 平方根、立方根都是开方的结果。不同点：定义不同 个数不同 表示方法不同 被开方数的取值范围不同立方和开立方是互逆运算： 平方和开平方是互逆运算：思考：立方根是它本身的数是_.平方根是它本身的数是_ .算术平方根是它本身的数是_.例1、求下列各数的立方根：例2、例3、例4、下列语句对吗? (1)0.0027的立方根是0.03 (2)0.009的平方根是0.3 (3)一个数的立方根等于这个数的立方,那么这个数为1,0,-1.任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数非负数的立方根还是非负数一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1例5、分别求下列各式的值： 解这类题时，当被开方数是负数时，一般先利用立方根的性质 进行化简；当被开方数很复杂时，必须先进行整理后再求值。 例6、填空：(1)1的平方根是_；立方根为_；算术平方根为_ (2)平方根是它本身的数是_ (3)立方根是其本身的数是_ (4)算术平方根是其本身的数是_ _ 将一个立方体的体积扩大到原来的8倍，则它的棱长扩大到原来的_倍。例7、观察下面的运算，请你找出其中的规律：规律是：被开方数每扩大 倍，其结果就扩大 倍；被开方数每缩小 倍，其结果就缩小 倍。反之也成立。例8、估计68的立方根的大小在（ ）A、2与3之间B、3与4之间C、4与5之间D、5与6之间例9、 的整数部分是( )，小数部分是( ) 的整数部分是( )，小数部分是( )例10、比较大小：3、4、3、实数有理数的小数形式：任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；无理数的引入：通过平方根和立方根的学习，我们知道很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数。例如 、 、 、 等都是无理数，=3.14159265也是无理数。像有理数一样，无理数也有正负之分。例如 、 、 、是正无理数， 、 、是负无理数。实数：有理数和无理数统称为实数。实数的分类： 实数与数轴上的点是一一对应的：每一个有理数都可以用数轴上的点表示；每一个无理数都可以用数轴上的点表示；有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数。绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.即设a表示一个实数，则实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数以及0可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方计算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则以及运算性质等同样适用。例1、下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？例2、判断：实数不是有理数就是无理数。（ ）无理数都是无限不循环小数。（ ）无理数都是无限小数。（ ）带根号的数都是无理数。（ ）无理数一定都带根号。（ ）两个无理数之积不一定是无理数。（ ）两个无理数之和一定是无理数。（ ）例3、填空：的相反数是 ； 相反数是 ；0的相反数是 ；例4、(1)求 的绝对值; (2)已知一个数的绝对值是，这个数。例5、的值是( )A .5 B.-1C. D. 例6、下列各数中，互为相反数的是( )例7、设 对应数轴上的点是A， 对应数轴上的点是B，那么A、B间的距离是 。例8、在数轴上与原点的距离是 的点所表示的数是 。例9、把下列各数分别填在相应的集合中： 3.14， 1.732， 0， 有理数 无理数 LYX