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东华大学高频电子电路通信电子电路课件6-1

第五章 频率变换电路的特点及分析方法
概述
5.1 非线性电路的基本概念与非线性元件
5.1.1 非线性电路的基本概念
线性电路：线性电路是由线性元件构成的电路。它的输出输入关系用线性代数方程式或线性微分方程表示。线性电路的主要特征是具有叠加性和均匀性。
线性放大电路的特点：
①从时域上讲：输出信号的波形与输入信号的波形只是在幅度上进行放大。
②从频域上讲：输出信号的频率分量与输入信号的频率分量相同。
非线性电路：非线性电路中至少包含一个非线性元件，它的输出输入关系用非线性函数方程（非线性代数方程或超越方程）或非线性微分方程表示。非线性电路不具有叠加性与均匀性。这是它与线性电路的重要区别。
本课程后续章节将学习的频谱搬移电路（频率变换电路）就属于非线性电路。
频率变换电路(频谱搬移电路)，在频谱搬移后，输出信号的频率分量与输入信号的频率分量不尽相同，即有新的频率分量产生。而我们知道，线性电路并不产生新的频率成分，只有非线性电路才会产生新的频率成分，即频谱搬移过程必须采用非线性电路才能实现。本章将介绍非线性电路的频率变换作用及分析方法。
频率变换电路分为：①频谱的线性变换。②频谱的非线性变换。
①频谱的线性变换：
输入信号频谱结构不发生变化，只是沿频率轴进行不失真的搬移，搬移前后各频率分量的比例关系不变。
举例：振幅调制与解调、混频。

观察上图所示的频谱，发现它们有共同的特点，即在频谱搬移的过程中，输入信号的频谱结构不发生变化，即搬移前后各频率分量的比例关系不变，只是在频域上简单的搬移，这类频谱搬移电路称为频谱的线性搬移电路。
②频谱的非线性变换是指在频谱搬移的过程中，输入信号频谱结构发生了变化。
举例：频率调制与解调、相位调制与解调等。
在电子线路基础的分析中我们知道：线性电路在放大信号的过程中，不会产生新的频率分量；只有当电路出现非线性失真时，才会产生新的频率分量。
结论：频谱搬移电路输出信号的频率分量与输入信号的频率分量不相同，有新的频率分量产生，因此，频谱搬移电路是非线性电路，必须使器件工作于非线性状态。
电路是由若干无源元件或（和）有源元件的有序连接而成。
5.1.2 非线性元件

线性元件：元件的值与加于元件两端的电压或电流大小无关。例如：R，L，C。
非线性元件：元件的值与加于元件两端的电压或电流大小有关。例如：晶体管、变容管的结电容
时变参量元件：元件的参数按一定规律随时间变化。
例如：变频器的变频跨导 。

1 非线性元器件的特性
什么是器件的特性？
器件的响应y与激励x之间的函数关系称为器件在一定测试条件下的特性。
器件的特性可以有二种表达方式：
①以解析表达式表示； ②以测试曲线的方式表示。这种方式采用的比较多。
非线性器件的主要特点：器件的参数随电路中的电流或电压变化，也就是说其电流、电压间不是线性关系。
如果一个器件特性可表示成xy直角坐标系的一条过原点的直线，则此器件为线性器件；否则为非线性器件。
一个器件究竟是线性还是非线性的，取决于很多方面。
(i) 器件的静态工作点 (ii)激励信号的动态范围及设计者对最终结果的认可程度。
当器件响应中的非线性效应小到设计者认为可以忽略的程度，此时，就认为器件近似是线性的。
当动态范围增大，以至于非线性效应不可忽略，就应该把器件看作非线性的。
实际上，绝大多数物理器件，作为线性元件工作是有条件的，或者是近似的。
结论：非线性是绝对的，而线性是相对的。线性状态只是非线性状态的一种近似或是特征而已（在一定条件下可忽略其非线性，将其看作线性器件）。
非线性器件的伏安特性曲线不是直线，信号作用于非线性器件会产生新的频率分量，它具有频率变换的作用。
5.1.3非线性无源器件的特性
1 非线性电阻
电阻是指可以用i-u平面内的曲线表示的器件。
按此定义，忽略了电抗效应后的半导体二极管、晶体管、场效应管等器件都是非线性电阻。
表征线性电阻只需用一常量，即电阻值或电导值即可。
非线性电阻，在不同情况下，必须用不同的电阻或电导概念加以描述。

①静态电阻或电导

除了与器件本身特性有关外，唯一地取决于工作点Q。在i-u直角坐标系中，原点到工作点Q的矢量的斜率即为。
一般为正值，表征在工作点Q所限定的条件下，非线性电阻从直流电源汲取直流功率能力的大小。
②动态电导（微变电导或小信号电导）
（5-1）
的大小取决于器件特性本身和工作点的选取。
在i-u直角坐标系中，等于工作点处器件特性曲线的斜率。如式5-1所示。

Q点静态电导，动态电导
的大小表征器件把输入的小信号交流电压转换成同频率交流电流的能力。
如果激励电压与响应电流不在同一端口上，又称小信号跨导。记作。既可以是正数，也可以是负数。
表示电阻从直流电源汲取直流功率。
对外电路而言，器件相当于一个向外电路提供能量的源。更确切地说，器件能够把从直流电源汲取的直流能量的一部分转换成交流能量。
③谐波电导
非线性电阻对正弦激励的响应是与激励信号有相同重复周期的非正弦周期信号。

设激励电压(在直流电压上叠加一交变电压)。
由于非线性的原因，电流波形与电压之间发生了严重的畸变。
结论：电流波形仍是周期性的，并且与电压波形的周期相同。
任何周期性函数都可用Fourier级数展开为一系列的余弦之和（离散的）。
周期电流可以展开为Fourier级数：
定义
称为n次谐波等效电导。它反应了非线性电阻把输入基波电压转换成n次谐波电流的能力。
基波等效电导（跨导）。
不仅与器件特性、工作点的选定有关，而且与激励电压幅度有关。器件的某个参数与激励幅度有关，这正是非线性器件区别于线性器件的重要特征。
2 非线性电容
指其特性可用u～q平面内一条曲线表示的器件。
描述非线性电容的参数同样有静态电容C，小信号动态电容C和谐波等效电容。
变容二极管是一种应用很广泛的非线性电容。
3 非线性电感
其特性可用平面上的曲线表示的器件。
§5.2 非线性器件特性的分析方法
所谓非线性电路的分析方法就是针对不同的输入条件和电路类型，寻找合适的函数表达式对非线性元器件的非线性特性进行近似，从而用简单、明确的方法揭示非线性电路工作的物理过程。常见的非线性电路的分析方法包括折线分析法、幂级数分析法、开关函数分析法、线性时变电路分析法等。
①指数函数分析法（超越函数分析法）（课本P156）
(a)双极型晶体管的集电极电流和输入电压间的关系。

(b)处于饱和区的场效应管的漏极电流和栅源电压关系

在很多情况下，反向饱和电流可以忽略。
式（5-2）可近似写成：
场效应管：
晶体管差分对放大器：
②幂级数表示法
不同非线性元器件的非线性特性是不同的，因而数学表达式也不同。
实践证明，如果把某些非线性函数近似表示为幂级数，将使问题简化。这样既能说明问题，也有一定的准确性，因此得到广泛应用。
假设：非线性器件的静态工作点为（），则其伏安特性可在附近展开为幂级数（泰勒级数）。
在实际分析和计算中，总是取上述幂级数的有限项来近似表示非线性器件的伏安特性。究竟取多少项，这取决于要求近似的准确度和特性曲线的运用范围。
一般来说，n越大，越小。要求近似的准确度越高，或信号越大，则所取的项数越多。当然，为了计算简单，在工程计算允许的准确度范围内，应尽量选取较少的项数来近似。

(i) 若非线性器件工作在特性曲线的近似直
线的部分，如点，或输入信号足够小，使器件工作在特性曲线很小的一段时，只需取幂级数前二项。即：。这是特性曲线在静态工作点处的切线方程。即把非线性器件近似当作线性器件来处理。
在分析小信号放大器时就是这样做的。
（II）如果非线性器件工作在特性曲线的弯曲部分（如），则至少取幂级数的前三项。即第三项相当于一条抛物线，它反映了特性曲线的弯曲部分，描述了器件的非线性特性。在分析频谱搬移时，常用上式来近似。
注意：如果加到器件上信号很大，或某些特定场合（如分析混频干扰），就需要幂级数更多的项。
(ii)单一余弦电压作用下的频率变换作用
设在工作点处，外加一单频率的余弦信号，则代入（5-3）得：

第一项：直流分量；第二项：基波分量；第三项：谐波分量2，如果取n项，则有n次谐波分量n，这些谐波分量是非线性器件产生的新的频率分量。
在放大器中，如果工作点选择的不当，工作到了非线性区，或输入信号的幅度超过了放大器的动态范围，就会产生这种非线性失真。
注：这种电路可用作倍频电路，在输出端加一窄带的滤波器，就可以根据需要获得输入信号频率的倍频信号。
(ii) 两个不同频率余弦电压作用下的频率变换作用
设在工作点，外加电压是二个不同频率的余弦信号，则：
代入（5-3）得：

利用三角公式进行分解并整理得出：
由上式可见，当非线性器件输入电压有二个频率分量，其输出电流中除了有直流分量、二个频率基波分量和谐波分量外，还产生了和频及差频分量。如果取表达式的项数更多些，则将有更多的频率分量。可概括由下式表示：

+称为组合分量的阶数，高次谐波和组合分量的强度都将随着+的增加而趋于减小。
在实际应用中，通常之一是要处理的输入信号记作，它占据一定的频带，称为参考信号或控制信号，是单频信号。
晶体管是频率变换电路中常用的非线性器件。当二个交流信号，作用于非线性器件时，通过非线性器件的作用，晶体管输出电流中含有输入信号频率的无穷多个组合分量。在后续章节中的振幅调制与解调、混频电路中，要实现调制、解调、混频功能，关键在于这两个信号的乘积项，除了完成这些功能电路需要的二次方项以外，还会产生大量不需要的无用组合频率分量，造成非线性失真。电路中必须设法去掉这些分量。常采用的措施：
(1) 采用具有平方律特性的场效应管代替晶体管。
(2) 采用多个晶体管组成平衡电路，抵消一部分无用的组合频率分量。
(3)从输入信号的大小考虑。例如减小或的振幅，以便有效减小高阶相乘项及其产生的组合频率分量的强度。如果为参考信号，为输入信号，则可增大，限制， 使晶体管工作在线性时变状态或开关状态，从而获得优良的频谱搬移特性。
(4)采用滤波器来滤除不需要的频率分量。
(iv)线性时变工作状态
二个不同频率的信号同时加到输入端。
，都是的非线性函数，随时间而变化，故称为时变系数或时变参量。
是当输入信号=0时的电流，称为时变静态电流
（所谓静态是指=0时的工作状态。）
是时变电导（时变跨导），
是输出电流对输入电压的变化率。实际上是转移特性上随变化的时变工作点切线的斜率。由式（5-5）可见，与之间的关系是线性的，类似于线性器件。但它们的系数是时变的，因此将这种器件的工作状态称为线性时变。将具有式描述的工作状态称为线性时变工作状态，具有这种关系的电路称为线性时变电路。
③开关函数分析法
二极管电路广泛用于通信设备中，特别是平衡电路和环形电路。它们具有电路简单，噪声低、组合频率分量少，工作频带宽等优点。作为通用组件，可广泛应用于振幅调制、振幅解调、混频（这几个电路的共同特点是完成信号频谱的线性搬移）及其它功能电路中。二极管电路的主要缺点是无增益。
下面以单二极管电路为例来分析其频谱线性搬移功能

在二极管电路中，若的振幅足够大，管子轮流工作在导通区和截止区，其伏安特性可采用二段折线表示。
，
如忽略，特性曲线如虚线所示。
图5. 1 二极管电路
（a）原理电路 (b) 伏安特性

若，足够大，二极管将在的控制下轮流工作在导通区和截止区。若忽略负载电阻RL的反作用，当时，二极管导通，流过二极管的电流为

当时，二极管截止，则流过二极管的电流为
故在 的整个周期内，流过二极管的电流可以表示为

引入高度为1的单向周期性方波（称为单向开关函数）
如下图所示。

于是，电流i可表示为

下图给出与变化规律。
图5.2 单二极管电路的图解分析

因此，可将二极管等效为受 控制的开关，按角频率作周期性的启闭，闭合时的导通电阻为如图5.3所示。
图5.3 二极管开关等效电路

单向开关的傅里叶展开式为：

代入式（5.6）中，可得电流i中包含的频率分量为、、，
电路可以实现频谱搬移的功能。
(ii)双曲正切函数描述的晶体管差分放大器伏安特性可近似用下图所示的三段折线逼近或进一步近似为(b)所示的折线。
图 4-2-5　(a) x > 10 时双曲正切函数的波形　 (b)双向开关函数

这是晶体管差分放大器伏安特性双曲正切函数的近似表示。
图(b)的差分放大器的输出电流可表示为：
，
此时可引入下图所示的双向开关函数来表示大信号激励时的输出电流。

双向开关函数的傅里叶展开式为：将输入信号代入这些分段性函数，则可求得输出电流中所包含的频率分量。