漫谈数学课堂启发艺术.docx

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时间：2021年x月x日

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
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数学课堂启发艺术

什么是启发式教学呢？启发式教学就是在教师的诱导、点拨下，使学生积极思考并自己先做出判断的教学方式。也可以说是在教师主导作用下，编制了一定认知程序的发现法，是启发性原则在教学中的具体实施。启发式教学中，教师的作用是外因、是催化剂，其落脚点是诱使学生积极思考，并通过独立尝试建立新旧知识的联系，作出猜想或判断。评判一种教学是不是启发式教学，不是看其外在形式是否热闹，也不是看学生动手时间的长短，关键是看学生的心智活动是不是达到了领悟的水平，是不是经过自己的尝试作出猜想或判断。
现行教学中不少教师对启发式教学存在几个思维误欧：
一种是“以练代启”。认为启发式教学既然与注入式教学相对，就应该增加学生的活动量，即“精讲多练”。多练不一定是坏事，但如果仅停留在模仿阶段（解题术的套用）而大量做一些重复性练习，学生的思维没有经历领悟的过程，就不能说是启发式教学；
另一种是“以活代启”。这里的“活”不是思维上的活，而是追求教学形式的活跃、热烈，认为教学气氛不热烈就不是启发。常见的有：教师用简单的“对不对？”“是不是？”等问题，换回学生震天价响的“对”、“不对”、“是”、“不是”。或是哗众取宠，通过一些偏离主题的动作、语言引得学生哄堂大笑等；
还有一种是“以已代生”。教师虽注意分析，分析起来也有条有理、思路清晰，却是“事后诸葛”，往往是教师多次探索后保留的最佳通路，而“最佳”的寻求过程，特别是克服障碍的过程并未表现出来，结果是学生听起来津津有味，做起来却一筹莫展。这些都是没有抓住启发的实质，形而上学地简单套用的结果。
那么，如何搞好启发式教学呢？宁夏中卫教研室王力争老师研究提出，应抓住三个方面的问题，即：启发的原型、启发的时机、启发的力度。
1、启发的原型
所谓启发原型，就是学生现有认知结构中待学知识的生长点。我们知道，数学学习过程是以学生原有认知结构为基础，通过内化、领悟，把新知识纳入到已有认知结构中去的过程。在这一过程中，教师的作用就是调动学生的知识储备，使新的教学知识与原有认知结构中的相应材料建立起实质性的联系。因此，教学中必须分清哪些是学生认知结构中得以同化新知识的相关材料（即启发原型），并在此基础上设计好教学。
比如概念教学中，由于数学概念往往是由一些实际事例和具体的数学教材抽象概括而成的，教学中要想让学生经历概念的发生、发展过程，就必须从这些学生已知的实际事例和具体的数学材料入手，去其表象、存其精髓，逐步形成概念。如平行线的概念，可先例举学生已有感性认识的日常生活中诸多不相交线的实例，找出它们的共性，使学生形成初步映象后，再抽象成两条直线，由相交时逐渐移动一直线变成不相交，从而概括出平行线的概念。
再如解题教学中，由于其关键是解（证）题思路的探寻过程，而思路的寻求过程经常表现为：“从已知、结论或是图形方面看，过去有没有做命题？”等。这里的“类似的题目”、“更容易、更直观的命题”就是此时的启发原型，教师要善于把待解（证）之题与这些启发原型沟通起来。这样，解题思路在学生头脑中就会经历了一个由模糊到清楚、由分散到聚合的过程，思路的获得也就水到渠成了。
如在证明三角形全等的边边边定理时（义教教材已改为公理），教材中的证法是：如图所示，把△ABC拼在△AˊBˊCˊ上，使最长的边BC和BˊCˊ重合，并且使点A和Aˊ在BˊCˊ边的两旁，连结AˊA，……（下略）

如果教师如上机械讲解，学生会问：“为什么要拼在一起，为什么连结AˊA？教师是怎样想到的？”这些正是学生的困惑所在，如果不能很好地解决这个问题，学生充其量只学会了本题的具体解法，而不会举一反三，同时教师也失去了一次训练思维、培养能力的好机会。而教学中若能充分调动学生的知识储备，通过两次原型启发，效果就会截然不同，其过程如下：
（1）第一次抽取原型
教师：过去学过如此证明三角形全等的方法，它们与本题的已知条件有何不同？
学生：学过边角边、角边角、角角边等。它们的条件中均有一个或二个角相等，而本题条件是三边对应相等。……噢！应先证角相等。（通过原型启发。把思路定向为“证角相等”，学生的思维产生了第一次飞跃。）
（2）第二次抽取原型
教师：如何证角相等呢？过去学过什么方法？
学生：利用平行线；利用全等三角形；利用等腰三角形。
教师：本题应该用哪种方法呢？
（学生思考后，容易排除平行线法。经过教师点拨，亦可排除全等三角形法，最终将思路集中在“利用等腰三角形”上。）
教师：图形中并没有等腰三角形，怎么办呢？……，要找等腰三角形，应应有从同一顶点出发的两条相等的线段（腰），而本题条件中相等线段却分散在两个三角形中，……。
（至此，部分学生已经能够想到将两个三角形拼在一起，教师只要通过指导，使其思路更加完善即可，，达到这样的效果，应该说启发是成功的；如果此时学生还不能自己得出“拼图”的思路，而是由教师自己给出拼法，也应该说达到了启发的目的。因为经过这样的安排，学生的思维经历了领悟的过程，他们不仅学会了如何“拼”，而且知道了为什么要“拼”，做到了知其法、明其理，这也正是启发式的目的之所在。）
2、启发的时机
关于启发的时机，孔子早就说过：“不愤不启，不排不发”。意思是说，只有在学生思考不出而产生烦闷心情时，在学生想说又说不出来时，教师才予以启发。具体到数学教学中，就是要做到以下两点：
一是要把握时机。如上例证明边边边定理时，先让学生自己思考，当学生虽明白题意而又不知如何下手时，抽取第一个启发原型，从而把思路定向为“证角相等”；当学生在分析中不知用何法证角相等，出现第二次思维困惑时，再次抽取启发原型。将思路定向为“利用等腰三角形”；当学生不知如何构造等腰三角形，出现等三次思维障碍时，教师又通过等腰三角形的特点，及时诱导、点拨，将学生的思路引到“拼在一块”上来，收到了良好的效果。
二是要创造时机。教师根据教材特点、学生水平，在启发原型的基础上，及时创设愤悱情境，营造良好的启发态势，使学生在似知非知、欲懂非懂的情境中，积极热情地投入到尝试活动中去。
如青浦经验中的一个典型案例：在讲授“拆添项法分解因式”时，先出示一题x6-1,学生根据已学知识得到两种结果
x6-1＝（x3）2-1 =(x-1)(x+1) =(x2-x+1)(x2+x+1)
x6-1=(x3)2-1 =(x-1)(x+1)(x4+x2+)
教师有意安排两名不同解法的学生板演，并引导学生分析：两名同学公式的运用都准确无误，怎么会出现不同的结果呢？
由于学生都亲自解答过，此时问题一提出，学生的思维焦点立刻集中在“为什么？”“问题出在哪里？”这样的问题上，使学生产生了欲罢不能的愤悱心情，为下面的教学创造了良好的启发契机。
3、启发的力度
关于启发的力度，古人也早论述：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”、“示之始而正之于终”，意思就是：给学生指出思考的方向但不要牵着学生的鼻子走；严格要求但不要施加压力；提醒学生但不能直接告诉答案，教学的一开始，教师诱导、提示，学生尝试并得到一些结果时，教师再予以指正。
如在讲一元二次方程根与系数的关系时，采取下面的步骤：
出示两组方程，要求学生计算出各方程的根，教师板书成如下形式：
第一组方程　 　　　　x1 x2
x2-2x-3=0 -1 3
x2+2x-3=0 1 -3
x2+5x+6=0 -2 -3
x2+5x-6=0 1 -6
第二组方程　　　　　　　x1 x2
2 x2-x-1=0 1 -1/2
2 x2+x-1=0 -1 1/2
-2 x2+5x-3=0 1 3/2
-2 x2+5x+3=0 3 -1/2
（2）教师提出问题：观察第一组方程（二次项系数为1的），它们的根与一次项系数，常数项之间有什么共同规律？
（3）学生思考、尝试、讨论，归纳出：两根之积等于常数项，两根之和与一次项系数互为相反数。
（4）出示方程：x2+b′x+c′=0,学生用式子表示为：x1x2=c′x1+x2=-b′.
（5）观察第二组方程（二次项系数不为1的），提出问题：能否得出相似的结论？
（6）归纳出：对一般的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有：

以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数的1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观察的形式等，是在启发原型的基础上，从学生的认知水平出发，进行了教学法上的处理。
x1x2＝　　：x1＋x2＝
以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数为1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观察的形式等，是在启发原型的基础上，从学生的认知水平出发，进行了教学法上的处理。
如果在求出方程的根后，不是通过精心处理，让学生探索，而是指出：“大家看一看两根的和与积同方程的系数有什么关系？”就是启发过度的一种表现。因为如此一问，学生的主要活动变成了按照教师的要求进行机械验算，其思维的成份、创造发现的成份已所剩无几，更谈不上领悟和做出判断了。
再如前述“拆添项法分解因式”一例，当学生已猜想到x4+x2+1可继续分解时，如果教师直接把问题交给学生，让学生探求分解方法，即使点明要拆添项，大部分学生可能还会无从下手。这又是启发不力的一个例子。青浦经验中，为学生搭置一些合适的台阶，让学生循此台阶拾级而上，跳一跳、摘得到，保证学生的思维经历发现的过程，而又不会感到高不可攀。其过程是先引导学生用多项式的乘法计算（x2-x+1）(x2+x+1)来检验猜想。由于计算过程中合并掉的各项明示了分解x4+x2+1时应拆或应添的项，检验后学生再自我尝试分解就不是十分困难的了。
总之，搞好启发式教学，就必须把领悟和判断做为启发式的主要特征，把启发原型做为启发的基础，及时创设并抓住启发的时机，准确把握启发的力度，才会启而得“法”、启而得“发”。
教学中，不论是教师讲解、提问、演示、实验、小结、复习、解答疑难、布置练习，都要以各种方式启发学生积极思维，激发学生潜在的学习动机和学习兴趣，使之主动地、充满热情地参与学习活动。
常见的启发式教学手段有：
1、置疑启发
教师矛盾、创设问题情境，采用启发性讲解或提问等方式激发学生思考问题、掌握知识。例如，讲一元二次方程根与系数的关系，教师写出两个方程，要求学生都来解：x2-7x+12＝0，x2+3x-10=0，然后提出问题。
方程的两个根与方程的系数有什么数量关系？指定学生讲述观察结果。如果学生回答不出来，教师可进一步提示：“把上述两个方程的两个根相加，相乘，其结果与方程的系数有什么关系？”紧紧着提出问题：“这两个方程的根与系数有这种关系，是不是所有的一元二次方程都有这种关系呢？板书方程x2+6x+8=0，要求学生都进行演算。发现学生运算有问题，教师可予以提示，然后让学生讲述自己发现的规律。
2、观察启发
教师借助实物、模型、图示等，组织学生观察并思考问题，探求解答。讲抽象的概念的时候，恰当地选择直观性启发手段，对提高教学质量常会起到事半功倍的作用。比如，在讲三角形内角和定理时，教师提问平角的概念，并做演示，把纸板三角板的三个角剪下来拼在一块，刚好构成一个平角，运用实物、模型，启发学生理解定理，这样可收到良好的效果。
在中学数学教学中，列方程（组）解应用题属于难教、难学的课题之一。为了解决难点，便于理解题意，教师　常把一些应用题的语言表述用列表、图示的直观形式表示出来，组织学生观察思考，探求解答，学生较容易理解题意，列出方程（组）也就不困难了。
运用直观因素进行启发式教育，引导学生注意概念的本质属性，以及事物的内部规律，而不要被由直观教具本身的那些非本质、非主要的东西所迷惑，以致影响概念与规律的掌握。
3、对比启发
教师运用对比手法以旧引新，启发学生分清异同，加深理解。在教学过程中，要注意新旧知识的联系，并在适当时候把新旧知识加以归纳综合，有利于学生启发学生的思维，有利于学生对知识的掌握和理解。比如，因式分解课，可与算术中的整数析因数对比来引入。突出新旧概念之间的联系和区别，学生便于接受。对比启发是有条件的，即必须抓住彼此之间确有联系的对象在同一标准下对比。。对比要清楚、显明，特别是注意分析，找出对比对象的本质共性与差异。
4、类比启发
根据可类比的数学材料，启发学生对新知识作出大胆猜想，通过分析、认证加以确认。类比就是类比推理，它是根据两个对象具有某些相同必需品性，推出它们的另一些属性也是相同的结论的一种推理方式，它是一种由特殊到特殊的推理。例如分数和分式，分数是分式的特殊情况，相似之处很多，抓住他们的本质属性进行类比；代数中，由分数的基本性质和四则运算法则，可以类比推出分式的基本性质和四则运算法则。
类比推理的结论是或然的，它不是严格的数学推理方法。但是，类比推理能启发思路、触类旁通，是引出新的猜想、得到新方法的一种重要的推理方法。如：“圆”与“相似形”是平面几何的重要内容之一，也是中学数学教材的难点之一。这两部分教材涉及的知识面广，综合性强，定理结构复杂，轻罪重判　形变化较大，学生掌握这部分知识比较困难。如果教师对这部分知识进行归纳类比，启发学生进行分析总结，不但可以化难为易，而且能够拓宽学生解题思路。
例如：引导学生对射影定理、平行截割比例线段定理、三角形……..等六个定理进行分析比较，总结出这些定理的结构特点，均是以比例式或其变形给出的。这些定理的证明都是通过证明一对相似三角形而得到证明的，这是它们的共性。但是每个定理又有各自的具体特征。如“平行截割定理”和“三角形内（外）角平分线定理”是比例式，“相交弦定理”和“割线定理”是等积式，而“射影定理”和“切割线定理”则是等比中项式。这是它们的个性。在这个基础上进一步启发学生总结出：
（1）遇到“比例式”，联想用“平行切割、角平分线定理”去推证。（2）遇到“等积式”，联想用“相交弦、割线定理”去推证。（3）遇到“等比中项式”，联想用“射影定理、切割线定理”去推证。经过这样的归纳类比，既加深了学生对这些定理的理解，又利于对定理的记忆，同时在证题时有了思考的方向。
5、归纳出发
通过实验、演算、推证等方法对问题进行考察，发现可能的规律，再加以演绎证明，而不是直接给出结论。
初二平面几何的角平分线性质一节，教师先让学生随意画一个角，再作出角平分线，然后要学生用三角板去量角平分线上的点到角两边的距离。学生通过操作得出了“相等”的结论，教师再启发学生明确两点：（1）用尺量不可能量出角平分线上所有的点到角的两边的距离。（2）靠尺子量的方法不够精确，因此，只能把这个结论作为一种猜想，还必须进行严格证明，进而引导学生通过三角形全等来结证明这个结论的正确性。这样去引导学生自己动手，猜想、发现，学生的兴趣大，学得积极主动，印象深刻。
6、自学启发
在教师指导下，学生带着问题有目的地阅读课本，开展讨论，深化认识，掌握知识。
例如：讲平面直角坐标系一节，教师出示问题：（1）直线上的点与实数有什么关系？平面上的点与什么样的数有这种关系？还能举出具有这种关系的两个集合吗？（2）直角坐标系数是怎样建立的？它的三个要素各起什么作用？（3）怎样找出坐标平面上的一个点的坐标？（4）给一个实数时，怎样在坐标平面上表示实数对的点找出来？（5）各个象限的点的坐标有什么特点？（5）坐标轴上的点的坐标有什么特点？让学生带着这些问题去阅读教材，并且展开讨论。当学生把这六个问题搞清楚了，教材内容也就掌握了。
总之，启发的方法是多种多样的，教师应针对学生的实际和教材知识的特点，采用不同的方法，提高教学质量。

什么是数学思想？它们的作用是什么？

　　所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。

　　“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式中。中学数学用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想。有的数学思想（例如“一分为二”的思想和“转化”思想）和逻辑思想（例如完全归纳的思想）由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可以称之为数学思想。

　　基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合思想，化归思想，函数与方程的思想，整体思想，极限思想，抽样统计思想等。当我们按照空间形式和数量关系将研究对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想。基本数学思想有两大基石——符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱——对应思想和公理化结构思想。基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络。

　　数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是至关重要的。

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