06072线性代数试题A.doc

2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷
一．填空题（本题满分12分，每小题3分）
1、设0是矩阵的特征值，则_____________
2、已知矩阵，且的秩，则___________．
3、设，则.
4、设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则
.
二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
. 必有一列元素全为0；
. 必有两列元素成比例；
. 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
. 任意列向量是其余列向量的线性组合．
2．设
， ，
， ，
则必有【 】．
. ； . ； . ； . ．
3．设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是【 】
(A) 若线性相关，则线性相关.
(B) 若线性相关，则线性无关.
(C) 若线性无关，则线性相关.
(D) 若线性无关，则线性无关.
4．设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是【 】
(A) . (B) . (C) . (D) .
三．计算行列式（本题满分6分）

四．（本题满分12分）
设阶矩阵和满足条件：．
⑴ 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．
⑵ 已知矩阵，求矩阵．
五．（本题满分14分）
当、为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
六．（本题满分12分）
求矩阵 的特征值和特征向量，并回答是否能对角化？为什么？
七．（本题满分12分）
问取何值时，二次型为正定二次型？
八．（本题满分8分）
已知三维向量空间的一组基为
，，
求向量在上述基下的坐标．
九．（本题满分12分）
设维向量组线性无关，线性相关，试用两种不同的方法证明可由线性表示，且表示法唯一.