导数研究函数性质样本.doc

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1．导数与导函数的概念
(1)设函数y＝f(x)在区间(a, b)上有定义, x0∈(a, b), 若Δx无限趋近于0时, 比值＝无限趋近于一个常数A, 则称f(x)在x＝x0处可导, 并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative), 记作f′(x0)．
(2)若f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导, 则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化, 因而也是自变量x的函数, 该函数称为f(x)的导函数, 记作f′(x)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义, 就是曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率k, 即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0, a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0, a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x), g′(x)存在, 则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
若y＝f(u), u＝ax＋b, 则y′x＝y′u·u′x, 即y′x＝y′u·a.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打”√”或”×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)
(2)求f′(x0)时, 可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　)
1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数, 则f′(－1)的值为________．
2．如图所示为函数y＝f(x), y＝g(x)的导函数的图象, 那么y＝f(x), y＝g(x)的图象可能是________．

3．设函数f(x)的导数为f′(x), 且f(x)＝f′()sin x＋cos x, 则f′()＝________.
4．已知点P在曲线y＝上, α为曲线在点P处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是__________．
5．( ·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直, 则P的坐标为________．

题型一　导数的运算
例1　求下列函数的导数:
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1);
(2)y＝x2sin x;
(3)y＝3xex－2x＋e;
(4)y＝;
(5)y＝ln(2x－5)．
思维升华　(1)求导之前, 应利用代数、 三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导, 这样能够减少运算量, 提高运算速度, 减少差错; 遇到函数的商的形式时, 如能化简则化简, 这样可避免使用商的求导法则, 减少运算量．(2)复合函数求导时, 先确定复合关系, 由外向内逐层求导, 必要时可换元．
(1)f(x)＝x(2 016＋ln x), 若f′(x0)＝2 017, 则x0＝________.
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2, 则f′(－1)＝________.
题型二　导数的几何意义
命题点1　已知切点的切线方程问题
例2　(1)函数f(x)＝的图象在点(1, －2)处的切线方程为__________．
(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．
命题点2　未知切点的切线方程问题
例3　(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________．
(2)已知函数f(x)＝xln x, 若直线l过点(0, －1), 而且与曲线y＝f(x)相切, 则直线l的方程为____________．
命题点3　和切线有关的参数问题
例4　已知f(x)＝ln x, g(x)＝x2＋mx＋(m<0), 直线l与函数f(x), g(x)的图象都相切, 且与f(x)图象的切点为(1, f(1)), 则m＝________.
命题点4　导数与函数图象的关系
例5　如图, 点A(2,1), B(3,0), E(x,0)(x≥0), 过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S, 则函数S＝f(x)的图象为下图中的________(填序号)．

思维升华　导数的几何意义是切点处切线的斜率, 应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0, f(x0))求斜率k, 即求该点处的导数值: k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k, 求切点A(x1, f(x1)), 即解方程f′(x1)＝k.
(3)若求过点P(x0, y0)的切线方程, 可设切点为(x1, y1), 由求解即可．
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况, 由切线的倾斜程度能够判断出函数图象升降的快慢．
　(1)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x, a＝f′(), f′(x)是f(x)的导函数, 则过曲线y＝x3上一点P(a, b)的切线方程为__________________．
(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线, 则实数m的值为________．
4．求曲线的切线方程条件审视不准致误
典例　(14分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切, 求a的值．
[方法与技巧]
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值; (f(x0))′是函数值f(x0)的导数, 而函数值f(x0)是一个常数, 其导数一定为0, 即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导, 一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时, 首先必须注意变换的等价性, 避免不必要的运算失误．
3．未知切点的曲线切线问题, 一定要先设切点, 利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程．
[失误与防范]
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构, 由外向内逐层求导．
2．求曲线切线时, 要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别, 前者只有一条, 而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
1．函数的单调性
在某个区间(a, b)内, 如果f′(x)>0, 那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增; 如果f′(x)<0, 那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
一般地, 当函数f(x)在点x0处连续时,
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0, 右侧f′(x)<0, 那么f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0, 那么f(x0)是极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)在[a, b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a, b]上单调递增, 则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值; 若函数f(x)在[a, b]上单调递减, 则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打”√”或”×”)
(1)若函数f(x)在(a, b)内单调递增, 那么一定有f′(x)>0.(　 　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0, 则f(x)在此区间内没有单调性．(　 　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　 　)
(4)对可导函数f(x), f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　 　)
(5)函数的最大值不一定是极大值, 函数的最小值也不一定是极小值．(　 　)
1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是__________．
2．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3, 且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R), 则不等式f(x)<2x＋1的解集为____________．
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
4．(教材改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象, 则f(x)的极小值点的个数为________．

5．设1<x<2, 则, ()2, 的大小关系是__________________．(用”<”连接)
题型一　不含参数的函数的单调性
例1　求函数f(x)＝的单调区间．
思维升华　确定函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0, 解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0, 解集在定义域内的部分为单调递减区间．
　函数y＝x2－ln x的单调递减区间为____________．
题型二　含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数, 求a的值;
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
思维升华　(1)研究含参数的函数的单调性, 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时, 要在函数定义域内讨论, 还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性, 如f(x)＝x3, f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到), f(x)在R上是增函数．
　讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
题型三　利用函数单调性求参数
例3　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c, 曲线y＝f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b, c的值;
(2)若a>0, 求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x, 且g(x)在区间(－2, －1)内存在单调递减区间, 求实数a的取值范围．
引申探究: 在本例3(3)中,
1．若g(x)在(－2, －1)内为减函数, 如何求解?
2．若g(x)的单调减区间为(－2, －1), 求a的值．
3．若g(x)在(－2, －1)上不单调, 求a的取值范围．
思维升华　已知函数单调性, 求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理: y＝f(x)在(a, b)上单调, 则区间(a, b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题: 即”若函数单调递增, 则f′(x)≥0; 若函数单调递减, 则f′(x)≤0”来求解．
　已知函数f(x)＝exln x－aex(a∈R)．
(1)若f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直, 求a的值;
(2)若f(x)在(0, ＋∞)上是单调函数, 求实数a的取值范围．
5．分类讨论思想研究函数的单调性
典例　(14分)已知函数f(x)＝ln x,
g(x)＝f(x)＋ax2＋bx, 其中函数g(x)的图象在点(1, g(1))处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系;
(2)若a≥0, 试讨论函数g(x)的单调性．
温馨提醒　(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论, 常见的分类讨论标准有以下几种可能: ①方程f′(x)＝0是否有根; ②若f′(x)＝0有根, 求出根后是否在定义域内; ③若根在定义域内且有两个, 比较根的大小是常见的分类方法．
(2)本题求解先分a＝0或a>0两种情况, 再比较和1的大小．
[方法与技巧]
1．已知函数解析式求单调区间, 实质上是求f′(x)>0, f′(x)<0的解区间, 并注意定义域．
2．含参函数的单调性要分类讨论, 经过确定导数的符号判断函数的单调性．
3．已知函数单调性能够利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
[失误与防范]
1．f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a, b)都有f′(x)≥0且在(a, b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零, 应注意此时式子中的等号不能省略, 否则漏解．
2．注意两种表述”函数f(x)在(a, b)上为减函数”与”函数f(x)的减区间为(a, b)”的区别．
3．讨论函数单调性要在定义域内进行, 不要忽略函数的间断点.
1 导数与函数的极值、 最值
题型一　用导数解决函数极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　设函数f(x)在R上可导, 其导函数为f′(x), 且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示, 则函数f(x)的极大值、 极小值分别是________．

命题点2　求函数的极值
例2 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0), 求函数f(x)的极大值与极小值．
命题点3　已知极值求参数
例3　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0, 则a－b＝________.
(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(, 3)上有极值点, 则实数a的取值范围是____________．
思维升华　(1)求函数f(x)极值的步骤:
①确定函数的定义域;
②求导数f′(x);
③解方程f′(x)＝0, 求出函数定义域内的所有根;
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号, 如果左正右负, 那么f(x)在x0处取极大值, 如果左负右正, 那么f(x)在x0处取极小值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a, b)内有极值, 那么y＝f(x)在(a, b)内绝不是单调函数, 即在某区间上单调函数没有极值．
　(1)函数y＝2x－的极大值是________．
(2)设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2, 若f(x)在x＝1处取得极值, 则a的值为________．
题型二　用导数求函数的最值
例4　已知a∈R, 函数f(x)＝＋ln x－1.
(1)当a＝1时, 求曲线y＝f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0, e]上的最小值．
思维升华　求函数f(x)在[a, b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a, b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b);
(3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较, 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值．
　已知y＝f(x)是奇函数, 当x∈(0,2)时, f(x)＝ln x－ax (a>), 当x∈(－2,0)时, f(x)的最小值为1, 则a的值等于________．
题型三　函数极值和最值的综合问题
例5　已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为－e3, 求f(x)在区间[－5, ＋∞)上的最大值．
思维升华　求函数在无穷区间(或开区间)上的最值, 不但要研究其极值情况, 还要研究其单调性, 并经过单调性和极值情况, 画出函数的大致图象, 然后借助图象观察得到函数的最值．
　已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值, 若m, n∈[－1,1], 则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
3．利用导数求函数的最值问题
典例　(14分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时, 求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用
以下几步答题
第一步: (求导数)求函数f(x)的导数f′(x);
第二步: (求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第三步: (求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;
第四步: (求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较, 确定f(x)的最大值与最小值;
第五步: (反思)反思回顾, 查看关键点, 易错点和解题规范．
温馨提醒　(1)本题考查求函数的单调区间, 求函数在给定区间[1,2]上的最值, 属常规题型．
(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面, 不准确的情况．
(3)思维不流畅, 答题不规范, 是解答中的突出问题．
[方法与技巧]
1．如果在区间[a, b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值．
2．求闭区间上可导函数的最值时, 对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断, 直接与端点的函数值比较即可．
3．当连续函数的极值点只有一个时, 相应的极值必为函数的最值．
4．求极值、 最值时, 要求步骤规范、 表格齐全, 含参数时, 要讨论参数的大小．
[失误与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯, 可使问题直观且有条理, 减少失分的可能．
2．求函数最值时, 不可想当然地认为极值点就是最值点, 要经过认真比较才能下结论．
3．函数在给定闭区间上存在极值, 一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
3　导数与函数的综合问题
题型一　用导数解决与不等式有关的问题
命题点1　解不等式
例1　设f(x)是定义在R上的奇函数, 且f(2)＝0, 当x>0时, 有<0恒成立, 则不等式x2f(x)>0的解集是______________．
命题点2　证明不等式
例2　证明: 当x∈[0,1]时, x≤sin x≤x.
命题点3　不等式恒成立问题
例3　已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax, g(x)＝3a2ln x＋b, 其中a>0.设两曲线y＝f(x), y＝g(x)有公共点, 且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b, 并求b的最大值;
(2)求证: f(x)≥g(x)(x>0)．
思维升华　(1)利用导数解不等式, 一般可构造函数, 利用已知条件确定函数单调性解不等式;
(2)证明不等式f(x)<g(x), 可构造函数F(x)＝f(x)－g(x), 利用导数求F(x)的值域, 得到F(x)<0即可;
(3)利用导数研究不等式恒成立问题, 首先要构造函数, 利用导数研究函数的单调性, 求出最值, 进而得出相应的含参不等式, 从而求出参数的取值范围; 也可分离变量, 构造函数, 直接把问题转化为函数的最值问题．
　已知函数f(x)＝ln x－.
若f(x)<x2在(1, ＋∞)上恒成立, 求a的取值范围．
题型二　利用导数解决函数零点问题
例4　( ·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2, 曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a;
(2)证明: 当k<1时, 曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
思维升华　研究方程根的情况, 能够经过导数研究函数的单调性、 最大值、 最小值、 变化趋势等, 根据题目要求, 画出函数图象的走势规律, 标明函数极(最)值的位置, 经过数形结合的思想去分析问题, 能够使问题的求解有一个清晰、 直观的整体展现．
　已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x的图象与直线y＝b有两个不同交点, 求b的取值范围．
题型三　利用导数解决生活中的优化问题
例5　某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y(单位: 千克)与销售价格x(单位: 元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2, 其中3<x<6, a为常数．已知销售价格为5元/千克时, 每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
思维升华　在求实际问题中的最大值或最小值时, 一般先设自变量、 因变量、 建立函数关系式, 并确定其定义域, 利用求函数最值的方法求解, 注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值, 如果函数在区间内只有一个极值点, 那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．
　某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0), 为使耗电量最小, 则速度应定为________．

典例　(14分)设f(x)＝＋xln x, g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1, x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立, 求满足上述条件的最大整数M;
(2)如果对于任意的s, t∈[, 2], 都有f(s)≥g(t)成立, 求实数a的取值范围．

[方法与技巧]
1．用导数方法证明不等式f(x)>g(x)时, 找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口．
2．在讨论方程的根的个数、 研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、 不等式恒成立等问题时, 常常需要求出其中参数的取值范围, 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．
3．在实际问题中, 如果函数在区间内只有一个极值点, 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可, 不必再与端点的函数值比较．
[失误与防范]
1．利用导数解决恒成立问题时, 若分离参数后得到”a<f(x)恒成立”, 要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．
2．利用导数解决实际生活中的优化问题, 要注意问题的实际意义．