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8.2 立体图形的直观图
[A 基础达标]
1．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( )
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形．
2．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：选C.因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，
所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.
4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．都不对
解析：选C.根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
5.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6 cm B．8 cm
C．(2＋3)cm D．(2＋2)cm
解析：选B.如图，OA＝1 cm，
在Rt△OAB中，OB＝2 cm，
所以AB＝ ＝3 (cm)．
所以四边形OABC的周长为8 cm.
6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为________．
解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，且A′B′＝2B′C′，所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．
答案：正方形
7．如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．
解析：因为A′D′∥y′轴，
A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
所以原图形是一个直角梯形，如图所示．
又A′D′＝4，
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
答案：28
8.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：在直观图中四边形A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B′到x′轴的距离为.
答案：
9．如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm的正方体的直观图，比例尺为1∶1，回答下列问题：
(1)线段AB1在图中、实物中长度各为多少？∠AB1A1在图中、实物中的度数各为多少？
(2)在实物中，∠ABC、∠AEB、∠BEC、∠ABD、∠CBD的度数是多少？
(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？∠AD1A1、∠CB1C1在实物中的度数是多少？
解：(1)平面AA1B1B处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形，由已知AA1＝A1B1＝2 cm，AA1⊥A1B1，所以AB1＝＝2 (cm)．所以线段AB1在图中，实物中的长度都是2 cm，∠AB1A1在图中、实物中度数都是45°.
(2)在实物中，∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1 cm，2 cm，∠AD1A1、∠CB1C1在实物中的度数都是45°.
10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，
于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD
＝×(1＋2)×1＝.
所以梯形ABCD直观图的面积为
S′＝S＝×＝.
[B 能力提升]
11．如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C.
12.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D.因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC.
因为∠A′B′C′＝45°，
所以∠ABC＝90°.
所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2，
即S梯形ABCD＝2＋.
13．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A. B.
C．5 D.
解析：选A.由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为，故选A.
14.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
[C 拓展探究]
15. 已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)建系：如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底：在x轴上取线段OB＝8 cm，在y轴上取线段OA′＝2 cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)定点：在z轴上取线段OC＝4 cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图：连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．
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