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七年级数学尖子生培优训练1 七年级数学尖子生培优训练 第一讲 绝对值典型例题：例1（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A-3a B 2ca C2a2b D b例2已知：，且， 那么的值（ ）A是正数B是负数C是零D不能确定符号例3（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4（整体思想）方程 的解的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D无穷多个例5（非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值例6（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_ .（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为 _.（3）结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 _.（4） 满足的的取值范围为 _ . 例7（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式， 又可表示为0，的形式，求。巩固提高： 1、若的值等于 _ . 2、 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2， 求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、若，求的取值范围。 8、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果， 那么B点在A、 C的什么位置？ 9、三个有理数的积为负数，和为正数，且 则的值是多少？ 10、若为整数，且，试求的值。 11、已知求的最小值。 12、若与互为相反数，求的值。 13、如果，求的值。 第二讲 规律数与图形典型例题：例1 观察下列算式：用你所发现的规律写出的末位数字是_。例2、观察下列式子：； 请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来_。例3、 图34是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图34；再分别连结图34中间的小三角形三边的中点，得到图34，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 (1)将下表填写完整图形编号12345三角形个数159（2）在第n个图形中有_个三角形（用含n的式子表示）。例4、观察算式：按规律填空：1+3+5+99= ，1+3+5+7+ ？例5、把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 第100层的正方体的个数是 第n层的正方体的个数是 第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826例6、将正偶数按下表排成5列根据上面的规律，则206应在 行 列，2012应在 行 列.巩固提高：1、 有一列数其中：=62+1，=63+2，=64+3，=65+4；则第个数= ，当=2001时，= 。2、观察下列几个算式，找出规律：121=412321=91234321=16123454321=25利用上面规律，请你迅速算出：1239910099321= 据你会算出123100是多少吗？据上你能推导出123的计算公式吗？ 3、将1，按一定规律排成下表：试找出在第 行第 个数 4、把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。 如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。（1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？（2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？（3）使正方形中9个数的和是2049是否办得到？简单说明理由。5、平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？最多将平面分成多少个部分？ 6、通过计算探索规律： 152=225可写成1001（1+1）+25 452=2025可写成1004（4+1）+25 252=625可写成1002（2+1）+25 352=1225可写成1003（3+1）+25 752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952 = 。 第三讲 代数式与方程典型例题：例1若多项式的值与x无关，求的值.例2x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。例3.（方程与代数式联系） a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 . 则的值为 ；（2）当 时，= .例4解方程例5问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。例6 解下列方程 172839410511612例7如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射线 _上，“2008”在射线_上（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为_例9 小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 例10定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n5；当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n26，则：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，则第449次“F运算”的结果是_巩固提高： 1、设ab=a(ab+7), 求等式3x=2(-8)中的x 2、当代数式的值为7时,求代数式的值. 3、已知，求的值. 4、A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？5、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？ 6、若关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。 7、解方程 8、三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，求 的值。 9、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？ 10、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？ 第四讲 线段和角典型例题：例1、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）ABCD例2、由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ ） A、AP=AB B、AB2PB C、APPB D、APPB=AB 例3、将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形问其中最长的一段的取值范围_ _ 。例4、已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= _ MN例5、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）三点整时时针与分针所夹的角是度 （2）7点25分时针与分针所夹的角是度 （3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少？例6、为锐角，为钝角，甲、乙、丙、丁四人在计计算时结果依次为10，23，46，51，其中只有一个是正确的，你知道四人中谁的结果正确吗？例7、我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 ；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 例8、如图，已知AOB=90，BOC=30，OM平分AOB，ON平分BOC（1）求MON的度数；（2）如果（1）中AOB=，BOC=（为锐角），其他条件不变，求MON的度数；（3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？巩固提高：1、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）不考虑瓶子的厚度.A B C D2、已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使AOB=600，BOC=200，则AOC=_度3、若点B在直线AC上，下列表达式：；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC其中能表示B是线段AC的中点的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4、如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ） A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b5、已知1、2互为补角，且12，则2的余角是（ ）A.（12） B.1 C.（12） D.26、在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90角？7、已知1=712836，1的两边和2的两边互相垂直，那么2= 。8、已知，O是直线AB上的一点，COD是直角，OE平分BOC（1）如图1，若AOC=30，求DOE的度数；（2）在图1中，若AOC=a，直接写出DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置探究AOC和DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；在AOC的内部有一条射线OF，满足：AOC-4AOF=2BOE+AOF，试确定AOF 与DOE的度数之间的关系，说明理由 第五讲 相交线与平行线 典型例题：例1下列说法正确的有( ) 对顶角相等;相等的角是对顶角;若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个例2如图所示,下列说法不正确的是( )毛A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段例3.一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30第二次向右拐30 B. 第一次向右拐50第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50第二次向右拐130 D. 第一次向左拐50第二次向左拐130例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，1=43，2=27，试问光的传播方向改变了多少度？ 例5.如图所示，BOD=45，那么不大于90的角有个，它们的度数之和是例6.如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成1021的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？例7.如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草试求出种植花草的面积是多少？例8.如图，若AB/EF，C= 90，求x+y-z 度数。巩固提高：1如图,已知ABCD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72,则2=_.2.下列说法正确的有( )在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角若已知1=35， 3=75，则2= （ ）A50 B55 C66D654.如图，把长方形纸片沿折叠，使，分别落在，的位置，若，则等于（）5如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？6. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,1=2,3:1=8:1,求4的度数.7.已知：如图，求证：8.已知：如图，DGBC ，ACBC，EFAB，1=2 求证：CDAB9.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且1=50,则2= ，3= . (2)在(1)中,若1=55,则3= ;若1=40,则3= .(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角3= 时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?第六讲 平面直角坐标系典型例题：例1、如果点M（1-x，1-y） 在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第 象限，点Q（x-1，1-y）在第 象限。例2、已知点P（x, ），则点P一定 （ ） A在第一象限 B在第一或第四象限 C在x轴上方 D不在x轴下方例3、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（ ） A（3，7） B（5，3） C（7，3） D（8，2）例4、在平面直角坐标系上点A（n,1-n）一定不在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 例5、M的坐标为（3k-2，2k-3）在第四象限，那么k的取值范围是。例、已知点A（，）ABAB，那么B点的坐标为。例、如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是例、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转次，点P依次落在点P1，P2，P3P的位置，则点的坐标为例、在平面直角坐标系中，点坐标为，AB、面积为，那么点坐标为例、实验与探究：(1) 由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明456-4-5-6-4-5-6567xylBE123-1-2-3-1-2-31234OAADCB(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标: 、 ；(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 (3) 已知两点D(1,-3)、E(-3,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标巩固提高：、点（，）到x轴的距离为；点（-，）到y轴的距离为；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是。、已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限、已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且ABx轴，若点A的坐标为（2，4），则点C的坐标为_。、三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-，-1），B（1，），C（-1，），三角形AB的面积为、点P（-1，），那么点P不可能在第象限。、在平面直角坐标系中，点P（，）点在轴上，为等腰三角形，那么符合条件的点有（）。A 个 B个 C 个 D个、 三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC平移平移后三个顶点的坐标可能是（ ） A（2，2），（3，4），（1，7） B（-2，2），（4，3），（1，7） C（-2，2），（3，4），（1，7） D（2，-2），（3，3），（1，7）、如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=、如图为风筝的图案（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积、点A（0，1），点B（0，-4）,点C在x轴上，如果三角形ABC的面积为15，(1)求点C的坐标.(2)若点C不在x轴上，那么点c的坐标需满足什么样的条件（画图并说明）、我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为；（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，则点P3、P8的坐标分别为、拓展延伸：（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标第七讲三角形典型例题：例1已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( ) A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a3，则m的取值范围是 .例5.若方程组的解满足条件0x+y1，则k的取值范围是 .例6.关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是 .例7.若方程组 的解为x、y，且2k4，求 x-y的取值范围。 例8.a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？例9.若不等式的解集为-1x1，求（a+1）（b-1）的值。例10.某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？ 原料名称饮料名称甲乙A20克40克B30克20克巩固提高：1、a取何值时，方程组的解互为相反数，并求出方程组的解2、已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ）A B C D3、若不等式（a-2）xb的解集是x，则a的范围是（ ）A、a2 B、a2 C、a2 D、a24、已知、满足且，求的取值范围. 5、已知方程组有相同的解，则m= ，n= 6、试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解7、某商场为了促销，开展对顾客赠送礼品活动，准备了若干件礼品送给顾客如果每人送5件，则还余8件；如果每人送7件，则最后一人还不足3件设该商场准备了m件礼品，有x名顾客获赠请回答下列问题：（1）用含x的式子表示m；（2）求出该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数8、已知方程组的解满足x为非正数，为负数.（1）求的取值范围；（2）化简：m3m2；（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式2mxx2m1的解为x1。9、在汶川大地震之后，全国各地区都有不少热心人参与抗震救灾行动中去，家住成都的小李也参加了，他要在规定的时间内由成都赶往绵阳地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达绵阳地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达10、我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满根据下表提供的信息，解答以下问题： 脐 橙 品 种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨脐橙获得（百元）121610（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值11、我市某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克；生产一件B种产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，该化工厂现有的原料能否保证生产顺利进行？若能的话，有几种方案？请你设计出来。