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七年级数学下册第一单元精讲

知 人 善 学 明 慧 达 礼

【基础知识巩固】
相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线 有关概念 
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。 
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。 
对顶角的性质: 对顶角相等.
5.1.2垂线 有关概念 
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知， 
判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。 
2 垂直的表示： 
1）图形： 
2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O 
3）符号：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足,则记为：a⊥b, 垂足为O  

4）垂直的书写形式： 
当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
AB⊥CD，垂足为O。
3 书写形式： 
①判定：∵∠AOD=90°（已知） 
           ∴AB⊥CD（垂直的定义） 
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，
∠AOD=90°。  
②性质：∵ AB⊥CD （已知） 
           ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
 (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 
4.垂线的性质
（1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质
（2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短或说成垂线段最短 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角 

5.2平行线及其判定 
5.2.1平行线 有关概念 
1.平行线的定义： 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的表示： 我们通常用符号“//”表示平行。 
同一平面内的两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行 
3.平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 
如果a//c, b//c; 
那么a//b 
如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行. 
如果a⊥c, a⊥b;
那么b//c 
5.2.2平行线的判定
有关概念 
一般地，判定两直线平行有以下的方法： 
1.两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行． 
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 
3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 
5.3 平行线的性质 
5.3.1 平行线的性质 
1.平行线的性质1 
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简写为：两直线平行，同位角相等. 
2.平行线的性质2 
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简写为：两直线平行，内错角相等. 
3.平行线的性质3 
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简写为：两直线平行，同旁内角互补.
5.3.2命题、定理 
判断一件事情的语句叫做命题。 注意： 
1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。 
2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。  
命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 
两直线平行，   同位角相等。 
题设（条件）    结论  
命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。 
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。 
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。 
真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理。
 5.4平移 
1、把一个图形 整体沿某一个方向 移动，会得到一个新的图形．新图形与原图形的形状和大小完全相同   。 
 2、新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是 对应点  。连接各组对应点的线段平行且相等。 
3、 图形的这种移动，叫做平移变换   ，简称平移  。 形状不变，大小不变   ，位置改变      .
6. 本章应注意的几个问题
（1）垂直和垂线：垂直指两条直线的位置关系，垂线指具有垂直特性的直线。
（2）对顶角与对顶角相等：对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称；对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
（3）对顶角相等和同位角相等：前者一定正确的，后者不一定正确，必须在附加条件（两直线平行）时才成立。
（4）平行线的性质公理和判定定理互逆。
（5）公理和定理都是真命题，公理不需证明，定理要证明。
（6）两线垂直和两线平行建立了角与线之间的联系，是数（角的大小）与形（线的位置）结合，这为计算，证明找到了一条转化的新路，要学会这些知识。

例题
1. 基本概念、基本性质问题
例1. 判断题
（1）同一个角的邻补角是对顶角。（ ）
（2）相等的角是对顶角。（ ）
（3）有三条直线a、b、c，如果，那么a//c。（ ）
（4）如果延长线段AB，延伸射线CD，它们仍然不相交，那么这条线段与这条射线互相平行。（ ）
（5）点到直线的距离即是点到直线的垂线段。（ ）
（6）不相交的两条直线叫做平行线。（ ）
（7）同位角相等。（ ）
（8）同旁内角不互补，两直线不平行。（ ）
（9）过一点，有且只有一条直线和这条直线平行。（ ）
（10）三线八角中，如果有一对同旁内角互补，那么所有的同位角相等，所有的内错角相等。（ ）
解：（1）√。符合对顶角定义。
（2）×
（3）√。垂直于同一条直线的两直线平行。

（4）×如图中：延长线段AB与射线OM不相交，它们不平行。

（5）×。点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
（6）×。缺少“在同一平面内”的条件。
（7）×。两直线平行，才有同位角相等。
（8）√。如果两直线平行，则同旁内角互补，与题设条件不矛盾。
（9）×。如果这一点在已知直线上，则没有直线和已知直线平行。
（10）√。一对同旁内角互补，则两直线平行，故所有的同位角、内错角分别相等。

2. 计算题
（1）与垂直有关的计算题
例2. 如图所示，，求的度数。

分析：要求的度数，题中又没具体指明哪一个角的大小，所以本题的突破口一定集中在已知条件“”上。解题时要从这个已知条件着手。
解：

说明：与垂直有关的计算题借助两线垂直推出交角等于90°实现了由线的位置关系向角的大小的转化，常结合如角平分线性质等知识求解。

（2）证明线段相等
例3. 已知：如图所示，M是AC的中点，N是BC的中点，O是AB的中点。求证：MC=ON。

证法1：M、N分别为AC、BC的中点，

证法2：M、N分别为AC、BC中点，

说明：上面证法从多个角度分别证明了同一个结论，展示了一题多证（解）的思维方法。其中证法4还从设元代换的角度论证了线段相等的结论，这说明了利用代数方法也可以进行几何的证明，开辟了证明的一个新路子。证明线段目前用得较多的方法利用中点性质或通过计算两个线段长度再判定线段相等。

（3）证明直线的平行
例4. 已知：如图所示，，求证：BE//CF。

证明：

说明：本例要注意不能直接由推出EB//CF，因为它们不是同位角，也不是内错角。证明两线平行的方法很多，根据题目的不同采取不同的方法。

（4）证明直线的垂直、直线的平行的综合问题
例5. 已知BE平分。求证：（1）AB//CD；（2）BE//DG；（3）；

证明：（1），

（2）

（角平分线性质，等量代换）。

（3）由已证可得（两直线平行，同位角相等），
又

说明：证两线垂直，一般从垂直定义入手考虑，即证明两直线的交角等于90°。而推得交角为90°，要根据平行线性质，角平分线性质，平角性质等相关知识。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 判断题
1. 判断对错。
（1）从直线上一点画一条射线与直线组成的两角相等，那么射线与直线互相垂直。（ ）
（2）6点15分时，时针与分针互相垂直。（ ）
（3）对顶角的角平分线互为反向延长线。（ ）
（4）已知直线AB上一点M，直线AB外一点N，连结MN，则。（ ）
（5）过直线外一点，只有一条直线垂直于已知直线。（ ）
（6）同角的邻补角相等。（ ）
（7）经过直线外一点画线段的垂线，垂足一定在线段上。（ ）
（8）同一个角的两个邻补角是对顶角。（ ）

2. 判断对错。
（1）不相交的两条直线叫做平行线。（ ）
（2）两条直线被第三条直线所截，则它们的同位角相等。（ ）
（3）许多直线都与直线平行，那么这许多直线都互相平行。（ ）
（4）同旁内角互补，必然有一个角是钝角，另一个角是锐角。（ ）
（5）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补。（ ）

3. 下面命题是真命题的打“√”，是假命题的打“×”。
（1）画直线的垂线只能画一条。（ ）
（2）若两条直线相交，只要有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。
（3）若a=b，则ac=bc。（ ）
（4）若互为补角。（ ）
（5）。（ ）

二. 填空题
4. 如图所示，是直线____________和_____________被直线____________所截产生的，它们是______________角；是直线______________和_____________被直线______________所截产生的，它们是_______________角；是直线_________和____________被直线_____________所截产生的，它们是_______________。

5. 如图所示，AB、CD相交于点O，叫做_______________，叫做_______________，叫______________ ,叫做_________。

6. 若的余角是________________，邻补角是_____________。
7. 某纪念碑的表面是梯形，现量得碑底两角都是，那么碑顶两角的大小是______________。
8. 过钝角的顶点向它的一边作垂线，将此钝角分成两个度数之比为6：1的角，则此钝角为______________度。
9. 命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是________________，结论是___________。
10. 如图所示，（1）已知AD平分。求证：；（2）已知：AD//CE，。求证：。

11. 如图所示，已知，求证：。

12. 如图所示，AB//CD，E是AB、CD外一点，求证：。

【试题答案】
一. 判断题
1. （1）√（2）×（3）√（4）×（5）√（6）√（7）×（8）√
2. （1）×（2）×（3）√（4）×（5）×
3. （1）×（2）√（3）√（4）×（5）×

二. 填空题
4. DE；BC；AB；同位角；AE；DE；AD；同旁内角；AB；AC；DE；内错角
5. 互为余角，对顶角，邻补角，互为余角
6.
7.
8. 105
9. 两个角是邻补角，平分线互相垂直
10. （1）

（2）

11. 过P作

12. 过E作EF//AB，且EF//CD

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