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GeoGebra+数学绘图教室(3)+函数及方程式-详全文

GeoGebra 数学绘图教室(3) 函数及方程式
台北县立锦和高中 陈禾凯
与GSP比较起来，GeoGebra多了输入字段，直接输入函数或方程式便立即可看到其对应图形，真是方便极了，也可如同实验一般，试着改变函数的某个参数来观察对应图形的变化，若能配合数值滑杆或其他指令，便能创造出更多的图形.。
一． 直线方程式y=mx+k
(1)设定两个数值滑杆，名称分别为m,k
(2)输入y=m*x+k (或y=m x+k 注意m k 之间空一格表示相乘)
(3)以鼠标分别拉动滑杆m, k 观察图形的变化

二． 参数式
虽然直接在输入字段输入函数关系就立即可看到图形，但以参数式形式输入更能体会到函数中自变量及应变量的关系。
甲.以为例
(1)在X轴上任取一点A
(2)输入t=x(A)
(3)输入 P=(t, t^3-3t-1) 在绘图区会显示P点
将光标移至P点，然后按鼠标右键，点选 显示移动踪迹
(5)拉动X轴上A点，观察P点轨迹的变化
乙.利用Curve指令来输入圆锥曲线的参数式
以椭圆为例 的参数式为
设定两个角度滑杆名称分别为α,β数值最小０，最大2pi
输入Curve[3cos(t),2sin(t),t,α,β] 调整滑杆α,β 的大小，即可看到以α,β为范围的椭圆弧线。

三． Sequence指令的应用
(1)在某个区间内把 X 轴的取样点从少变多,再画出 (x, f(x)) 的描点图,
如此让学生对于函数图形有更深刻的印象
以为例
设定数值滑杆t 最小:0 最大:40, 增量:1
输入Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, 2pi, 2pi / t]
再拉动滑杆观察图形的变化
(2)若想把上例所出现的取样点由左而右依序出现，再加上两个步骤：
新增数值滑杆n，最小0，最大50，增量1，并将sequence改为
Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, -2pi+4pi *n/50, 2pi /t]，当拉动滑杆n时，函数图形由左而右一点一点描绘出来。

四． 对数函数及指数函数的图形
GeoGebra的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异，如下表：

自然对数
常用对数（底数为10）
国内教科书
y=ln(x)
y=log(x)
GeoGebra
y=log(x)或y=ln(x)
y=lg(x)
在GeoGebra之中若输入y=log(x) 是代表的是自然对数，而常用对数是输入　y=lg(x) ，若底数为其他正数则要用换底公式，即输入y=log(x)/log(2) 来表示　
(1) 画出四个函数图
　　把这四个函数画在一起，前两个对称于Ｘ轴，后两个对称于Ｙ轴，又第一个和第三个以及第二个和第四个有反函数关系，两两对称于y=x。
绘图步骤
设定数值滑杆a 最小:0.01 最大:10, 增量:0.01
输入y=log(x)/log(a)
输入y=log(x)/log(1/a)
输入y=a^x
输入y=(1/a)^x
利用在y=log(x)/log(a)上画出一点A，再用对称钮找出在另三个图形上的点A’,A’’,A’1，拉动滑杆看看图形的变化

(2)观察 y=loga(x) 及y=ax两图形交点的个数
一般人很容易以纸笔手动方式画出此二函数交于两点及一点的图形，但要画出交于三点的情形则远超出人类描绘的能力，在GeoGebra中可用数值滑杆来设定底数a的范围以方便观察此二函数相交情形。
绘图步骤
设定数值滑杆a
最小:0.0０1 最大:0.5, 增量:0.01
输入f(x)=log(x)/log(a)
输入g(x)=a^x
另外输入h(x)= f(x)-g(x)
观察当h(x)和X轴有３个交点时，即此两函数图形交于３点

五． 利撒求(Lissajous)图形
这是由两个振动所形成的二维图形，每个振动均为一个正弦波所代表的简谐运动，即的轨迹图形
其中a,b表振幅，w1,w2表角速度，
1, 2代表相差，t为时间

绘图步骤
首先设定６个数值滑杆，名称分别为a,b,w_1,w_2,Φ_1,Φ_2
作线段BC（长度适当即可） ,在上任取一点Ｄ
输入t=6 pi *Distance[B, D] / Distance[B, C]
(以D在BC上的位置来表示0-6π间的数字，范围可根据需要而自行调整)
输入 A=(a*sin(w_1*t+Φ_1),b*sin(w_2*t+Φ_2))
单击按钮，点选要显示的轨迹点Ａ，然后再点选控制点Ｐ，即可画出Lissajous图形。
Lissajous图形变化多端，可先从简单的图形开始观察。
以下为,的情形，图形为圆、椭圆及线段。

数据源：http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve
当w２=2 w1 时，以w1=3, w２=6为例，固定而变动到接近，图形的左右两扇区域逐渐缩小，形成抛物线，这可由以下算式看出来

w1=3, w２=6,
w1=3, w２=6,
w1=3, w２=6,

接着可观察的情形，可设定滑杆w1最小０，最大12，增量为2，滑杆w２最小1，最大13，增量为2，。

w1=1, w２=2
w1=1, w２=4
w1=1, w２=6

w1=3, w２=2
w1=3, w２=4
w1=3, w２=6

w1=5, w２=2
w1=5, w２=4
w1=5, w２=6
经由以上的观察可以发现Lissajous的图形为限制在2a×2b的矩形之中，w1,w2皆为整数的情形下曲线不管多复杂，轨迹会重复出现。

由于Lissajous图形在学术上的应用广泛，因此有不少研究机构用来作为Logo，右图为美国麻省理工学院林肯实验室的首页http://www.ll.mit.edu/，其中的Lissajous图形为w1=３, w２=４, 1=2 = 0 的情形。

六．附录：常用的函数、方程式以及在GeoGebra中的输入形式
函数名称及一般式
例
输入
备注
一次函数y=ax+b
y=3x+2
y=3x+2
国中
一次方程式ax+by=c
5x+2y=1
5x+2y=1
国中
二次函数y=ax2+bx+c
y=2x2-3x+1
y=2x^2-3x+1
国中, 高一下
高斯函数
y=[x]
y=ceil(x)
高一下
根式函数

y=sqrt(x)
y=cbrt(x)
或以指数函数方式输入,如y=x^(1/2)
高一下
指数函数y=ax+b
y=2x
y=2^x
高一下
绝对值函数y=|ax|+b
y=||x|+1|+2
y=abs(abs(x)+1)+2
高一上
三角函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
y=cot x
y=sec x
y=csc x
y=sin(x)
y=cos(x)
y=tan(x)
y=1/tan(x)
y=1/cos(x)
y=1/sin(x)
高一下
其中有三个要以倒数关系表示
三角函数的迭合
y=Acos x+Bsin x
y=3sin x+4cos x
y=3sin(x)+4cos(x)
高一下
反三角函数

y=asin(x)
y=acos(x)
y=atan(x)
高一下

对数函数：常用对数
底数为１０
y=log x
y=lg(x)或
y=log(x)/log(10)
高一下
对数函数：自然对数
底数为e =2.71828……
y=ln x

y=log(x) 或
y=ln(x)
大学微积分
抛物线
y2=4cx , x2=4cy
y2=4x
y^2=4x
高二下
圆 x2+y2=r2
x2+y2=4
x^2+y^2=4
高二上
双曲线

x^2/16-y^2/25=1
高二下
圆锥曲线方程式
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
x2+xy+y2=1
x^2+x y+y^2=1
(x y, 之间空一格或　x*y表示相乘)
高二下
七、参考数据
1. 李政丰、颜贻隆、蔡敏娟、陈明君：函数 y=ax 与 y=loga x 的图形交点个数的探索 数学传播季刊　第 28 卷 第 4 期
2. 左台益、许舜渊、彭建勋、吕凤琳、胡政德、罗骥韡等译:　GeoGebra使用说明3.2
3. Eli Maor着　胡守仁译：毛起来说三角　天下远见出版
4. 麻省理工学院的林肯实验室首页： http://www.ll.mit.edu/
5. 维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve