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七年级数学培优数与形的第一次联姻

专题5 数与形的第一次联姻

阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：
1．利用数轴能形象地表示有理数；
2．利用数轴能直观地解释相反数；
3．利用数轴比较有理数的大小；
4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．

例题与求解
【例1】 已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．

【例2】 在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：
①，②，③，④，其中，正确的结论有（ ）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：从数轴上得到，再对代数式进行逐以一判断．

【例3】 如图所示，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点．如果，试确定原点的大致位置．

解题思路：从化简等式入手，而是解题的关键．

【例4】 （1）阅读下面材料：
点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．当两点中有一点在原点时，
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；
③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．
④求的最小值．

（江苏省南京市中考试题）
解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式所表示的意义，来回答所提出的具体问题．

【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？
（湖北省荆州市竞赛试题）
解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值．

【例6】 如图，是数轴上表示－30的点，是数轴上表示10的点，是数轴上表示18的点，点在数轴上同时向正方向运动．点运动的速度是6个单位长度/秒，点和点运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？
（2）t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时t的值．
（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：（1）三点在数轴上同时向正方向运动，分别当点运动到点左侧和右侧两种情况来分析求解．
（2）先将三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点左侧，则分为“点在左边”，“点在之间”，“点在右边”三种情况来求解．

能力训练
A级
1．已知数轴上表示负数有理数的点是点，那么在数轴上与点相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．
（江苏省竞赛试题）

2．如果数轴上点到原点的距离为3，点到原点的距离为5，那么两点的距离为______________．

3．点分别是数，在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到的中点对应数3，则点对应的数是________________，点移动的距离是____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
4．已知，且，那么有理数的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
5．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．
A．1998 B．1999 C．2000 D．2001
（重庆市竞赛试题）
6．如图，为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（“祖冲之”邀请赛试题）

7．有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（ ）．
A． B． C． D．

8．如图所示，在数轴上有六个，且，则与点所表示的数最接近的整数是（ ）．

A．－1 B．0 C．1 D．2
（“希望杯”邀请赛试题）

9．已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：

且，求的值．

10．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左挑一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是_________________．

11．如图，已知分别为数轴上两点，点对应的数为－20，点对应的数为100．
（1）求过中点对应的数．
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．

B 级
1．有理数在数轴上的位置如图所示：

则化简的结果为_____________________．
2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“”的镜头（如示意图中站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于－2，－1处，，则站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”
（《时代学习报》数学文化节试题）

3．在数轴上，若点与原点的距离是点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则点表示的数是_________________．
（河南省竞赛试题）
4．若，则使成立的的取值范围是__________________．
（武汉市选拔赛试题）
5．如图，直线上有三个不同的点，且，那么，到三点距离的和最小的点为（ ）．
A． 点外 B．线段的中点 C．线段外一点 D． 无穷多个
（“希望杯”邀请赛试题）

6．点都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右边，且，点在点的左边，且，点在点的右边，且，，依照上述规律，点所表示的数分别为（ ） ．
A．2008，－2009 B．－2008，2009 C．1004，－1005 D．1004，－1004
（福建省泉州市中考试题）
7．设，则下列四个结论中正确的是（ ）．
A．没有最小值 B．只有一个使去最小值
C．有限个（不止一个）使去最小值 D．有无穷多个使取最小值
（全国初中数学联赛试题）

8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点对应的数分别是整数，且，那么数轴的原点对应点是（ ）．

A． B． C． D．
（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）
9．已知，求的最大值和最小值．
（江苏省竞赛试题）

10．如图，在环形运输线路上有六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．

11．如图，数轴上标有个点，它们对应的整数是．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求的最小值．

（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
专题05 数与形的第一次联姻
例1 12 提示：点A表示数为3或－3，满足条件的点B共有4个．
例2 B 提示：由数轴知a＜－1＜0＜b＜c＜1．
∴abc＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正确；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正确．
例3 原点O在线段AC上．
例4 ①3，3，4 ②|x＋1| 1或－3 ③－1≤x≤2 ④997 002
例5 如图，用A，B，C，D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给，，，，台电脑．依题意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本题要求y＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|．
由绝对值几何意义可知，当＝3时，y有最小值12．此时有＝0，＝1，＝－6，＝－2．
所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台．

例6 （1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向运动．
当点A运动到点C左侧时，
∵线段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．
当点A运动到点C右侧时，
∵线段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．
综上可知，t为14或18时，线段AC＝6．
（2） 当点A，B，C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别为：6t－30，10＋3t，18＋3t．
（3） ∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点．
∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：，，．且点M始终在点N左侧．
①若点P在M，N左边，则PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．
∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，
∴t＝．
②若点P在M，N之间，则PM＝－＝－20＋1．5t，
PN＝－＝24－1．5t．
∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，
∴t＝．
③若点P在M，N右边，则PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．
∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，
∴t＝12．
但此时PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情况不成立 ．
综上可知，t＝或时符合题意．

A级
1．2m 2．2或8

3. ， 提示：AB的长为＝，对应的数为3－＝，点A移动的距离为－（－3）＝．
4．b＜－a＜a＜|b| 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 5
10．－30．06 提示：设点表示的有理数为x，则，，…，点所表示的有理数分别为x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94．
11．（1）M点对应的数为＝40． （2）相遇时间为＝12秒，C点对应的数为100－12×6＝28． （3）追击时间为60秒，D点对应的数为－260．

B级
1．－2 2．
3．24或40． 提示：设N点对应的数为x．根据绝对值的几何意义可知|x|＝4|x－30|．对x分情况讨论得出x＝24或x＝40．
4. b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C
9．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．
∵|x＋2|＋|1－x|≥3，当－2≤x≤1时等号成立；
|y－5|＋|1＋y|≥6，当－1≤y≤5时等号成立．
∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．
10．调运后各仓库的存货量都相等，应为×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨．
设A库运往B库吨，B库运往C库吨，C库运往D库吨，D库运往E库吨，E库运往F库吨，F库运往A库吨，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64．
所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19．
若使调运量最小，则有y＝||＋||＋||＋||＋||＋||
＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值．
而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤-6时，y有最小值，此时，-33-20，-130，316，922，013.
当=-19时，=-33, =-13，=3, =9, =0.即A库运往B库-33吨，亦即B库运往A库33吨.B库运往C库-13吨，亦即C库运往B库13吨.C库运往D库3吨，D库运往E库9吨，E库运往F库0吨，F库运往A库19吨，总调运量为77吨.
11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任何两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4.
因为2006=4×501+2，8×501=4010.故当n=2005时，2n+1=4011.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个点，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.
另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.从左到右，第8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.
综上所述，n的最小值是2005.