同济大学高等数学导数的概念.pptx

一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即二、导数的定义二、导数的定义定义定义其它形式其它形式即即关于导数的说明：关于导数的说明：注意注意:播放播放2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例7 7解解 由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.01例如例如,例如例如,011/1/例例8 8解解六、小结六、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题思考题解答思考题解答练习题答案练习题答案