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一次函数压轴题(含答案)1

1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（﹣3，1），
由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，
∴P（﹣，），
由y=x+2知M（﹣6，0），
∴BM=5，则S△BCM=．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则BN•=×，
∴BN=，ON=，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（﹣，0）．

3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）
（1）求k的值．
（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；

（2）由（1）得y=x+6，又OA=6，
∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；

（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，
此时y=x+6=3，
∴P（﹣4，3）．
7．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有　10　个（请直接写出结果）；
（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标　（6，2）　；
（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
当x=2，y=4；
当x=3，y=3；
当x=4，y=2；
当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10个；

（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（6，2）；

（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．
又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．
设直线DE的解析式为y=mx+n．
把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得
6m+n=2，﹣4m+n=0，
解得m=，n=，
∴直线DE的解析式为y=x+．
令x=0，得y=，
∴点N的坐标为（0，）．
故答案为10；（6，2）．

19．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．

解：（1）﹣x+4=x
x=3，
y=．
所以P（3，）．

（2）0=﹣x+4．
x=4．
4××=2．
故面积为2．

（3）当E点在OP上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为a，
∴S=a•a﹣×a•a=a2．
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为﹣a+4．
∴S=（﹣a+4）a﹣（﹣a+4）a=﹣a2+2a．

24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．
（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．

解：（1），
当y=0时，x=2，
∴E（2，0），
由已知可得：AD=AB=BC=DC=4，AB∥DC，
∴四边形AECD是梯形，
∴四边形AECD的面积S=×（2﹣1+4）×4=10，
答：四边形AECD的面积是10．

（2）在DC上取一点G，使CG=AE=1，
则St梯形AEGD=S梯形EBCG，
∴G点的坐标为（4，4），
设直线l的解析式是y=kx+b，代入得：
，
解得：，
即：y=2x﹣4，
答：直线l的解析式是y=2x﹣4．

（3）∵直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行，
设直线11的解析式是y1=kx+b，
则：k=3，
代入得：0=3×（﹣）+b，
解得：b=，
∴y1=3x+
已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1，
即：y=2x﹣3，
当y=0时，x=，
∴M（，0），
解方程组得：，
即：N（﹣，﹣18），
S△NMF=×[﹣（﹣）]×|﹣18|=27．
答：△NMF的面积是27．

25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；
x=3，，
∴，
∴，
∴直线l2的解析表达式为 ；

（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由 ，
解得 ，
∴C（2，﹣3），
∵AD=3，
∴S△ADC=×3×|﹣3|=；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，
则P到AB距离=3，
∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，
∴点P纵坐标是3，
∵y=1.5x﹣6，y=3，
∴1.5x﹣6=3
x=6，
所以点P的坐标为（6，3）；

（4）存在；
（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）
26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；
（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵P（x，y）代入y=x+6得：y=x+6，
∴P（x，x+6），
当P在第一、二象限时，△OPA的面积是s=OA×y=×|﹣6|×（x+6）=x+18（x＞﹣8）
当P在第三象限时，△OPA的面积是s=OA×（﹣y）=﹣x﹣18（x＜﹣8）
答：在点P运动过程中，△OPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18（x＞﹣8）或s=﹣x﹣18（x＜﹣8）．

解：（2）把s=代入得：=+18或=﹣x﹣18，
解得：x=﹣6.5或x=﹣6（舍去），
x=﹣6.5时，y=，
∴P点的坐标是（﹣6.5，）．

（3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，
①如图所示：P的坐标是（﹣，）；
②如图所示：
P的坐标是（，）
存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（﹣，）或（，）．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

解：（1）①由题意，（2分）
解得所以C（4，4）（3分）
②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）
所以．（6分）

（2）存在；
由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）

29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．

解：（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，
解得a=﹣3，p=﹣1，
∴点A、P的坐标分别为A（0，﹣3）、P（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3；

（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），
设直线AQ的解析式为y=kx+c，
则，
解得，
∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3，
设点S的坐标为（x，3x﹣3），
则SR==，
SA==，
∵SR=SA，
∴=，
解得x=，
∴3x﹣3=3×﹣3=﹣，
∴点S的坐标为S（，﹣），
设直线RS的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2；

（3）∵点B（﹣2，b），
∴点P为AB的中点，
连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠CPG=∠PAO，
在△APO与△PCG中，，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x轴，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG与△EDF中，，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF，
①2DP+EF=2（3﹣EF）+EF=6﹣EF，
∴2DP+EF的值随点P的变化而变化，不是定值，
②==，
的值与点D的变化无关，是定值．

30．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．
（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

解：（1）由题意得
，
解得x=﹣2，y=4，
∴F点坐标：（﹣2，4）；
过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；

（2）由图可知G点的坐标为（﹣4，0），则C点的横坐标为﹣4，
∵点C在直线l1上，
∴点C的坐标为（﹣4，6），
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l2上，
∴点D的坐标为（﹣1，6），
∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴DC=|﹣1﹣（﹣4）|=3，BC=6；

（3）∵点E是l1与x轴的交点，
∴点E的坐标为（2，0），
S△GFE===12，
若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，
当t秒时，移动的距离是1×t=t，则B点的坐标为（﹣4+t，0），A点的坐标为（﹣1+t，0）；

①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2，即0≤t≤2时．
N点的坐标为（﹣4+t，2t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），
s=S△GFE﹣S△GNB﹣S△AEK=12﹣=，
②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣2＜﹣4+t且﹣1+t≤3，即2＜t≤4时．
N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），
s=S梯形BNKA==，
③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1不相交，那么﹣4+t≤3且﹣1+t＞3，即4＜t≤7时．
N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），
s=S△BNE==，

答：（1）F点坐标：（﹣2，4），∠GEF的度数是45°；
（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；
（3）s关于t的函数关系式．