A星算法求解8数码问题实验.doc

实验三:A*算法求解8数码问题实验
一、 实验目得
熟悉与掌握启发式搜索得定义、估价函数与算法过程,并利用A*算法求解N数码难题,理解求解流程与搜索顺序。
二、 实验内容
1、 八数码问题描述
所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3得方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、7、8,其中一个单元格就是空得。将任意摆放得数码盘(城初始状态)逐步摆成某个指定得数码盘得排列(目标状态),如图1所示

图1 八数码问题得某个初始状态与目标状态
对于以上问题,我们可以把数码得移动等效城空格得移动。如图1得初始排列,数码7右移等于空格左移。那么对于每一个排列,可能得一次数码移动最多只有4中,即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种(当空格位于方阵得4个角时)。所以,问题就转换成如何从初始状态开始,使空格经过最小得移动次数最后排列成目标状态。
2、 八数码问题得求解算法
2、1 盲目搜索
宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法
2、2 启发式搜索
启发式搜索算法得基本思想就是:定义一个评价函数f,对当前得搜索状态进行评估,找出一个最有希望得节点来扩展。
先定义下面几个函数得含义:
f*(n)=g*(n)+h*(n) (1)
式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n得最短路径得耗散值;h*(n)表示从当前节点n到目标节点g得最短路径得耗散值,f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g得最短路径得耗散值。
评价函数得形式可定义如(2)式所示:
f(n)=g(n)+h(n) (2)
其中n就是被评价得当前节点。f(n)、g(n)与h(n)分别表示就是对f*(n)、g*(n)与h*(n)3个函数值得估计值。
利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序得图搜索算法称为算法A。在A算法中,如果对所有得x,
h(x)<=h*(x) (3)
成立,则称好h(x)为h*(x)得下界,它表示某种偏于保守得估计。采用h*(x)得下界h(x)为启发函数得A算法,称为A*算法。
针对八数码问题启发函数设计如下:
f(n)=d(n)+p(n) (4)
其中A*算法中得g(n)根据具体情况设计为d(n),意为n节点得深度,而h(n)设计为
把S放入OPEN表,记f=h
OPEN=NULL?
就是
失败
扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR
选取OPEN表上未设置过得具有最小f值得节点
BESTNODE,放入CLOSED表
BESTNODE就是目标节点
建立从SUCCESSOR返回BESTNODE得指针
计算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC)
SUC∈OPEN
开始
g(SUC)<g(OLD)
SUC=OLD,把它添加到BESTNDOE得后继结点表中
重新确定OLD得父辈节点为BESTNODE,并修正父辈节点得g值与f值,记下g(OLD)
就是
成功
SUC∈CLOSED

把SUCCESSOR放入OPEN表,添进BESTNODE得后裔表
计算f值
就是
否
就是
否
就是
否
否
否

图2 A*算法流程图
p(n),意为放错得数码与正确得位置距离之与。
由于实际情况中,一个将牌得移动都就是单步进行得,没有交换拍等这样得操作。所以要把所有得不在位得将牌,移动到各自得目标位置上,至少要移动从她们各自得位置到目标位置得距离与这么多次,所以最有路径得耗散值不会比该值小,因此该启发函数h(n)满足A*算法得条件。
3、 A*算法流程图,如图2
4、 A*算法总结
4、1,把起始状态添加到开启列表。
4、2,重复如下工作:
a) 寻找开启列表中f值最低得节点,我们称它为BESTNOE
b) 把它切换到关闭列表中。
c) 对相邻得4个节点中得每一个
*如果它不在开启列表,也不在关闭列表,把它添加到开启列表中。把BESTNODE作为这一节点得父节点。记录这一节点得f与g值
*如果它已在开启或关闭列表中,用g值为参考检查新得路径就是否更好。更低得g值意味着更好得路径。如果这样,就把这一节点得父节点改为BESTNODE,并且重新计算这一节点得f与g值,如果保持开启列表得f值排序,改变之后需要重新对开启列表排序。
d) 停止
把目标节点添加到关闭列表,这时候路径被找到,或者没有找到路径,开启列表已经空了,这时候路径不存在。
4、3,保存路径。从目标节点开始,沿着每一节点得父节点移动直到回到起始节点。这就就是求得得路径。
5、数据结构
采用结构体来保存八数码得状态、f与g得值以及该节点得父节点;
struct Node{
int s[3][3];//保存八数码状态,0代表空格
int f,g;//启发函数中得f与g值
struct Node * next;
struct Node *previous;//保存其父节点
};
6、实验结果,如图3所示

图3 A*算法求解八数码问题实验结果
7、源代码
//
//代码:利用A*算法求解八数码问题。
//八数码问题得启发函数设计为:f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中得g(n)根据具体情况设计为d(n),意为n节点得深度,而h(n)设计为p(n),意为放错得数码与正确得位置距离之与。
//后继结点得获取:数码得移动等效为空格得移动。首先判断空格上下左右得可移动性,其次移动空格获取后继结点。
//
#include<stdio、h>
#include<stdlib、h>
#include<math、h>
//八数码状态对应得节点结构体
struct Node{
int s[3][3];//保存八数码状态,0代表空格
int f,g;//启发函数中得f与g值
struct Node * next;
struct Node *previous;//保存其父节点
};
int open_N=0; //记录Open列表中节点数目
//八数码初始状态
int inital_s[3][3]={
2,8,3,
1,6,4,
7,0,5
};
//八数码目标状态
int final_s[3][3]={
1,2,3,
8,0,4,
7,6,5
};
//
//添加节点函数入口,方法:通过插入排序向指定表添加
//
void Add_Node( struct Node *head, struct Node *p)
{
struct Node *q;
if(head>next)//考虑链表为空
{ q = head>next;
if(p>f < head>next>f){//考虑插入得节点值比链表得第一个节点值小
p>next = head>next;
head>next = p;
}
else {
while(q>next)//考虑插入节点x,形如a<= x <=b
{
if((q>f < p>f ||q>f == p>f) && (q>next>f > p>f || q>next>f == p>f)){
p>next = q>next;
q>next = p;
break;
}
q = q>next;
}
if(q>next == NULL) //考虑插入得节点值比链表最后一个元素得值更大
q>next = p;
}
}
else head>next = p;
}
//
//删除节点函数入口
//
void del_Node(struct Node * head, struct Node *p )
{
struct Node *q;
q = head;
while(q>next)
{
if(q>next == p){
q>next = p>next;
p>next = NULL;
if(q>next == NULL) return;
// free(p);
}
q = q>next;
}
}
//
//判断两个数组就是否相等函数入口
//
int equal(int s1[3][3], int s2[3][3])
{
int i,j,flag=0;
for(i=0; i< 3 ; i++)
for(j=0; j< 3 ;j++)
if(s1[i][j] != s2[i][j]){flag = 1; break;}
if(!flag)
return 1;
else return 0;
}
//
//判断后继节点就是否存在于Open或Closed表中函数入口
//
int exit_Node(struct Node * head,int s[3][3], struct Node *Old_Node)
{
struct Node *q=head>next;
int flag = 0;
while(q)
if(equal(q>s,s)) {
flag=1;
Old_Node>next = q;
return 1;}
else q = q>next;
if(!flag) return 0;
}
//
//计算p(n)得函数入口
//其中p(n)为放错位得数码与其正确得位置之间距离之与
//具体方法:放错位得数码与其正确得位置对应下标差得绝对值之与
//
int wrong_sum(int s[3][3])
{
int i,j,fi,fj,sum=0;
for(i=0 ; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
{
for(fi=0; fi<3; fi++)
for(fj=0; fj<3; fj++)
if((final_s[fi][fj] == s[i][j])){
sum += fabs(i fi) + fabs(j fj);
break;
}
}
return sum;
}
//
//获取后继结点函数入口
//检查空格每种移动得合法性,如果合法则移动空格得到后继结点
//
int get_successor(struct Node * BESTNODE, int direction, struct Node *Successor)//扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR
{
int i,j,i_0,j_0,temp;
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
Successor>s[i][j] = BESTNODE>s[i][j];
//获取空格所在位置
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
if(BESTNODE>s[i][j] == 0){i_0 = i; j_0 = j;break;}
switch(direction)
{
case 0: if((i_01)>1 ){
temp = Successor>s[i_0][j_0];
Successor>s[i_0][j_0] = Successor>s[i_01][j_0];
Successor>s[i_01][j_0] = temp;
return 1;
}
else return 0;
case 1: if((j_01)>1){
temp = Successor>s[i_0][j_0];
Successor>s[i_0][j_0] = Successor>s[i_0][j_01];
Successor>s[i_0][j_01] = temp;
return 1;
}
else return 0;
case 2: if( (j_0+1)<3){
temp = Successor>s[i_0][j_0];
Successor>s[i_0][j_0] = Successor>s[i_0][j_0+1];
Successor>s[i_0][j_0+1] = temp;
return 1;
}
else return 0;
case 3: if((i_0+1)<3 ){
temp = Successor>s[i_0][j_0];
Successor>s[i_0][j_0] = Successor>s[i_0+1][j_0];
Successor>s[i_0+1][j_0] = temp;
return 1;
}
else return 0;
}
}
//
//从OPen表获取最佳节点函数入口
//
struct Node * get_BESTNODE(struct Node *Open)
{
return Open>next;
}
//
//输出最佳路径函数入口
//
void print_Path(struct Node * head)
{
struct Node *q, *q1,*p;
int i,j,count=1;
p = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));
//通过头插法变更节点输出次序
p>previous = NULL;
q = head;
while(q)
{
q1 = q>previous;
q>previous = p>previous;
p>previous = q;
q = q1;
}
q = p>previous;
while(q)
{
if(q == p>previous)printf("八数码得初始状态:\n");
else if(q>previous == NULL)printf("八数码得目标状态:\n");
else printf("八数码得中间态%d\n",count++);
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
{
printf("%4d",q>s[i][j]);
if(j == 2)printf("\n");
}
printf("f=%d, g=%d\n\n",q>f,q>g);
q = q>previous;
}
}
//
//A*子算法入口:处理后继结点
//
void sub_A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * BESTNODE, struct Node * Closed,struct Node *Successor)
{
struct Node * Old_Node = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));
Successor>previous = BESTNODE;//建立从successor返回BESTNODE得指针
Successor>g = BESTNODE>g + 1;//计算后继结点得g值
//检查后继结点就是否已存在于Open与Closed表中,如果存在:该节点记为old_Node,比较后继结点得g值与表中old_Node节点
//g值,前者小代表新得路径比老路径更好,将Old_Node得父节点改为BESTNODE,并修改其f,g值,后者小则什么也不做。
//即不存在Open也不存在Closed表则将其加入OPen表,并计算其f值
if( exit_Node(Open, Successor>s, Old_Node) ){
if(Successor>g < Old_Node>g){
Old_Node>next>previous = BESTNODE;//将Old_Node得父节点改为BESTNODE
Old_Node>next>g = Successor>g;//修改g值
Old_Node>next>f = Old_Node>g + wrong_sum(Old_Node>s);//修改f值
//排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~
del_Node(Open, Old_Node);
Add_Node(Open, Old_Node);
}
}
else if( exit_Node(Closed, Successor>s, Old_Node)){
if(Successor>g < Old_Node>g){
Old_Node>next>previous = BESTNODE;
Old_Node>next>g = Successor>g;
Old_Node>next>f = Old_Node>g + wrong_sum(Old_Node>s);
//排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~
del_Node(Closed, Old_Node);
Add_Node(Closed, Old_Node);
}
}
else {
Successor>f = Successor>g + wrong_sum(Successor>s);
Add_Node(Open, Successor);
open_N++;
}
}
//
//A*算法入口
//八数码问题得启发函数为:f(n)=d(n)+p(n)
//其中A*算法中得g(n)根据具体情况设计为d(n),意为n节点得深度,而h(n)设计为p(n),
//意为放错得数码与正确得位置距离之与
//
void A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * Closed) //A*算法
{
int i,j;
struct Node * BESTNODE, *inital, * Successor;
inital = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
//初始化起始节点
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
inital>s[i][j] = inital_s[i][j];
inital>f = wrong_sum(inital_s);
inital>g = 0;
inital>previous = NULL;
inital>next = NULL;
Add_Node(Open, inital);//把初始节点放入OPEN表
open_N++;
while(1)
{
if(open_N == 0){printf("failure!"); return;}
else {
BESTNODE = get_BESTNODE(Open);//从OPEN表获取f值最小得BESTNODE,将其从OPEN表删除并加入CLOSED表中
del_Node(Open, BESTNODE);
open_N;
Add_Node(Closed, BESTNODE);
if(equal(BESTNODE>s, final_s)) {//判断BESTNODE就是否为目标节点
printf("success!\n");
print_Path(BESTNODE);
return;
}
//针对八数码问题,后继结点Successor得扩展方法:空格(二维数组中得0)上下左右移动,
//判断每种移动得有效性,有效则转向A*子算法处理后继节点,否则进行下一种移动
else{
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor>next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 0, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor>next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 1, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor>next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 2, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor>next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 3, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
}
}
}
}
//
//main函数入口
//定义Open与Closed列表。Open列表:保存待检查节点。Closed列表:保存不需要再检查得节点
//
void main
{
struct Node * Open = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
struct Node * Closed = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
Open>next = NULL ; Open>previous = NULL;
Closed>next =NULL; Closed>previous = NULL;
A_algorithm(Open, Closed);
}
三、 实验体会
通过这次实验,使我对启发式搜索算法有了更进一步得理解,特别就是估计函
数h(n)所起到得巨大重用。一个好得估计函数对于启发式搜索算法来说就是十分关键得。