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激激 光光 原原 理理 光电信息科学系 南开大学物理科学学院 二六年三月 I 目目 录录 第一章 光辐射理论基础1-1 1-1 电磁场（光波）的模1-1 1-2 光量子态1-3 1-3 光子简并度1-7 1-4 光子发射和吸收1-8 1-5 激发态平均寿命1-12 1-6 光谱宽度1-14 1-7 光通过介质时的吸收与增益1-25 第二章 激光器一般工作原理2-1 2-1 激光器组成和激光产生2-1 2-2 粒子反转分布的激励条件2-4 2-3 激光器振荡条件2-9 2-4 几种激光器工作原理2-14 第三章 光学谐振腔3-1 3-1 引言3-1 3-2 谐振腔多光束进干涉仪3-1 3-3 腔稳定性3-4 3-4 谐振腔损耗及有关参数3-17 3-5 光学谐振腔的基本衍射理论3-24 3-6 平行平面腔的模特性3-29 3-7 共焦腔的模特性3-33 3-8 传播圆3-44 3-9 一般球面镜谐振腔的模特性3-46 3-10 谐振腔的模体积3-57 3-11 谐振腔的模选择3-59 第四章 高斯束光学4-1 4-1 高斯光束的特性和描写方法4-1 目录 II 4-2 高斯光束通过光学系统的基本变换关系4-10 4-3 高斯光束的聚焦、准直和扩束4-17 4-4 谐振腔的模匹配4-23 第五章 激活介质特性5-1 5-1 光放大和增益饱和5-1 5-2 激光器的振荡频率特性5-11 5-3 激光器的振荡阈值和输出功率特性5-27 5-4 激光活介质的增益、损耗和输出功率的测量方法5-36 第六章 激光的稳频、调 Q、锁模、放大技术基础6-1 6-1 激光稳频原理6-1 6-2 激光调 Q 原理6-15 6-3 激光锁模原理6-21 6-4 激光放大原理6-26 1-1 第一章 光辐射理论基础 光在本质上表现出双重特性，一方面，它在传播特性方面表现出波动性。如反射、干涉、衍射、偏振、双折射等现象；另一方面，它在与物质相互作用时又表现出粒子性。如黑体辐射、光电效应中表现出的粒子所具有的动量和能量性质。这即为人们现在所熟知的光的波粒二象性。量子电动力学从理论上对光的二象性给出了统一的正确解释。在这个理论中，光波看作是由量子化的微粒光子组成的电磁场。并且电磁场可视为一系列单色平面波的线性迭加，或一系列独立的基本状态的线性迭加。每一个基本状态称为场的一个本征态或本征模式（或波型）。这一点与光的经典电磁理论的描述形式是相同的，但基本的不同点是，在电磁场的量子理论中，场的每一个本征态的能量和动量都是量子化的，即可表示为基元能量lh和基元动量lkh的整倍数。而场的总能量和总动量可分别表示为各个本征态的能量和动量之和。这种具有基元能量lh和基元动量lkh的物质单元被称库处于第l个本征态内的光子，具有相同能量和动量（严格说还应具有相同的偏振状态）的光子彼此不可区分，因而处于同一状态，每个状态内的光子数目不受限制。我们这里不准备详细介绍光的量子电动力学理论，本章将按照上述的基本观点介绍某些与本课程后继内容有关的基本概念和处理方法。1-1 电磁场（光波）的模 前面已讲过，按照量子电动力学的观点，光波的模式与光子的状态是等效的概念。光波模式在激光理论中是一个重要概念，这一节我们将按光的经典电磁理论导出模数的表达式。下一节将通过光子理论导出光子的状态数，那时就会清楚看出两者确是完全等价的。在均匀的各向同性的介质中，描写经典电磁场的麦克斯韦方程组可简化为如下的波动方程：002222=BcBEcE&rr&rr （1.1.1）激 光 原 理 1-2(1.1.1)式的特解是沿某方向传播的单色平面波：)(0)(0+=rktirktieBBeEErrrrrrrr （1.1.2）其中，为角频率，为初始位相，kr为波矢，02nkrr=（1.1.3）0nr为平面波传播方向上单位矢量，为波长。由（1.1.3）可见，kr为单色平面波的特征量，或者说单色平面波以kr为标志。（1.1.2）式表示的特解，在物理上代表着场的一个本征态或本征模式（或波型），而方程（1.1.1）的通解可表示为一系列特解的线性迭加，在物理上还意味着在各向同性的均匀电介质中的任意电磁场可表示为具有各种可能频率和传播方向的单色平面波的迭加。在自由空间，具有任意kr的单色平面波都可以存在，但是一个有边界条件限制的空间V内，只能存在具有特定波矢kr的一系列独立的单色平面波。这些可能存在的单色平面波的数目，就是被限制在体积V内的电磁场模数，下面求解体积V内场的模数。设V为边长为L的正方形。以“j”标记第j个单色平面波，jkr为它的波矢，则在满足给定边界条件下具有稳定解的条件是：波矢jkr在坐标x，y，z三个方向的分量jxk、jyk、jzk必须满足 jzjzjyjyjxjxnLknLknLk=（1.1.4）第一章 光辐射理论基础 1-3 这里jxn、jyn、jzn是任意正整数，则jEr的绝对值为：()22222222jjzjyjxjjnLnnnLkk=+=r （1.1.5）若换成第j个本征态的频率，由（1.1.5）式有：2222jjnLc=（1.1.6）因为jL所以在体积V内，j或j可视为连续变化，不必取分立值，即有：2222nLc=（1.1.7）（1.1.7）式表明在整数n空间一组整数xn，yn，zn即对应一个本征模的频率。因此，频率区间内的本征模数，在数值上等于整数n空间内，数值半径由nnn+范围内球壳体积的八分之一，即 VccLnng=2323244814 又考虑到每一个频率为的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔内的本征态数，即本征模数应为：VcgV=238 （1.1.8）如果电磁波不是均匀地在整个4立体角内传播，而是集中在立体角内传播，则此时内的本征模数为 Vcg=222 （1.1.9）（1.1.9）式对于体积为V的任意形状的空间都成立。1-2 光量子态 如上所述，按量子电动力学观点，光是一种粒子波，组成光的物质微粒光子 激 光 原 理 1-4 依其不同特征（以动量、能量、偏振状态等为标志），分别处于不同状态，称为光子态。光子是全同性粒子，是自旋为h的玻色子。在宏观上遵从玻色爱因斯坦统计规律，处于同一状态的光子数不受限制，并且彼此不可区分。下面将看出，光子与光波模式是两个等价的概念，它们在数目上是相等的。我们规定光量子态按以下几个方面予以区分：传播方向；所处的几何空间；频率（或动量）；偏振态。按照上述规定，处于同一几何空间内，并且具有相同的频率（动量）、相同的运动方向和相同的偏振态的光视之为处于同一状态。我们先假定光子的运动方向按4立体角均匀分布，那么光量子态的数目应与动量空间PPP+的球壳体积和几何空间体积V相对应。换言之，光量子态数是与光子在由xP、yP、zP、x、y、z组成的广义笛卡尔坐标的六维相空间中所占据的相体积V相对应，而每一个光量子态对应着由测不准关系所决定的相体积元相V（zyxPPPVzyx=相）。测不准关系给出 hPzhPyhPxzyx （1.2.1）3hPPPzyxVzyx=相 （1.2.2）相V又叫相格，它是相空间的最小单元。处于同一相格中的全部光子被认为处于同一状态。处于几何空间体积为V、动量由PPP+的光子群所占据的相空间体积为：VchVPPV=233244相 （1.2.3）在考虑到两种可能的独立偏振状态后，在这个相空间体积中的光子态数应为：第一章 光辐射理论基础 1-5 VcVVgV=2382相相 （1.2.4）我们现在可清楚地看到，表示光量子态数的（1.2.4）式与表示光波场的本征模数的（1.1.8）式完全一样。因此，场的本征模式与光的量子态是完全等价的两个概念。以上我们假定光子运动方向在4立体角内均匀分布，如果光子的运动不是各向均匀分布，而是在某一立体角内，则（1.2.4）变为：Vcg=232 （1.2.5）如果光子群不是被限制在空间体积V内，而是以光子束方式传播，并且光束立体发散角为，光束截面为s，则在时间t内通过s的光子所占据的体积为：tcsV=则（1.2.5）式可表示为：tsgts=22 （1.2.6）又根据光的空间相干性理论，相干面积相干S与光束的立体角之间满足以下关系：=2相干S 同时由光的时间相干性理论，相干时间相干t与光谱带宽满足以下关系：1=相干t 考虑到这两个条件，并且相干相干tcL=为相干长度，则（1.2.6）式就变为：相干相干相干VVLVSgts=212 （1.2.7）相干相干相干LSV=被定义为“相干体积”，在波动光学里一般是用相干面积这个概念来描述光的空间相干性。那么，相干体积的含义是什么呢？（1.2.7）式清楚地表明，光量子态数等于空间体积V内所包含的相干体积数。因此，可以理解为处于相干 激 光 原 理 1-6 体积内相干V的光子是处于同一个量子态，并且它们彼此是相干的。我们还可以进一步证明，一个相格所占据的几何空间体积就等于相干体积。前面讲过，相空间的体积元（相格）zyxPPPVzyx=相代表着一个光量子态。一个相格占有的空间体积：zyxzyxPPPhPPPVzyx=3相 由图 1-1，当很小时，=chPPPPchPPPzzyx|rrr 由此得到 2232233)()(=czyxchPPPzyx （1.2.8）由相干面积的公式和相干体积的定义，2232)(1=ccLSV相干相干相干 （1.2.9）z Prx 图 1-1 杨氏双狭缝干涉 第一章 光辐射理论基础 1-7 比较（1.2.8）式和（1.2.9）式 相干Vzyx=（1.2.10）（1.2.10）式清楚不过地表明，相干体积对应着相空间的一个体积元（因为x、y、z确定后，xP、yP、zP亦即由测不准关系确定了），亦即对应着一个光量子态。综上所述，所谓光波场的模、光量子态、相格、相干体积实际上是等价的概念，只是从不同的角度描述光的物理本质而已，同一个模式的光波或处于同一状态（相格、相干体积）的光子是相干的；不同模式的光波或不同状态的光子是不相干的。1-3 光子简并度 所谓光子简并度，就是处于同一量子态的光子数。根据前节的叙述，光子简并度可以有几种含义相同的不同表述：同态光子数，同一模式内的光子数，处于同一相格内的光子数，处于相干体积内的光子数。光子简并度是能够概括激光特性的一个重要概念，激光最本质的特点是具有异常高的光子简并度。根据前面介绍的知识，可以导出光子简并度。设被考察的光波为准平行、准单色的光束，光束截面为S，发散角（立体角）为，带宽为，平均功率为P，则在时间t内流过S的光子数为：=htPN 而光子状态数由（1.2.6）式给出，按定义，光子简并度jn为：=ShPgNnj22 （1.3.1）我们以 He-Ne 激光器的 6328 谱线为例，利用（1.3.1）式将各个量值代入公式，可以得到：1510=jn 即是说在一个量子态内大约有1510个光子。普通光源的光子简并度又怎样呢？在辐射源与周围环境处于热平衡状态（因而辐射体本身也处于热平衡状态），每个模的能量 激 光 原 理 1-8 由黑体辐射公式给出。1=kThehE 那么对于黑体辐射源的光子简并度为：11=kThehEn （1.3.2）当取6000T，1410Hz 时，代入（1.3.2）式，得到：510n 就是说平均 100000 个量子态中才只有一个光子，激光与普通光源的光子简并度竟相差 20 个数量级！这是个极大的飞跃，一个物理量有这样大的跃变，这在光学发展史上是空前的，这也就是激光所具有的许多优异特性的内在原因。1-4 光的发射和吸收 光的发射和吸收是光场与物质（原子或分子）作用的结果，光场与物质的相互作用，使得组成物质的原子（或分子）可以从一个本征态（能级）跃迁到另一个本征态，与此同时伴随着光场某一波型内增加或减少一个光子，这就是单个原子（或分子）对光的发射和吸收行为，这种行为包括三种基本过程，即受激吸收、自发辐射和受激辐射。为了讨论问题的方便，我们只考虑原子的两个能级1E和2E（12EE）（因为对于给定的辐射跃迁总是发生在某两个能级间），并假定两个能级符合跃迁的选择定则。（一）自发辐射 处于高能态2E的原子，在不受外界作用的情况下，自发地向低能态1E跃迁，并发射一个能量为21h的光子，这个过程称为自发辐射跃迁。如图 1.2 所示。1221EEh=（1.4.1）第一章 光辐射理论基础 1-9 每个原子的自发辐射过程都是独立进行的，新发射的光子虽然频率相同，但其运动方向和初位相是杂乱无章的，因而自发辐射产生的光是非相干光。自发辐射过程用自发跃迁几率21A描述。设在某一时刻t处在能级2E上的原子数密度（即单位体积内的原子数）为2N，21A定义为单位时间内2N个粒子中发生自发辐射跃迁的百分数，则在由tttd+的时间内产生自发辐射的原子数应为：tNANdd22121=（1.4.3）21A又称爱因斯坦自发辐射系数，它因不同原子不同跃迁能级而异。一般地说，原子的自发辐射爱因斯坦系数21A的量级为971010秒1。（二）受激辐射过程 处于能态2E上的原子，受到频率21的外来光场的作用（21满足（1.4.1）式），则这个原子可能受到外来光子的激励而从能态2E跃迁到能态1E，同时放射出一个频率为21的光子，如图 1.3 所示。N2 N1 E2E1图 1.2 光的自发辐射过程 21h 图 1.3 光的受激辐射过程 N2 N1 E2E121h21h21h 激 光 原 理 1-10 原子的这种发光过程叫受激辐射，受激辐射产生的光子与外来激励光子的状态完全相同，即两者不但同频率，而且同位相，同偏振，同传播方向，因而受激辐射场与入射光属于同一模式，这样，当有大量原子处于2E态时，就会发生雪崩式的连锁反应而产生大量的受激辐射光子，这些光子是相干的，受激辐射的这一重要特性是激光的基础，这一特性只有用量子动力学才能得到严格证明。下面我们引出受激辐射爱因斯坦系数21B。设外来光子的能量密度是),(21T，T是绝对温度，),(21T表示单位体积、单位频率间隔内光的能量，若在时刻t，能级2E上的原子数密度是2N，在tttd+的时间内，单位体积中有21dN个原子，由于受激辐射，而从能级2E跃迁到能级1E，则有 tTNBNd),(d2122121=（1.4.3）21B因不同原子的不同跃迁能级而异。（1.4.3）表明，受激辐射的速率（单位时间产生受激辐射的原子数密度）与),(21T成正比，而),(21T，会因受激辐射的产生而加大，因而受激辐射过程是一种连锁反应式的光放大过程。（三）受激吸收过程 处于能态1E上的原子，在受到外来频率为21的光的作用下，并且21满足（1.4.1）式，则原子可能吸收外来的光子而从1E态跃迁到2E态，这个过程称为受激吸收过程。如图 1.4 所示。受激吸收过程只要求外来光子的频率满足（1.4.1）式，而对其偏振和运动方向没有特殊要求，受激吸收也称共振吸收。设外来光子的能量密度为),(21T，在时刻t，处在能级1E上的原子数为1N，在tttd+的时间内，单位体积中有1dN个原子，由于受激吸收作用，从1E跃迁到第一章 光辐射理论基础 1-11 2E，则有：tTNBNd),(d2111212=（1.4.4）12B称受激吸收爱因斯坦系数。（四）21A，21B，12B 在光场与物质相互作用的过程中，上述三种过程是同时发生的，在系统处于热平衡态时，能级2E和1E上的粒子数密度2N和1N应保持不变。换言之，从能级2E跃迁到能级1E的原子数目应等于从1E跃迁到2E的数目，即有：),(),(2111222121221TNBNTBNA=+由此有),(),(212121211212TBATBNN+=（1.4.5）另一方面，系统处于热平衡状态时，原子数密度按能级的分布遵从麦克斯韦波尔兹曼分布律，即 kTEkTEAegNAegN/22/1121=其中1g，2g分别为能级1E和2E的统计权重（或称简并度），A为与能量无关的比例常数。上面两式相除 图 1.4 光的受激吸收过程 N2 N1 E2E121h 激 光 原 理 1-12 kTEEeggNN/)(212112=（1.4.6）比较（1.4.5）和（1.4.6），就可得到 11),(21221112212121=kThegBgBBAT （1.4.7）此外，热平衡状态下的黑体辐射给出 118),(21332121=kThechT （1.4.8）比较（1.4.7）和（1.4.8）式，欲使两式右边相等，必须保证：3213321212188=hchBA （1.4.9）221112gBgB=（1.4.10）（1.4.9）和（1.4.10）式称为爱因斯坦关系式，大量的实践证明，上述关系在热平衡条件下也成立。（1.4.9）式表明，自发辐射系数与受激辐射系数之比反比于波长的三次方，因此光辐射的波长越长，对受激辐射越有利，这就是为什么受激辐射放大器首先在微波段辐射的氨（NH2）蒸汽中实现（辐射波长是 1.25cm）的原因。最后需要指出的是，在本节（1.4）的全部讨论中，我们都没有考虑原子能级2E与1E具有一定宽度，即实际上是假定了能级是无限窄的，因而认为辐射是单色的（谱线宽度是无限窄的）。然而实际情况并非如此，由于各种原因（这在以后会讲到），辐射并不是单色的，光谱线是有一定宽度的，基于这个原因本节的有关公式还需要进行必要的修正，这以后再讲。1-5 激发态的平均寿命 处于激发态的原子，在没有外界扰动的情况下，由于自发辐射总是要由高能态跃迁到低能态，但处在激发态的原子会有一个平均停留时间，这个时间就称为激发态的第一章 光辐射理论基础 1-13 平均寿命，用来表示，很容易证明211 A=。若在t d时间内，由于自发辐射，激发态能级2E上的原子数密度由2N变为22dNN+，利用（1.4.2）式，有 tNANdd2212=由此得到 tAeNN21202=（1.5.1）其中20N为0=t时能级的原子数密度。从寿命的角度看，（1.4.2）式表明，这21dN个原子已经在能级2E上停留了（或者说活了）t秒钟，则它们的总寿命为：=ttNAtT0221d （1.5.2）如果t，那么（1.5.1）表明，所有的20N个原子全部由2E跃迁到了1E，则20N个原子的总寿命应为：21200A-20210221)de(d21ANtNAttNAtTt=（1.5.3）所以每个原子的平均寿命为：21201ANT=（1.5.4）如果激发态nE下面不只有一个能级，而是有m个能级，并且nE与下面的m个能级间都满足跃迁的选择定则，则激发态nE的平均寿命应为：=mnmA1 （1.5.5）利用（1.5.4）式，（1.5.1）式可改写为：激 光 原 理 1-14=1202eNN （1.5.6）可以想到，能级2E与1E间的自发辐射的强度应正比于2N，用I表示辐射强度，则：2NI =10eII （1.5.7）0I为0=t时的辐射强度，由（1.5.7）可知，只要测出辐射强度衰减为初始强度的e1的时间，我们即测得了平均寿命。一般原子的激发态的寿命为871010秒，但亚稳态的平均寿命要长得多，约为810秒1 秒，这是因为稳态向低能级的跃迁是禁戒的。1-6 光谱线的宽度 严格的实验和理论都说明光谱线都有一定的宽度，称为光谱线宽或带宽。这在讨论光与物质的相互作用，比如讨论激光器的振荡机理时是必须考虑的。有三个方面的因素决定了光谱具有一定宽度，下面我们分别加以讨论。（一）自然展宽（均匀展宽）按照最子力学理论，当对原子各个状态的能量进行测量时，其能量E的测量精度E与测量时间精度t满足以下的测不准关系：htE （1.6.1）E称作能级的自然宽度，并且用脚码“N”来标志，记作NE。测量时间的精度受激发态能级寿命的限制，所以（1.6.1）可以改写成：htEN （1.6.2）（1.6.2）表明，能级的自然宽度与激发态能级的平均寿命成反比。由于能级有自然宽度NE，当考察两个能级2E与1E间的跃迁时，则辐射频率第一章 光辐射理论基础 1-15 不再是（1.4.1）式给出的单一频率21，而是以21为中心进行展宽，将此宽度记作N，则N应为：hEENNN12+=根据（1.6.2）式可得：)11(12+N （1.6.3）N称为谱线的自然宽度，N也可以改作用波长表示：)11(12221+cN （1.6.4）由于原子激发态平均寿命一般约为871010秒，因此由（1.6.3）式可算出，谱线的自然宽度约为几兆至几十兆赫兹。下面我们进一步讨论在只有自然展宽时光谱线的形状。（1.5.7）式给出，光的自发辐射强度随时间按指数衰减：teII=0 因而辐射场的振幅应为：titeAtA020)(+=（1.6.5）（1.6.5）表示的实际上是一个阻尼谐振子，0为光辐射频率，亦即把辐射源视为谐振子时的振动频率。（1.6.5）式表示的光辐射不是单色波，对)(tA作傅里叶变换，又得到光辐射场振幅的函数形式。)(21dd)()(000)(2000+=iAteeAtetAAtitti 以光辐射强度作为频率的函数其形式为：激 光 原 理 1-16 22022022020*)21()(4)21()()()()(+=+=AAAAI（1.6.6）自（1.6.6）式，频率由+d区间光辐射强度为：+=d)21()(4Ad)(220220I （1.6.7）光辐射的总强度为：+=d)21()(4A0220220I （1.6.8）我们定义一个所谓自然展宽线型函数),(0Ng，令)()(),(00=IIgN 再由（1.6.6）一（1.6.8）式，则有：+=0220222020)21()(4d)21()(41),(Ng （1.6.9）),(0Ng应满足以下归一化条件：1)21()(4d)21()(4dd),(002202220200=+=Ng （1.6.10）分母中的积分为常数，令其为C，由归一化条件（1.6.10）可得到：=+=02202)21()(4dC和 第一章 光辐射理论基础 1-17 220222020)21()(411)21()(411),(+=+=CgN（1.6.11）由（1.6.10）式还可看出，),(0Ng代表发出频率为的辐射的几率。),(0Ng反应了自然辐射的光谱线作为辐射频率的函数的形式，即光谱线的形状或线型，我们称（1.6.11）式所表示的谱线分布形式为洛仑兹型分布。当0=时，),(0Ng有极大值，此时=4),(|),(0000NNgg 我们定义),(21),(000=NNgg所对应的谱线宽度N为半强度带宽，则我们很容易求得：=21N （1.6.12）（1.6.11）可用N表示，则有：图 1.5 谱线的自然加宽线型),(0Ng),(021NgN 激 光 原 理 1-18 2200)2()(21),(NNNg+=（1.6.13）（二）碰撞展宽（均匀展宽）处在无规则热运动中的原子，它们之间的互相作用或原子与容器壁的作用，这些都会改变原子的运动状态。例如处于激发态的原子，在上述相互作用中把自己的内能转移给其他原子或器壁而使能级进一步展宽。因此，光谱线除了原有的自然展宽外，由于碰撞作用而进一步加宽了，而且这种展宽仍保持着自然展宽形式。由于原子间的相互作用较复杂，理论处理较困难，我们只讨论气压不很高的气体激光器中的情况，在这种情况下，原子间发生作用的时间比相邻两次碰撞间的时间间隔要小得多，因此我们可以不必考虑原子间相互作用的具体情况，而视为每一次相互作用，碰撞时光辐射中断一瞬间，而碰撞后仍恢复同一频率的辐射。但碰撞前后光辐射的位相和振幅有了变化，这就相当于前一波列被中断，而重新发出一新的波列，因此原子间相互作用的结果，使光辐射不再是一个无限长的波列（一个无限长的波列相当于一个单一频率的正弦波），而是由一系列有限长的波列所组成，波列的持续时间，也即是相邻两次碰撞的时间间隔，显然也即是由碰撞引起的原子能级的寿命，我们用 表示，同时我们用),(0cg和c分别表示碰撞展宽的线型函数和谱线宽度，根据前面的分析，碰撞展宽的形式应该与自然展宽相同。于是我们得出：2200)2()(21),(cccg+=（1.6.14）21=c （1.6.15）一般地 要比能级的自发辐射寿命小得多，因而c要比N大得多。在气压较低的情况下，P/1，P为气压，所以：aPc=（1.6.16）其中a为一常数，可以通过实验测得，对于 He 和 Ne 的混合气体（7:1），测得 Ne 的第一章 光辐射理论基础 1-19 6328 谱线96a兆赫/托，对 CO2的 10.6m 谱线，测得5.6a兆赫/托。（三）多普勒展宽（非均匀展宽）我们先复习一下声学中的多普勒效应，设声音的传播速度为V，那么在一个周期T内传播的距离为VT=0。如果声源以速度u向接收器运动，那么当声音到达接收器时，声波实际走的距离等于TuVuT)(0=，因而对接收器来说，接收到的表观波长不是0而是TuV)(=，相应地接收器接收的声波的表观频率为：VuTuVVV=11)(0 当Vu u；反之，0u。实验表明，光波也有类似于（1.6.17）式所表示的多普勒效应，只要将V换成光速c就可以了，于是有：)1(0cu+=（1.6.18）多普勒效应的存在，将引起光谱线的展宽，例如人们用图 1-6 所示装置观测原子某一激发态能级2E跃迁的光辐射。各个原子以不同的速度Vr做热运动，Vr在x轴方向的分量为u，那么（1.6.18）式表明，光谱仪收到的光辐射的频率随u变化，对0=u的原子，辐射频率为0，这就是说，对于同一个光辐射（例如从12EE 的跃迁），由于原子运动速度（大小和方向）的不同，光谱仪将收到不同频率的光，所以辐射频率以0为中心被展宽了。下面我们求出多普勒展宽的线型函数。根据统计物理学中的知识，在x轴上速度分量处于uuud+之间的原子数占原子总数（两者均指处在激发态2E上的原子）激 光 原 理 1-20 的百分比为：uekTmuuPkTmud2d)(22=（1.6.19）式中m为原子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，上式称为麦克斯韦速度分布率，严格说来，它只适用于热平衡状态，在气体激光器中，原子虽不处于热平衡态，但对（1.6.19）式偏离不大，因而仍可以近似引用该式。如前述，由于频率与速度u相对应，因而可以将（1.6.19）式改成以为自变量，令)(Dg代表辐射频率为的原子占原子中数（同样均指处于2E态上的原子）的百分比，则下式成立：)(d)(d)(uuPgD=再由（1.6.18）式，将u用0代换，则有=d2d)(202022)(0kTmcDekTmcg （1.6.20）（1.6.20）式中的)(Dg显然是多普勒展宽的线型函数。202022)(02)(=kTmcDekTmcg （1.6.21）通常把（1.6.21）所表示的分布函数称为高斯函数，函数曲线画在图 1-7 中。气体放电管 光谱仪器 uxVr图 1-6 观察光的多普勒效应 第一章 光辐射理论基础 1-21 由（1.6.21）式很容易看出，当0=时，函数有极大值)(0Dg kTmcgD=2)(00 我们定义谱线的多普勒宽度D是)()(021=DDgg时线型函数曲线占据的宽度，即 12=D 这样我们就得到：2120)2ln2(2mckTD=（1.6.22）将（1.6.22）式代入（1.6.21）式，即得到线型函数的另一种形式：=220)(2ln421)2ln(2)(DegDD （1.6.23）为了方便地计算D，通常引入原子的原子量（或分子的分子量）M去代替它们的质量m，已知Mm241066.1=克，并把其他常数代入，可得：021D)(Dg)(0Dg)(210Dg图 1-7 光谱线的高斯线型函数 激 光 原 理 1-22 MTD071016.7=（1.6.24）下面我们证明（1.6.23）式给出的)(Dg是满足归一化条件的：=d)2ln(2d)(0)(2ln4210220DegDD 1)(2ln2d10)(2ln220=DDe（四）综合展宽 以上我们讨论了光谱线展宽的三种原因及展宽的形式，而就其本质来看，谱线的展宽可以分为两种类型。一类为均匀展宽，其含义是，各个原子，即所有原子（当然是指处于激发态2E上的原子）对谱线展宽范围内每一频率处的强度都有贡献，对各个频率的贡献服从),(0Ng和),(0cg所表示的几率分布，而这个几率分布对所有原子都是相同的，自然展宽和碰撞展宽均属于均匀展宽。因此，总的均匀展宽度h应为两者之和。cNh+=（1.6.25）我们用),(0hg表示均匀展宽的线型函数，它应该是罗伦兹型的，即：2200)2()(21),(hhhg+=（1.6.26）前面已讲过，一般情况下碰撞展宽比自然展宽大，前者为几百兆赫，后者为几兆赫至几十兆赫。另一类是非均匀展宽，其含义是，处于激发态2E上的各个原子依照其运动速度第一章 光辐射理论基础 1-23（大小和方向）的不同而对谱线轮廓内每一个频率处的强度的贡献不同，即某一速度（以在x轴上的分量u为标志）的原子只对谱线轮廓内某一特定频率的辐射强度有贡献，因而谓之非均匀展宽，多普勒展宽就属于这种情况。非均匀展宽的线型函数是（1.6.23）所表示的形式，即 220)(2ln402ln2),(iegii=（1.6.27）对于实际的光辐射，均匀展宽和非均匀展宽是同时存在的，所以实际的光谱线的线型是两种类型的展宽的迭加，称为综合线型。我们将导出综合线型的线型函数的表达式。我们假定速度分量为 u的原子发射频率为 的光，发射几率为),(0ig。同时还要以 为中心进行均匀展宽，因而这些原子对位于均匀展宽范围内的某一频率的光有贡献，其几率应是均匀展宽的线型函数),(hg，见图 1-8 所示。因此，速度分量为 u的原子发射频率为的光的几率为：),(),(),(0=higgg 如果具有各种不同速度分量为u的原子均能发射频率为的光，则发射频率为的总几率应对 积分，即 d),(),(),(00=higgg 图 1-8 谱线综合展宽示意图 0),(0ig),(0ig),(hg),(hg 激 光 原 理 1-24 d)2()()(2ln42ln1022220+=hiih （1.6.28）我们分三种情况对（1.6.28）式进行讨论：1ih 这时只有具有这个速度这个速度的原子的发射频率（与的含义同上）的原子才对频率为（记住是以 为中心的均匀展宽范围内的某一频率）的光强有贡献，从数学上看，即只当时，才有：0d),(),(00higg 所以),(0ig可用常数),(0ig代替而提出积分号，于是得到：),(d),(),(),(0000=ihigggg 就是说，当ih时，综合展宽近似为非均匀展宽。2hi 根据类似的分析，可以得到：),(),(00=hgg 即当hi），它们满足跃迁选择定则，设有光强为)(0I的一束平行光入射上述介质中。如图 1-9 所示，并设在坐标x处的光强为),(xI，经td时间后，光传播到xxd+，相应的光强变为),(d),(xIxI+。在一般情况下，自发辐射对光强变化的影响很微弱。于是下面的讨论中，将忽略自发辐射过程。设1E和2E能级上的原子数密度为1N和2N，介质中光的能量密度（单位体积、单位频率间隔内光的能量）为),(x，则在td时间内，由于受激辐射作用，在单位体积中将有21dN个原子从能级2E跃迁到能级1E，并且 txNBNd),(d22121=这21dN个原子发出的光能量密度为：thgxNBhgNxd)(),()(d),(d221211=其中)(g为发射频率为的原子在21dN个原子中所占的百分数，即谱线的线型函数，与此同时，由于受激吸收作用而吸收的光能量密度为：thgxNBxd)(),(),(d1122=),(xI),(d),(xIxI+)(0Ixxxd+图 1-9 光通过介质的吸收与增益 第一章 光辐射理论基础 1-27 那么经过t d时间后，光能量密度的净增加量为：),(d),(d),(d21xxx=thgxNBNBd)(),()(112221=（1.7.1）光辐射强度I的定义是，单位时间通过单位面积单位频率间隔内的光能量，所以=ncI=ddncI 式中c为光速，n为介质折射率，为光的能量密度，并且光在t d内传播距离为 tncxdd=将上面三个式子代入（1.7.1）式，得到 xcnhgxINBNBxId)(),()(),(d112221=xhgxINBNBnd1)(),()(112221=其中=ncn是介质中的波长。我们用21A来代替21B和12B，根据（1.4.9）和（1.4.10）两式，可得：xxIgANggNxInd),()(8)(),(d2121122=（1.7.2）因为),()(8212xIgAn总大于零，因而),(dxI的正、负取定于)(1122NggN 的正负，亦即光在介质中传播，光强是增加还是减弱，取决于能级2E与1E间原子数分布状况，下面分三种情况进行讨论。激 光 原 理 1-28 1、0)(1122NggN，即1122gNgN，0k，0T，所以有：1212ggNN 这就是说，（1.7.3）式表示的是热平衡状态下两能级间粒子数的分布状态，换言之，在热平衡状态下必然有0d NggN，即1122gNgN （1.7.7）这种状态已打破了热平衡状态下两能级间的粒子数分布状态，而称为粒子数“反第一章 光辐射理论基础 1-29 转分布”状态。单靠加热办法不能造成粒子数的反转分布，必须采用另外的激励方法，如电激励、光激励、化学激励等。粒子数反转分布又称“负温度”状态，因为如果此时粒子数分布仍服从麦克斯韦玻尔兹曼分布，即 kTEEeggNN121212=那么当1122gNgN时，必导致0I，我们取)(8)()(2121122=gANggNGn 显然0)(G，将（1.7.2）改写为：xGxIxId)(),(),(d=则 xGexIxI)(0),(),(=（1.7.9）（1.7.9）表明，在粒子数反转状态下，光通过介质时，其强度随传播距离的增加呈指数增加。)(G叫介质的增益系数，其函数形式与谱线的线型函数相同。2-1 第二章 激光器的一般工作原理 激光器是利用受激光辐射过程产生光和放大的一种器件，从它发出的光具有极好的相干性、单色性、方向性和极高的亮度，便于人们控制它和利用它。因而这种光源具有更大的实用价值。激光器是人们在长期改进光源的实践和对光的本性不断深入认识的基础上产生的一种新型光源，激光器的出现标志着人类在对光的认识和利用上的一个飞跃。自二十世纪六十年代初第一台红宝石激光器问世后，很快地就出现了一个迅速发展的激光技术领域。在各种应用的推动下，激光器的发展是很迅速的。到目前为止，已研制成功的激光器不下数百种，产生激光振荡的谱线已有几千条（不包括调谐激光器所产生的连续可调的激光谱线），从最短的 116.1 真空紫外谱线到最长的 774 微米亚毫米波，最大连续输出功率已达几十万瓦，最高的脉冲激光输出已达百兆兆瓦。尽管如此，新的激光器仍在不断地出现。新的激光振荡谱线仍在不断地增加。可以预期在今后一个相当的时期内，开发新型激光器的工作仍将是激光技术发展工作中的一个重要方面。本章扼要介绍各种激光器的共同性的工作原理，使我们初步了解激光器的组成，产生激光的过程和必要条件，并列举一些典型激光器的工作原理。2-1 激光器的组成和激光的产生（一）激光器的组成 激光器由三部分组成：工作物质、谐振腔和激励源。如图 2-1 所示。电 源 光泵 半反镜 全反镜 工作物质棒图 2-1 激光器结构示意图 第二章 激光器的一般工作原理 2-2 1工作物质 前一章我们已经了解到，要使受激辐射过程成为发生于某一介质中的主导过程，必要条件是在介质中造成粒子数反转分布，即使介质激活。实验证明，有各种各样的物质，在一定的外界激励条件下，都有可能成为激活介质，因而可能产生激光。它们有固体、气体、液体和半导体。这样的一些能产生激光的物质叫激光工作物质。如红宝石激光器的工作物质是掺铬离子的氧化铝晶体。选择合适的激光工作物质是构成一台激光器的首要物质前提。为了选择激光工作物质，必须对物质作能谱分析。在此基础上根据不同的需要进行选择。这是一个比较复杂的问题，需要考虑的问题很多，最重要的问题是一种物质是否有合适的跃迁能级，即在某两能级之间可以实现粒子数反转分布。一般要求上能级2E的自发辐射寿命大于下能级1E的自发辐射寿命，而且根据跃迁选择定则，该两能级之间的辐射跃迁是被允许的，同时辐射的频率（hE