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最优控制理论在汽车控制系统中运用

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2020年4月19日
文档仅供参考
最优控制理论在汽车控制系统中运用

董凤鸿1，张皓2
（1 北京科技大学 级信计2班 41040317）
（2 北京科技大学 级信计2班 41064044）

摘要：
随着人们生活水平的提高，汽车已经开始走进百姓的生活中。随着人们对汽车消费的增加，越来越多的人开始更多的关注的不但仅是汽车本身，更多的开始关注汽车的安全性及舒适性。由此，各大汽车厂商更具消费者的需求开始着重研究带有主动控制能力的汽车控制系统。本文引入最优控制理论对当今比较流行的汽车悬挂系统、汽车防抱制动系统（简称ABS系统）和无级变速器控制系统进行优化。由此达到优化汽车安全性、经济性和舒适性。
关键词：
最优控制理论、悬挂系统、防抱制动系统、无级变速器控制系统
一、引言
汽车防抱制动系统 (简称ABS系统) ，实质上是一种制动力的自动调节装置。这种装置使汽车制动系统的结构发生了质的变化,它不但能充分发挥制动器的制动性能 ,提高制动减速度和缩短制动距离 ,而且能有效地提高汽车制动时的方向稳定性,大大改进汽车的行驶安全性。悬挂系统是指车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称，悬挂系统直接影响着汽车的安全性、稳定性和舒适性，是汽车的重要组成部分之一。当前，降低汽车能源消耗和减少废气排放已成为汽车行业最关注的问题，大量试验表明，装有无级变速器(CVT)的汽车比装有传统有级变速器的汽车在改进汽车燃油经济性和排放等方面具有更大的潜力，这是因为CVT连续变化的传动比能够使发动机转速独立于负载和车速的变化，最大限度地发挥发动机的经济性和动力性。
二、正文
（一）、汽车防抱制动系统最优控制
1、方法介绍
最优控制是基于状态空间法的现代控制理论方法。它能够根据车辆一地面系统的数学模型,用状态空间的概念,在时间域内研究汽车防抱制动系统。是一种基于模型分析型的控制系统,它根据防抱系统的各项控制要求,按最优化原理求得控制系统的最优控制指标。我们知道:现代控制理论应用得成功与否,关键在于数学模型是否准确。为此必须首先研究用状态变量表示的防抱系统的数学模型。
2、模型建立
为了便于分析首先作如下假设：
(1)车轮承受的载荷为常数;
(2)不计迎风阻力和滚动阻力 ;
(3)附着系数Ψ随滑动率变化的规律由图1所示的两条直线所组成 ,
其数学表示式为:
ψ=ψkST∙S S<STψ=ψn-ψqST1-ST-ψn-ψq1-ST∙S S <ST
式中
Ψh一最大附着系数
ST一最大附着系数对应的滑动率
Ψg一车轮完全抱死时(S = l )的附着系数
S = 1-RW/V一滑动率
汽车在制动过程中,单个车轮的受力情况如图2所示。根据理论力学的知识和以上假设，可写出车轮作平面运动的运动微分方程式：
MV=Ft-FF=-Z∙ψS
JW=RFt-Mf-Mb=-Mb+Z∙ψS∙R

图1 Ψ-S近似曲线 图2 制动时车轮受力图
式中
M——— 分配到车轮上的汽车质量 J——— 车轮的转动惯量 V——— 车体的速度W——— 车轮的角速度Mf——— 地面对车轮的滚动阻力矩Mb——— 制动器制动力矩F=ZΨ（S）——地面对车轮的水平作用力Z——— 车轮的法向反力ΨS———附着系数，它是滑动率S的函数Ff——— 车体受到的迎风阻力R——— 车轮半径

一般地,可把制动力矩表示为如下的时间函数关系
Mb=a·P（t）
根据现代控制理论的要求，除需要选取车轮角速度W和角加速度W为状态变量外， 为了产生闭环控制系统,还应把附着系数Ψ和滑移率S的关系曲线峰值处的车轮速度V *作为系统的期望值输出,显然它在制动过程中是随时间变化的,因而需要设计跟踪系统,使系统实际输出的是跟踪期望输出值 ,于是可将跟踪输出器设计成二阶积分的型式 ,
即 :
Iφ1'=0tωR-v*dt=0tVω-V*dtIφ2'=0tIφ1dt=0t0t1Vω-V*dt

式中： WR———车轮的速度
此两式能够写成如下的微分关系：
Iφ1Iφ2=ωRωR+-V*-V*
或写成状态变量Ir1，Ir2的直接关系
Iφ1Iφ2=RωI*φ1+-V*0
在研究中为了便于车体速度V和峰值车轮速度V* 相比较,将车轮角速度和角加速度两个状态变量 ,用车轮的速度Vw=Rw和加速度Vw=Rw来代替,作为系统的状态变量,则可得
Rω=-R2ZVJψnST-αiJp(t)

另外
V'ω=Rω'

联合写成矩阵形式
VωV'ωIφ1'Iφ2'=-R2ZVJψnST0 0 010 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0V'ωVωIφ1Iφ2+α'J000+00-10V*

由此可得汽车防抱制动系统状态方程的规范表示式：
X'=AX+BU+BdY=CX

式中
A=-R2ZVJψnST0 0 010 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
系数矩阵
B=0 0 -1 0T -误差矩阵B=-αiJ 0 0 0T -控制矩阵X=VW' VW Iφ1 Iφ2T -状态变量C=0 1 0 0 -输出矩阵Y=ωR=VW -输出向量U=pt -控制向量df=V* -误差向量

用现代控制理论的方法设计汽车防抱制动装置,实质上就是设计一个最优控制系统,使
其在防抱的全过程中能预报出一种控制函数,使防抱系统在防抱过程中以最优的方式工作,
使预先设定的目标函数达到最小值。为了使液压或气压控制系统消耗的能量最小,并使实际输出与期望输出的误差最小,我们选择具有二次型的目标函数，即：
Jr=0ωXTθX-UTRUdt

式中 θ—状态变量的加权矩阵
R—控制变量的加权矩阵

图3 线性调节器方框图
对于这种线性状态方程的系统,其性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的最优控制问题 ,称为线性自动调节问题。其系统结构可用图3所示的方框图来表示,由最优控制理论不难求出该系统的最优控制规律 :
Udt=-R-1BTLX=-KX

其中K=R-1BTL称为反馈控制的线性反馈系数，L则可Riccati方程来求得
-LA-ATT+LBR-1BTL-θ=0

代入 K=R-1BTL则可求出反馈控制系数K=[K1 K2 K3 K4]
（二）、汽车防抱制动系统最优控制
1、方法介绍
本文对主动悬挂系统和被动悬挂系统的特点进行了对比分析，并进一步以主动悬挂系统为研究对象，结合车辆动力学原理，推导了一种基于最优控制理论的主动悬架控制方法。控制方法是主动悬挂系统的核心技术之一，国内外学者提出了自适应控制、预见控制、滑模控制、自校正控制、最优控制理论、模糊控制和神经网络控制等方法。其中最优控制理论基础比较完善，其最大优点是不必根据要求的性能指标确定系统闭环极点的位置，只需根据系统的响应曲线找出合适的状态变量和控制变量的加权矩阵，使系统性能指标函数即目标函数J最小。
2、模型建立
主动悬挂系统的状态方程大多具有线性形式：
x'=Ax+Bv
式中：A为，n x n的系统矩阵；B为，n x r控制矩阵；x为n维状态矢量；v为r维控制矢量。加约束后性能指标函数J，为：
J=t1t212[xTQx+vTRv+2xTNv]dt
式中：Q为状态变量的加权矩阵；R为控制变量的加权矩阵；N为交叉项的权重。这里应注意：要求系统为线性定常系统，且要求系统完全能控；优化后的闭环系统是渐近稳定的。
由于当前的悬挂形式主要是独立悬挂，而二自由度1／4车辆模型能较好地描述汽车独立悬挂系统的实际情况，故取1／4车辆模型作为主动悬挂系统优化控制的研究对象，模型如图4所示。

图4 主动悬挂系统结构示意图

图4中m2为1/4车身质量；m1为车轮质量；u=-Kx 表示悬挂对车身或车轮的作用力；K为n维向量；k1为车轮弹性系数，车轮阻尼由于影响不大而忽略不计，y2、y1、y0分别表示1/4车身质量、车轮质量的位移和路面的激励。
根据牛顿第二定律，可写出系统的微分方程式：
m1y''=k1y0-y1-um2y''2=u
选取状态变量为：
x1=y1-y0x2=y2-y0x3=y1' x4=y2'
由上式得：
x1‘=x3-y0' x2'=x42-y0 x3'=-k1m1 x1 -um1 x4'=um2
由此可得出系统的状态方程为:
x'=Ax+Bu+Eω
式中：
A=00 1 010 0 1 k1m1 0 0 0 0 0 0 0
B=00-1m11m1, E=-1-100
E为扰动输入矩阵。
在确定目标函数时，应考虑到汽车的平顺性和操纵稳定性，悬挂系统弹簧的动扰度(Y1—y2)会影响到汽车的平顺性，且车轮与路面间的动载荷会影响汽车操控稳定性；从实现控制的角度看，应使所需的控制能量较小，综合以上几种因素，目标函数可写为:
J=0∞[Ru2+q1(y0-y1)+q2(y2-y1)2]dt
或可写成:
J=0∞[xTQx+Ru2]dt
经验证系统是能控的，其中:
A=q10 1 01 q2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
根据二次型性能指标的线性系统最优控制理论，其最优控制律为：
u=-Kx=-R-1BTP
式中：K为最优反馈增益矩阵；P为实对称常值矩
阵，满足黎卡提(Riccati)代数方程，即
-PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0
其中矩阵Q的大小与轮胎位移加权系数q1和悬挂动扰度加权系数有关，q1和口2取不同的值就允许对不同的分量加不同的权系数，当某个分量需要特别约束时，能够增大该分量的加权系数。
（三）、汽车防抱制动系统最优控制
1、方法介绍
CVT变速系统是机电液一体化的非线性系统，在升档、降档等不同情况下，其数学模型具有不同的特征，采用固定控制规律和参数不能适应各种不同的工况。由此，本文设计出了电液控制系统的最优控制器。
2、模型建立
cvT电液控制系统能够分为夹紧力控制系统和速比控制系统，控制系统原理（如图5所示）。夹紧力控制系统主要由夹紧力控制阀构成，它控制着液压系统压力的大小，这个压力直接作用于从动轮油缸。在速比一定的条件下，它的大小决定了系统传递转矩的能力。速比控制系统主要由速比控制阀构成，经过该阀可控制主动轮油缸的充油量，从而改变主动轮油缸内的压力，在金属带的制约下，使主动轮组中可移动带轮的轴向位置发生变化，实现变速比的控制。
根据推导，能够建立速比控制系统的方框图(如图6所示)。因为比例伺服阀的固有频率一般比动力元件固有频率高一倍左右，为简化起见，在此把其视为比例环节。

图5 电液控制系统

图6 速比控制系统传递函数模型方框图
图中：
u为输入电压信号， Uf为反馈电压， Ue为偏差，I 为力矩马达输入电流， Ke为为比例控制器系数， Ks为伺服阀的增益，Q(s)为流过电液比例伺服阀的流量， Ap为主动轮油缸活塞的有效面积， βe为体积弹性模量， Mt为活塞以及与活塞相连的负载总质量， Bp为负载的粘性阻尼系数， V1为主动轮油缸的体积， FDR为主动油缸轴向夹紧力，Hy为电位计转换系数，Y为主动轮油缸的输出位移。
为简化系统模型，我经过阅读有关数据资料给出开环传递函数G（s）为：
Gs=150s1*10-4+1*10-2s+1 (1)

3、最优控制设计
设状态空间方程形式为：
X'=AX+BUY=CX (2)
式中，A、B、C为空间变量系数矩阵。根据控制理论知识，将（1）式的传递函数转换为状态空间方程：
X1'X2'X3'=0100010-10000-100X1X2X3+
Y=1 0 0[x1 x2 x3]T (3)
式中Y和U分别为状态空间的输出和输入变量，Y=[x1 x2 x3]T为状态向量。
利用最优控制理论，在系统中加入最佳控制信号U(t)=-K（t）+X（t），其中K=R-1BTP,p为Riccati方程的解，并使二次型性能指标取极小值。由此看出，控制系统的优化设计实质上是求最佳调节器K（t）的设计。为了求解K（t），即解Riccati方程：
-PA-ATP+PBR-1BTP-CTQC=0
三、结论
A、在汽车防抱制动系统问题的研究中，可知ABS是一种简单实用的系统,其质量和功能在不断地完善。本文所介绍的最优控制法在理论上很成熟 ,它将车轮的角速度和角加速度作为状态变量对系统进行优化控制,能达到很好的防抱制动效果,但它要求建立较高质量的数学模型。
B、在汽车悬挂系统问题中，最优控制理论知识同汽车控制系统结合较好并可知主动悬挂系统很大程度上降低了车身的加速度，增加经过性。对二自由度1／4主动悬挂系统的分析与速度，提高了乘坐的舒适性。由于主动控制力的存在，悬挂系统的动行程变化平缓，且比被动悬挂系统行程小，许用的悬挂空间得到了充分利用。
C、经过对无级变速器控制系统研究，能够知道最优控制理论的可运用广空间的广泛性。
综上，最优控制理论在汽车控制系统中的运用能够大大提高汽车的经济性、舒适性和安全性。它对于未来汽车控制系统研究是一种科学、实用的工具理论，有很大的运用发展空间。
四、致谢
感谢廖福成老师一学期辛苦的付出，以及孜孜不倦的教导。由此，让我们学会了很多论文研究知识，同时也是廖老师的现代控制理论课程给本次最优化控制理论在汽车控制系统中的研究论文提供了理论基础。在此，特表感谢！
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