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专题限时集训(五) 概率
[专题通关练]
(建议用时:30分钟)
1.[一题多解](2023·全国卷Ⅲ)?西游记??三国演义??水浒传?和?红楼梦?是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过?西游记?或?红楼梦?的学生共有90位,阅读过?红楼梦?的学生共有80位,阅读过?西游记?且阅读过?红楼梦?的学生共有60位,那么该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
C [法一:设调查的100位学生中阅读过?西游记?的学生人数为x,那么x+80-60=90,解得x=70,
所以该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.
应选C.
法二:用Venn图表示阅读过?西游记?和?红楼梦?的人数之间的关系如图:
易知调查的100位学生中阅读过?西游记?的学生人数为70,所以该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.应选C.]
2.定义在区间[-3,3]上的函数f(x)=2x+m满足f(2)=6,在[-3,3]上任取一个实数x,那么使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A. B. C. D.
B [∵f(2)=6,∴22+m=6,解得m=2.由f(x)≥4,得2x+2≥4,即x≥1,而x∈[-3,3],
故根据几何概型的概率计算公式,得f(x)的值不小于4的概率P==.应选B.]
3.标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,那么抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( )
A. B. C. D.
A [5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,根本领件的总数n=5×4=20,抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10种.故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P==,应选A.]
4.(2023·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a,那么满足的点(x,y)构成区域的面积大于1的概率是( )
A. B. C. D.
C [作出约束条件表示的平面区域如图中阴影局部所示,那么阴影局部的面积S=×a×2a=a2>1,∴1<a<2,根据几何概型的概率计算公式得所求概率为=,应选C.]
5.?九章算术?中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.〞其大意:“直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步.〞现假设向此三角形内随机投一粒豆子,那么豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B.
C.1- D.1-
D [如图,直角三角形的斜边长为=17,设其内切圆的半径为r,那么8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-=1-.]
6.(2023·全国卷Ⅱ)我国高铁开展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.
0.98 [==0.98.
那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]
7.实数x,y满足|x|≤3,|y|≤2,那么任取其中的一对实数x,y,使得x2+y2≤4的概率为________.
[如图,在平面直角坐标系xOy中,满足|x|≤3,|y|≤2的点在矩形ABCD内(包括边界),使得x2+y2≤4的点在图中圆O内(包括边界).由题意知,S矩形ABCD=4×6=24,S圆O=4π,故任取其中的一对实数x,y,使得x2+y2≤4的概率P===.]
8.从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点,那么以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________.
[从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点,根本领件总数为10,即ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5,即△ABD,△ACD,△ACE,△BCE,△BDE,所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P==.]
[能力提升练]
(建议用时:15分钟)
9.某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位:小时),如果停靠时间缺乏半小时按半小时计时,超过半小时缺乏1小时按1小时计时,依此类推,统计结果如表:
停靠时间
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
(1)设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时,求a的值;
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.
[解] (1)a=×(2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3)=4.
(2)设甲船到达的时间为x,乙船到达的时间为y,
那么
假设这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待,那么|y-x|<4,
符合题意的区域如图中阴影局部(不包括x,y轴)所示.
记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待〞为事件A,
那么P(A)==.
所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.
10.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量(单位:辆)如表:
A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),设样本平均数为,求|xi-|≤0.5的概率.
[解] (1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2 000,那么z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意得=,得a=2,
所以抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2分别表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3分别表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车〞.从该样本中任取2辆包含的根本领件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,
其中事件E包含的根本领件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个.
故P(E)=,即所求的概率为.
(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),|xi-|≤0.5〞,那么从样本中任取一个数有8个根本领件,事件D包括的根本领件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个.
所以P(D)==,即所求的概率为.
题号
内容
押题依据
1
几何概型
此题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中,既为几何概型输送了新鲜的“血液〞,又为圆的知识找到了坚决的“着陆点〞,使呆板、平淡的几何概型充满活力,很好地考查了考生的直观想象和数学运算的核心素养
2
频率分布直方图、分层抽样、概率
此题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相交汇的试题,设问角度新颖、典型,有代表性,意在考查考生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养
【押题1】 如图,半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.假设在该半圆内随机取一点,那么该点取自阴影局部的概率是( )
A. B. C. D.
C [设小圆的半径为r,因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1,所以阴影局部的面积S1=π(2r)2-πr2=3πr2,半圆的面积S=π(4r)2=8πr2,根据几何概型的概率计算公式,得该点取自阴影局部的概率P===.应选C.]
【押题2】 临潼石榴集中国石榴之优,素以色泽艳丽,果大皮薄,汁多味甜,品质优良等特点而著称.临潼石榴名居中国五大名榴之冠,被列为果中珍品.白居易曾写诗赞美:“日照血球将滴地,风翻火焰欲烧人.〞现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重,其质量分布在区间[200,500]内(单位:克),根据统计的数据作出频率分布直方图如下图:
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)内的石榴中随机抽取5个,再从这5个石榴中随机抽取2个,求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据,以频率代表概率,该村大约还有100 000个石榴待出售,某电商提出如下两种收购方案:
方案A:所有石榴均以20元/千克的价格收购.
方案B:低于350克的石榴以5元/个的价格收购,高于或等于350克的以9元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
[解] (1)由题得石榴质量在[350,400)和[400,450)内的比例为3∶2,
所以应分别在质量在[350,400)和[400,450)内的石榴中各抽取3个和2个.
记所抽取的质量在[350,400)内的石榴为A1,A2,A3,质量在[400,450)内的石榴为B1,B2,
那么从这5个石榴中随机抽取2个的情况共有以下10种:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A2,B1},{A3,B1},{A1,B2},{A2,B2},{A3,B2},{B1,B2}.
其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况,故所求概率为.
(2)方案B好,理由如下:
由频率分布直方图可知,石榴质量在[200,250)内的频率为50×0.001=0.05,
同理,石榴质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]内的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.
假设按方案B收购:
因为石榴质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000,
石榴质量不低于350克的个数为55 000个,
所以总收益为45 000×5+55 000×9=720 000(元).
假设按方案A收购:
根据题意各区间段内石榴个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000,
于是总收益为(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000+475×5 000)×=709 000(元).
因为720 000>709 000,即方案B的收益比方案A的收益高,所以该村应选择方案B.
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