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弹簧质量阻尼实验指导书

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2020年4月19日
文档仅供参考

质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书

北京理工大学 机械与车辆学院
.3

实验一：单自由度系统数学建模及仿真
1 实验目的
（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模；
（2）了解MATLAB软件编程，学习编写系统的仿真代码；
（3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理
f(t)
x
k
c
m

单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由一个质量为m的滑块、一个刚度系数为k的弹簧和一个阻尼系数为c的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f(t)。系统输出：滑块的位移x(t)。
建立力学平衡方程：

变化为二阶系统标准形式：

其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。

2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)和非零初始状态的响应：

2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应：

输出振幅和输入振幅的比值：
3 动力学仿真
根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件
4 实验
4.1 固有频率和阻尼实验
（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。
（2）关闭电控箱开关。点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后OK。
（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。
（4）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1 ，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。
（5）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由震荡，在数据上传后点击OK。
（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的自由振动响应曲线。
（7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择n个连续的振幅明显的振动周期，计算出这段振动的时间t，由n/t即可得到系统的频率，将Hz转化为rad/sec即为系统的振动频率ω。
（8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤7选取时间段内初始振动周期的振幅X0以及末尾振动周期的振幅Xn。由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。
（9）实验数据记录
序号
第1次实验
第2次实验
第3次实验
实验测试频率

实验测试阻尼比

滑块质量m

弹簧刚度k

阻尼系数c

频率理论值

阻尼比理论值

频率估计误差

阻尼比估计误差

（10）在仿真代码基础上，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。
4.2 幅频特性实验
（1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal，进入set-up,选取Open LoopStep设置Amplitude(0.5V), Frequency(2Hz),Repetition(8)，然后OK。
（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。
（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示滑块的受迫振动响应曲线。在响应曲线图上，测量出振动振幅，计算出振动的频率并于输入的正弦曲线频率比较。
（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数据。
输入频率
滑块实验幅值
滑块仿真幅值
0.1Hz

0.2Hz

（5）在仿真代码基础上，实现正弦激励代码，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。

实验二：双自由度系统数学建模及仿真
1 实验目的
（1）熟悉双自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模；
（2）了解MATLAB软件编程，学习编写系统的仿真代码；
（3）进行双自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理
f(t)
x1
k1
c1
m1
x2
k2
c2
m2
2.1 数学建模

双自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由两个质量为m1和m2的滑块、两个刚度系数为k1和k2的弹簧和两个阻尼系数为c1和c2的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f(t)。系统输出：滑块的位移x1(t)和x2(t)。
建立力学平衡方程：

2.2 固有频率
将动力学方程写成矩阵形式：

得到系统的质量矩阵M和刚度矩阵K。
解行列式可得固有频率方程：
可计算出固有频率方程：

两个振动模态，两个固有频率：高模和低模。
2.3 解耦
经过数学变换将微分方程变化为以下形式：

注意：y1和y2不是滑块的位移。滑块的位移x1(t)和x2(t)是y1和y2的函数。
3 动力学仿真
根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件
4 实验
4.1 固有频率分析
（1）将实验台设置为双自由度质量-弹簧-阻尼系统，第一个滑块没有阻尼器能够不接，认为第一个阻尼为零。
（2）闭合控制器开关，点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042,然后OK。点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置(0)counts, dwell time=3000ms, (1)rep, 然后OK。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。
（2）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置分别选取Encoder#1，Encoder#2，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。
（4）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由振荡，在数据上传后点击OK。
（5）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，分别选取Encoder #1 Position，Encoder #2
Position；然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1，2的自由振动响应曲线。
（6）实验数据纪录：
实验条件：滑块质量m1和m2，弹簧刚度k1和k2，阻尼系数c1和c2。
实验数据：时间-滑块1位移数据；时间-滑块2位移数据。
问题1：两个滑块位移的频率测量值是高模和低模频率么？
问题2：实际的机械系统是多自由度的，如何经过实验法测试系统固有频率？
（7）实验报告。关键点是理论和实验结果对比分析。
4.2幅频特性实验
（1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal,进入set-up,选取Open Loop Step设置(200counts)Amplitude, Frequency(2Hz),Repetition（8），然后OK。
（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。
（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1，2的受迫振动响应曲线。在响应曲线图上，即可测量出振动振幅。
问题1：单自由度和双自由度系统的幅频特性有何差异？
问题2：高模贡献分析。

实验三：PID控制
1 实验目的
（1）学习PID闭环控制结构和系统闭环传递函数计算；
（2）PID控制器参数设计；
（3）控制性能分析。
2 实验原理

上图给出闭环控制系统原理框图。单自由度质量-弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量m。

电控箱能够看做比例增益khw。

其中：u是控制器输出。PID控制：

其中：e是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。

根据全部上式，可得闭环结构微分方程：

对应的传递函数：

3 PID设计
PID控制器中设置积分因子ki为零，则为PD控制。传递函数变为：

闭环特征方程是分母：

设计频率ω=4Hz，三种阻尼（欠阻尼ζ=0.2，临界ζ=1.0，过阻尼ζ=2.0）的控制器设计。
ω=4 Hz
khwkp
khwkd
ζ=0

ζ=0.2

ζ=1

ζ=2.0

4 实验
4.1 频率
（1）在控制器断开的情况下，拆除与质量块1连接的弹簧，使其余元件远离质量块1的运动范围，为其安装4个500g的铜块，加上小车本身的质量，标定总质量m=2.6kg。
（2）实验标定khw值：根据估计出的khw值，设置控制器ki=0和kd=0，调整kp来估计系统系统频率ω=4Hz。注意： kp不能大于0.08。
（3）闭合控制器开关；点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1和Commanded Position information；点击Command菜单，选择Trajectory，选取step，设置(0)counts,dwell time=3000ms,(1)rep。
（4）点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042,选取PID，进入Setup Algorithm，输入kp的值（ki=0和kd=0）（输入的值不能大于kp=0.08），然后OK。移动质量块1到-0.5cm的位置（规定，朝电机方向为负）选择Implement Algorithm，然后Ok。
注意：从此步开始的每一步，要进行下一步之前，都要与运动装置保持一定的安全距离；选择Implement Algorithm后，控制器将会立即加载，若出现不稳定的或者很大的控制信号时，运动装置可能反应很剧烈；若加载后，系统看上去稳定，要先用一轻质不尖锐的物体轻轻碰触质量块以验证其稳定性。
（5）点击Command菜单，进入Execute，用手将质量块移动到2cm左右的位置，点击Run,移动质量块大约到3cm位置，然后释放（不要拿着质量块多于一秒，以免电机过热而断开控制）。
（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1；然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的时间响应曲线。
试想一下，若将比例增益系数kp增加一倍，则系统的响应频率将有什么变化？
4.2 阻尼
（1）确定kd的值（不能大于0.04），使得khwkd=50N/(m/s)，重复步骤4，除了输入kd的值和ki=0和kp=0。
（2）先用尺子检查系统的稳定性，然后用手来回的移动质量块来感受系数kd带来的粘性阻尼的影响（注意不要极度的迫使质量块运动，以免电机过热而断开控制）。
（3）增大的kd值（kd<0.04），重复以上步骤，看能否感受到阻尼的增大？
4.3 位置控制
（1）控制电机驱动滑块1移动到某一个特定的位置，获取时间-位移数据后，计算闭环控制特性，包括：超调量、上升时间、调节时间、稳态误差。
（2）使用仿真方法计算得到同样条件下的动态响应结果，对比分析理论与实验结果的差异。
4.4 正弦激励
（1）使用正弦输入驱动滑块作正弦运动，获取时间-位移数据后，计算闭环控制系统幅频特性。
（2）使用仿真方法计算得到同样条件下的幅频响应结果，对比分析理论与实验结果的差异。
4.5 柔性结构控制
（1）实验台只有质量块，为刚性结构机械系统。如果安装上一根弹簧，则组成简单的柔性结构系统（具有柔性环节）。此时机械系统由于能量交互可能产生振动。如何设计控制器来动态控制机械振动。

实验四：扰动抑制
1 实验目的
（1）外扰动设置；
（2）PID控制器设计；
（3）控制性能分析。
2 实验原理
d
x
r

＋
＋

上图给出闭环控制系统原理框图。单自由度质量-弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量m。位移输出受到外扰动d干扰。

电控箱能够看做比例增益khw。

其中：u是控制器输出。PID控制：

其中：e是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。

根据全部上式，可得闭环结构微分方程：

对应的传递函数：

3 PID设计
PID控制器中设置积分因子ki为零，则为PD控制。传递函数变为：

闭环特征方程是分母：

附件1: 实验1仿真代码
% exp 1
clc
clear
global SK SC SM SF;
sampling=1/1000;
SK=200;
SC=0;
SM=2.6;
State=zeros(1,2);
State(1)=1;
State(2)=0.0;
sss=zeros(1,1);
for k=1:fix(5/sampling)
t=k*sampling;
sss(k,1)=t; %time

SF=0;
sss(k,2)=SF;

[TimeOdeArray,VarOdeArray] = ode45( @mdlDerivatives1, [t t+sampling],State);
[m,n]=size(TimeOdeArray);
TimeAtEndOfArray = TimeOdeArray(m,1);
if( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) >= abs(0.001*sampling) ) warning('numerical integration failed'); break; end
VAR = VarOdeArray(m, : );%Ò»¸ö²½³¤½áÊøµÄ״̬
State=VAR;%³õʼ״̬¸üУ¬½øÐÐÏÂÒ»´Îµü´ú
sss(k,3)=VAR(1); % response
sss(k,4)=VAR(2); % velocity
end

plot(sss(:,1),sss(:,2),'r',sss(:,1),sss(:,3),'k',sss(:,1),sss(:,4),'b');

% mdlDerivatives1
function dx=mdlDerivatives1(T,x)
global SK SC SM SF;
% y(1)=x;
% y(2)=xd;
dx=zeros(2,1);
%sloshing dynamics
dx(1)=x(2);
dx(2)=SF/SM-SK/SM*x(1)-SC/SM*x(2);
附件2: 实验2仿真代码
% exp 2
clc
clear
global SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF;
sampling=1/1000;
SK1=200;
SK2=200;
SC1=0;
SC2=0;
SM1=2.6;
SM2=2.6;
State=zeros(1,4);
State(1)=1.0;
State(3)=0.0;
sss=zeros(1,1);
for k=1:fix(5/sampling)
t=k*sampling;
sss(k,1)=t; %time

SF=0;
sss(k,2)=SF;

[TimeOdeArray,VarOdeArray] = ode45( @mdlDerivatives2, [t t+sampling],State);
[m,n]=size(TimeOdeArray);
TimeAtEndOfArray = TimeOdeArray(m,1);
if( abs(TimeAtEndOfArray - (t+sampling) ) >= abs(0.001*sampling) ) warning('numerical integration failed'); break; end
VAR = VarOdeArray(m, : );%Ò»¸ö²½³¤½áÊøµÄ״̬
State=VAR;%³õʼ״̬¸üУ¬½øÐÐÏÂÒ»´Îµü´ú
sss(k,3)=VAR(1); % response 1
sss(k,4)=VAR(2); % velocity 1
sss(k,5)=VAR(3); % response 2
sss(k,6)=VAR(4); % velocity 2
end
plot(sss(:,1),sss(:,2),'r',sss(:,1),sss(:,3),'k',sss(:,1),sss(:,5)-sss(:,3),'b');

% mdlDerivatives2
function dx=mdlDerivatives2(T,x)
global SK1 SK2 SC1 SC2 SM1 SM2 SF;
% x(1)=x1;
% x(2)=x1d;
% x(3)=x2;
% x(4)=x2d;
dx=zeros(4,1);
%sloshing dynamics
dx(1)=x(2);
dx(2)=(SF-SC1*x(2)+SC1*x(4)-SK1*x(1)+SK1*x(3))/SM1;
dx(3)=x(4);
dx(4)=(-1*SC2*x(4)-SC1*x(4)+SC1*x(2)-SK1*x(3)-SK2*x(3)+SK1*x(1))/SM2;

附件3 快速傅里叶变换FFT计算频率代码
%frequency response
sampling=1/1000;
Fs=fix(1/sampling);
data=sss(1:fix(5/sampling),3);
m=length(data);
nfft=2^nextpow2(m);
y=fft(data,nfft);%¸µÀïÒ¶±ä»»
Ayy=abs(y)*2/nfft;
f0=(0:nfft/2-1)*Fs/nfft; % Hz , 1/s
f1=f0*2*pi; % rad/s
zzz(:,1)=f0;
zzz(:,2)=f1;
zzz(:,3)=Ayy(1:nfft/2);
plot(zzz(:,1),zzz(:,3));
xlabel('frequency/Hz');
ylabel('magnitude');
title('freqency response');

1 Command/Trajectory
输入命令
2 Command/Execute
执行
3 plotting/Setupplot
绘图运动轨迹

4 Setup改变控制器