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一阶微分方程积分因子探讨

一阶微分方程积分因子的求法探讨
数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
指导教师：郑丽丽 职称：教授
摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法．
关键词：一阶微分方程；积分因子

The Solution of Integral Factor for the First Order Ordinary Differential Equation
Abstract：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently．When the differential equations meet some conditions， therefore， the common method we can get from it．
Key Words：the first order ordinary differential equation；integral factor
０前　言
一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法．
1　积分因子的定义
若对于一阶微分方程

其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数，使得
，
为一恰当方程，即存在函数，使
．
则称为方程的积分因子．
通过计算可得，函数为积分因子的充要条件为：
，
即

这是个以为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法．
2　积分因子存在的充要条件
定理1 方程具有形如的积分因子的充要条件为：
．
证明 因为有积分因子的充要条件为
．
令，则有
，
即
．
并由此得出其积分因子为
．
根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件．
2.1 具有形式的积分因子
方程具有特殊因子的充要条件为
，
这里仅为的函数．于是积分因子为．
例1　求的积分因子．
解 因为，，且，，则，
于是积分因子为．
2.2 具有形式的积分因子
方程具有特殊因子的充要条件为
，
这里仅为的函数．于是积分因子为．
例2　求的积分因子．
解 因为，，且，
于是积分因子为．
2.3 具有形式的积分因子
方程具有特殊因子的充要条件为
．
例3　求方程的积分因子．
解 因为
， ，
且，只与有关，于是有积分因子
．
2.4 具有形式的积分因子
方程具有特殊因子的充要条件为
．
例4 求方程的积分因子．
解 因为， ，且，
于是积分因子为．
推广 方程具有特殊因子的充要条件是：
．
2.5 具有形式的积分因子
方程具有特殊因子的充要条件为
．
由此又可分为二种类型：
方程具有特殊因子的充要条件为
;
方程具有特殊因子的充要条件为
．
例5 求方程的积分因子．
解　设积分因子为，于是有
，
或写成
．
上式对任意和都满足时，必须有，，解之得，．于是有积分因子．
注 此种类型中，的确定可用待定系数法．
以上所讨论的是微分方程具有特殊因子的求法．而有些方程具有特殊结构，我们可根据其特殊结构求出其积分因子．
3　特殊结构方程的积分因子
定理2 方程有积分因子：
．
定理3 如果，而和皆为次齐次函数，则方程有积分因子：
．
4 分组求积分因子法
对于一些复杂的方程，往往不容易直接求出它们的积分因子，这是可以把它的左边分组，分别求出各组的积分因子，然后再求总的式子的积分因子．
例如分成两组：

可分别求出各组的积分因子和，也就是如果有，使：
，．
于是借助，常可求得得积分因子．
定理4　如果是的一个积分因子，且，则也是的积分因子．此处是的任一连续函数．而，其中是的一个原函数．
据此知，对任意的函数，，及都分别是的第一组和第二组的积分因子．函数、有着广泛选择的可能性，若能选择、使：
，
则就既是的第一组也是第二组的积分因子．因而也就是的积分因子．
例6　求方程的积分因子．
解 原方程改写为，显然，，，．为使，只需取，．于是求的原方程的一个积分因子：
．
综上所述，该文介绍一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性．
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