2022届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(三十一).doc

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课时跟踪练(三十一)
A组　基础巩固
1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)
A. B．cos
C．cos π D．cos π
解析：令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，可得D正确．
答案：D
2．(2019·承德实验中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B.
C. D.
解析：Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn⇒3Sn＝2Sn＋1⇒＝，故数列{Sn}为等比数列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×＝，故选B.
答案：B
3．(2019·常德调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋n，则a10＝(　　)
A．－210 B．－29 C．1－29 D．1－210
解析：当n＝1时，a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.
当n≥2时，由Sn＝2an＋n，①
得Sn－1＝2an－1＋(n－1)，②
由①－②得，an＝2an－2an－1＋1，所以an＝2an－1－1.所以an－1＝2(an－1－1)．又易知an≠1，
所以＝2，所以an－1＝－2·2n－1＝－2n.所以an＝1－2n.所以a10＝1－210.故选D.
答案：D
4．(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 018的值为(　　)
A．－ B．5 C. D.
解析：在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，
所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，
所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 018＝a672×3＋2＝a2＝5，故选B.
答案：B
5．(2019·郑州毕业班质量预测)已知f(x)＝数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C．(1，3) D．(3，＋∞)
解析：因为{an}是递增数列，
所以解得a>3，
则a的取值范围是(3，＋∞)．
答案：D
6．在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．
所以a10＝0.08.
答案：10
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________．
解析：因为anan＋1＝Sn，
所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，
令n＝2得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.
答案：1
8．(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则S10＝________．
解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1⇒an＋1－an＝2n－1＋1
⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1⇒an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1
＝＋n－1＋2＝2n－1＋n.
S10＝1＋2＋22＋…＋29＋1＋2＋3＋…＋10＝＋＝1 078.
答案：1 078
9．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由题意得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得
a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝＋a，①
当n≥2时，Sn－1＝＋a，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，
故an＝n.
B组　素养提升
11．(2019·长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝(　　)
A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln n
C．2n＋nln n D．1＋n＋nln n
解析：由题意得－＝ln(n＋1)－ln n，－＝ln n－ln(n－1)，－＝ln(n－1)－ln(n－2)，－＝ln(n－2)－ln(n－3)，……，－＝ln 2－ln 1，累加得－＝ln n－ln 1＝ln n，所以＝2＋ln n，所以an＝2n＋nln n，故选C.
答案：C
12．(2019·衡水中学检测)若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：因为a1＝19，an＋1－an＝－3，
所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
设{an}的前k项和数值最大，则有
即解得≤k≤，因为k∈N*，所以k＝7.
所以满足条件的n的值为7.
答案：B
13．(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(－1)n·an－，记bn＝8a2·2n－1，若对任意的n∈N*，总有λbn－1>0成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：令n＝1，得a1＝－；
令n＝3，可得a2＋2a3＝；
令n＝4，可得a2＋a3＝；
故a2＝， 即bn＝8a2·2n－1＝2n.
由λbn－1>0对任意的n∈N*恒成立，
得λ>对任意的n∈N*恒成立，
又≤，
所以实数λ的取值范围为.
答案：
14．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围．
解：(1)由n2－5n＋4＜0，
解得1＜n＜4.
因为n∈N*，所以n＝2，3.
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，
又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，
考虑到n∈N*，所以－＜，即k＞－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．