东南大学-高数(上)-03至10年-期末试卷(附答案).doc

东南大学-高数(上)-03至10年-期末试卷(附答案) 0310级高等数学（A）（上册）期末试卷2003级高等数学（A）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分）1设函数由方程确定，则（ ）2曲线的渐近线的条数为（ ）3设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数的图形为（ ）4微分方程的特解形式为（ ）二、填空题（每小题3分，共18分）12若，其中可导，则3设若导函数在处连续，则的取值范围是。4若，则的单增区间为,单减区间为.5曲线的拐点是6微分方程的通解为三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1 计算积分 2计算积分3. 计算积分 4. 计算积分5. 设连续，在处可导，且，求6. 求微分方程的通解四. （8分）求微分方程满足条件的特解五. （8分）设平面图形D由与所确定，试求D绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。六. （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:与轴所围成，试求其质量七. （7分）设函数在上有连续的二阶导数，且，证明：至少存在一点，使得2004级高等数学（A）（上）期末试卷一. 填空题（每小题4分，共20分）1函数的间断点 是第 类间断点.2. 已知是的一个原函数,且,则 .3. .4. 设,则 .5. 设函数,则当 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲线的渐近线共有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程的一个特解形式为 (A) (B) (C) (D) 4. 下列结论正确的是 (A) 若,则必有.(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.三. (每小题7分,共35分)1. 2. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程.3. 4. 5. 求初值问题 的解.四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小. 五. (7分) 设 ,求证 .六.(7分) 设当时,可微函数满足条件且,试证: 当时,有 成立.七.(7分) 设在区间上连续,且,证明在区间内至少存在互异的两点,使.2005级高等数学（A）（上）期末试卷一填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ；2曲线的斜渐近线方程是 ；3设是由方程所确定的隐函数，则 ；4设在区间上连续，且，则 ；5设，则 ；6 ； 7曲线相应于的一段弧长可用积分 表示； 8已知与分别是微分方程的两个特解，则常数 ，常数 ；9是曲线以点为拐点的 条件。二计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1设，求2 3 4三 （本题满分9分）设有抛物线，试确定常数、的值，使得（1）与直线相切；（2）与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大。四（本题共2小题，满分14分） 1（本题满分6分）求微分方程的通解。2 （本题满分8分）求微分方程满足初始条件的特解。五（本题满分7分） 试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；（2） 当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。六（本题满分6分）证明不等式：，其中是大于的正整数。2006级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ； 2曲线在对应的点处的切线方程为 ；3函数在区间 内严格单调递减；4设是由方程所确定的隐函数，则 ； 5 ；6设连续，且，已知,则 ；7已知在任意点处的增量，当时，是的高阶无穷小，已知，则；8曲线的斜渐近线方程是 ；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为 .二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1计算不定积分 2计算定积分 3计算反常积分 4设 ，求 三 （本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 （第3页）四（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）1求微分方程的通解。2 求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。五 （本题满分7分）设，求积分的最大值。 六 （本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。2007级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1 ；2设，则 ；3已知，则 ；4对数螺线在对应的点处的切线方程是 ；5设是由方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是 ；6曲线的拐点坐标是，渐进线方程是 ；7；8 ； 9二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为.二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）10. 11 12。三（13）（本题满分8分）设，.（1） 问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.四（14）（本题满分7分）设，求.五（15）（本题满分6分）求微分方程的通解.六（16）（本题满分8分）设、满足，且，求.七（17）（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.八（18）（本题满分6分）设，求证：当时，.2008级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1函数的单调增加区间为 ；2已知，则 ；3曲线的拐点是 ；4曲线的斜渐近线的方程是 ；5二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是 ；6设是常数，若对，有，则 ；7 ；8设是连续函数，且，则 ； 9设，则 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 11. 12 已知的一个原函数为，求 13设，求常数、，使得。14。三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.四（16）（本题满分7分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对，在上的积分（平）均值等于与的几何平均值，试求的表达式.五（17）（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为，求；（2）求极限.六（18）（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）七（19）（本题满分6分）设在区间上连续可导，求证： .2009级高等数学（A）（上）期末试卷1函数的定义域是 ，值域是 ；2设，当 时，在处连续；3曲线的斜渐进线的方程是 ；4 ；5函数的极大值点是 ；6 ； 7设是由所确定的函数，则 ；8曲线族（,为任意常数）所满足的微分方程是 ； 9 .二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 11. 12 1314。设，计算.三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.四（16）（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面积为，求函数的表达式，并计算图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.五（17）（本题满分6分） 已知方程在区间内存在两个互异的实根，试确定常数的取值范围.六（18）（本题满分6分）设在区间上非负、连续，且满足,证明：对，有.七（19）（本题满分6分）设，在处可导，且，（1）求证：，使得（2）求极限.2010级高等数学（A）（上）期末试卷一填空题（本题共9小题，每小题4分，满分3 6分）1 ；2曲线在点处的切线方程是 ；3曲线的渐近线方程是 ；4若曲线有拐点，则 ；5函数在处的阶导数 ；6设可导函数由方程确定，则 ； 7 ；8 ；9微分方程满足条件的特解是 .二.(本题共4小题，每小题7分,满分28分)10求极限 . 11求反常积分. 12 求定积分. 13求不定积分 .三(14)（本题满分7分）设，分别求与时积分的表达式.四（15）（本题满分8分）求由所围图形的面积及此图形绕轴旋转的旋转体的体积.五（16）（本题满分7分）求微分方程满足初值条件，的特解.六（17）（本题满分8分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，且，已知，求函数.七（18）（本题满分6分）设，分别是在上的最大值和最小值，证明：至少存在一点，使得：.答案：特别说明：以下内容仅供参考，其实解答题和证明题中，解法很多，并且有些解法比下面提供的参考答案更简洁。在一些参考答案后，我写了些说明，有些没写。还是希望同学们自己多动脑筋，多思考，多多地动手、动笔去推导去计算。在复习阶段，相互间多讨论，多交流交流。别的同学有疑问向你求解释时，请耐心的解答（大学时光很宝贵，大学同学间的友情也弥足珍贵。每一个人都有困难的时候，说不定什么时候，就换作你自己要寻求别人的帮助。这是我作为过来人的体会）。当然，问题确实很繁琐时，可以建议他直接找我讨论。谢谢大家。祝大家复习愉快，考试取得各自理想的成绩，回家开开心心过大年。2003级高等数学（A）（上）期末试卷答案一、单项选择题（每小题4分，共16分）1 C 3 D 4C二、（每小题3分，共18分） 1； 2 ； 3 ； 4 ，； 5 ； 6三、（每小题6分，共36分）1 ； 2. ； 3. ； 4 ； 5； 6解为。四、所求特解. 五、. 六、.七、 由(在0与之间)知；又因，所以在上存在最大值和最小值，于是,所以，由推广的积分中值定理知，使得，即Note：还有别的解法。如“变动的观点”，构造函数，原问题等价于证：，使.2004级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. （每小题4分，共20分） 10,一；2 ； 3 ； 4 1； 5 。二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1 A; 3 D; 4C.三. (每小题7分,共35分) 1. 2.(略) 3. 4. 5.四.(8分) 是旋转体的体积最小的点.五.(7分) 提示：设,原不等式等价于, 即等价于。（用函数单调性证明）Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法六.(7分) 提示：把所给方程转化为微分方程，求解得；再用函数的单调性和定积分的性质即可。七.(7分) 提示：记，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法2005级高等数学（A）（上）期末试卷答案一1；2；3；4；5；6；7；8；9非充分非必要。二 1 2 3 4三 ，。 四1； 2五（1）提示：设，用零点定理及函数的单调性；（2）提示：用夹逼定理。六设为正整数，三边积分得，左边关于相加得：，右边关于相加得：，所以Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证2006级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1；2；3；4；5；6；7；8；9。二. 1. 2. 3. 4. 三 四1. 2. 五六证：，由于在上连续，在上存在最大值和最小值，故，从而,即，由介值定理知至少存在一点，使得Note：还有别的解法。参见03年的第七题。2007级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1； 2； 3 ； 4 ；5 ， ； 6 ， ； 7； 8 ； 9. 二. 10. ； 11； 12。三 (1) 不是在内的一个原函数，因为，在内不连续. (2) 四 五六由已知条件知，解出，从而可求出.Note：求积分时，可采取保持一个不动（比如不动），然后让另一个等价变形（朝着保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。七(1) 是最小值. (2) 八提示：令，则2008级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1 ； 2； 3； 4； 5；6； 7. ； 8 ； 9. 二. 10.； 11. 12. 13. , , 14. 三 四由题意得，记，则两端对求导知，解得。五.(1) 设，则由题意得(2) 六. 设 （或）， 由函数单调性可得 Note：也有别的解法，而且解法很多七法1：法2: 对，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。对，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。法3:（函数的观点，将是某个函数在一些定点处的取值,比如令，将分别在和处一阶Taylor展开（带Lagrange余项，即,介于和间），然后在所得两式中都取，再做相应的运算。Note：构造函数的方法也不是唯一的。2009级高等数学（A）（上）期末试卷答案一. 1，； 2 3 4 ； 5 ；6 ； 7 ； 8 ； 9 .二. 10； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 三四，五设, 则，故常数的取值范围是：。六令,则,不等式两边对积分,得,即七(1) 记，用中值定理(2) 由(1)得，因此. 由于，所以。2010级高等数学（A）（上）期末试卷答案一。填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1；2；3；4；5 ；6；7；8；9.二(本题共4小题，每小题7分,满分28分)10解 .11解.12解 .13解（或）.三(14)（本题满分7分） 解， 当时，因，故，于是原式. 当时，原式所以， 四（15）（本题满分8分） 解 ，五（16）（本题满分7分）解，由，得，.六（17）（本题满分8分）解 ， ，解得，由，得，于是，由，得，于是.七（18）（本题满分6分）证 设，则，于是，因此至少存在一点，使得，此即. 56