2022高考数学狠抓基础题专题05不等式理.doc

专题05 不等式
1．不等关系
(1)用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．
(2)不等式的性质
①实数的大小顺序与运算性质的关系
a>b⇔；
；
a<b⇔.
②不等式的性质
对称性：；(双向性)
传递性：a>b，b>c⇒；(单向性)
可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒；(单向性)
可乘性：；(单向性)
a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)
a>b>0，c>d>0⇒；(单向性)
乘方法则：；(单向性)
开方法则：a>b>0⇒(nN，n≥2)．(单向性)
注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.
（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.
2．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有三种形式：
一般式：；
顶点式：；
两根式：.
(2)三个“二次”之间的关系
判别式

的图象

一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式的解集

一元二次不等式的解集

(3)一元二次不等式的解法：
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
(4) 一元二次不等式恒成立问题
①恒成立的充要条件是：且．
②恒成立的充要条件是：且．
③恒成立的充要条件是：且．
④恒成立的充要条件是：且．
⑤恒成立的充要条件是：且或且．
⑥恒成立的充要条件是：且或且．
3．二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取，若不等式相应的直线过，则可在坐标轴上取或.
(2)简单的线性规划
①解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：型的线性目标函数；型的斜率型目标函数；型的两点间距离型目标函数等.
②使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线.
③解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：
i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.
ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题.
4．利用基本不等式求最值问题
(1)基本不等式：，
成立的条件：
①.
②当且仅当时取等号．
(2)利用基本不等式求最值问题
①如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)
②如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
(3)常用的不等式模型：
①基本不等式链：若，则，当且仅当时等号成立.
②若，则，当且仅当时等号成立.
一、不等式的性质与一元二次不等式
【例1】设，若1≤≤2,2≤≤4，则的取值范围是________．
【答案】
【名师点睛】（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．
【例2】已知全集=，集合，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，，∴=，
∴，故选D．
【名师点睛】一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．求解时注意对二次项系数进行讨论.
【例3】不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.
二、线性规划
【例4】已知点x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值与最小值之差为
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
作直线并平移知，当直线经过点A时,z取得最大值；当直线经过点B时,z取得最小值.
由,得,即A(2,3),故zmax=9.
由,得,即B(0,2),故zmin=2,
故z的最大值与最小值之差为7,选C.
【名师点睛】求解时需要注意以下几点：
（1）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.
（2）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.
（3）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.
（4）形如z=Ax＋By(B≠0)，即，为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．
【例5】已知不等式组表示的平面区域为,若直线：与区域D有公共点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
因为，所以直线过定点（1，），且斜率为，
如图所示，当直线过点时，取得最小值；
当直线过点时，取得最大值，
所以的取值范围是，故选A.
【名师点睛】求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.
【例6】已知实数满足约束条件则的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意，.
作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.
表示平面区域内的点与定点连线的斜率，
观察可知，，则，所以，所以，
故的取值范围为.
【名师点睛】斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式.
三、基本不等式
【例7】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则的最小值为_______________．
【答案】
【名师点睛】利用基本不等式求最值的注意点：
（1）要能够通过恒等变形及配凑，使其“和”或“积”为定值；
（2）要注意在正数范围内应用基本不等式，同时等号成立的条件要验证.
【例8】若实数，且，则的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式得
，
当且仅当时，等号成立，故选择D．
【名师点睛】基本不等式的常用变形
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
1．若a>b>0，c<d<0，则一定有
A． B．
C． D．
【答案】C
2．已知函数的定义域为集合，集合，则为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可知
所以故选B．
3．不等式≤0的解集为
A．(-∞,-3] B．(1,2]
C．(-∞,-3]∪[1,2] D．(-∞,-3]∪(1,2]
【答案】D
【解析】由≤0得,解得或,故选D.
4．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是
A．[2，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
【答案】D
5．已知数列是各项均为正数的等差数列，其前9项和，则的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故选B．
6．已知动点满足，则的最大值是
A．50 B．60
C．70 D．100
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图中阴影部分所示，
由得，平移直线，
易知当直线经过点C时，直线的纵截距最大，此时最大．
易得，所以．
故目标函数的最大值为．故选D．
7．已知函数，，则的最小值是______________．
【答案】
8．已知实数满足记点围成的封闭区域为，若的最大值为8，则的面积为___________．
【答案】12
【解析】依题意，区域是以点，，为顶点的三角形区域（包含边界），
由图易得，当目标函数过点时，z有最大值8，即，解得，
故点到直线的距离为，
而，故的面积为．
9．已知实数满足约束条件，记该不等式组所表示的平面区域为，且，，，现有如下说法：
①；②；③.
则上述说法正确的有__________.（横线上填写所有正确命题的序号）
【答案】①②
1．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】令，则，，，
∴，则，
，则，故选D.
2．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
3．（2017新课标全国Ⅱ理科）设，满足约束条件，则的最小值是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，，故选A．
4．（2018新课标全国Ⅰ理科）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由可得，画出直线，
将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点A时，z取得最大值，
由，解得，
此时，故答案为6.
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，
则目标函数可化为，
由图可知，当直线过点A时，取得最大值，
由得A（5,4），
则.