2022届高三上学期五调(12月)数学(理科)试卷.docx

河北省衡水中学2017届高三上学期五调（12月）数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）

A． B． C． D．
3．如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖．假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．与的取值有关
4．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

30
40

50
70

2
4
5
6
8
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
5．已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于．以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．35 C． D．
7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术．利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）
（参考数据:，，）

A．12 B．24 C．36 D．4
8．如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
9．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角，，的对边分别为，，，且．若的面积，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
11．已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线分别与函数和交于，两点，则，之间的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________．
14．已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为__________．
15．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________．
16．若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是___________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，，且为等差数列的前三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果:
指数

空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中重度污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位:元）与空气质量指数（记为）的关系为:，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率;
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100
下面临界值表供参考:

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:，其中．
19．（本小题满分12分）
已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，．

（1）若分别为，的中点，求证:平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为．

（1）求椭圆的方程;
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点．
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求的值．
请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4-1:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-4：不等式选讲
已知实数，函数的最大值为3．
（1）求的值;
（2）设函数，若对于均有，求的取值范围．

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