2022-2022版数学新学案北师大版选修2-2练习：第二章-变化率与导数-2.5-Word版含解析.docx

§5　简单复合函数的求导法则
课后训练案巩固提升
A组
1.函数f(x)=(1-2x)10在点x=0处的导数是(　　)

A.0 B.1 C.20 D.-20
解析:∵f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)9,
∴f'(0)=-20.
答案:D
2.设y=1+a+1-x,则y'等于(　　)
A.121+a+121-x B.121-x
C.121+a-121-x D.-121-x
解析:y'=(1+a)'+(1-x)'
=12(1-x)-12×(-1)=-121-x .
答案:D
3.若函数f(x)=3cos2x+π3,则f'π2等于(　　)
A.-33 B.33 C.-63 D.63
解析:∵f'(x)=-6sin2x+π3,
∴f'π2=-6sinπ+π3=6sinπ3=33.
答案:B
4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为(　　)
A.13 B.12 C.23 D.1
解析:∵y'=-2e-2x,∴k=-2e0=-2.
因此切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2.
如图所示,∵y=-2x+2与y=x的交点为23,23,y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0),

∴S=12×1×23=13.
答案:A
5.函数y=cos 2x+sinx的导数为(　　)
A.-2sin 2x+cosx2x B.2sin 2x+cosx2x
C.-2sin 2x+sinx2x D.2sin 2x-cosx2x
解析:y'=(cos 2x+sinx)'=(cos 2x)'+(sinx)'=-sin 2x·(2x)'+cosx·(x)'=-2sin 2x+cosx2x.
答案:A
6.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=　　　　. 
解析:∵f'(x)=[(2x+a)2]'=2(2x+a)·(2x+a)'=4(2x+a),∴f'(2)=4(4+a)=20.∴a=1.
答案:1
7.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　. 
解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),
即x0+1=ln(x0+a),
∵y'=1x+a,∴1x0+a=1,即x0+1=ln 1=0.
∴x0=-1.∴a=2.
答案:2
8.求下列函数的导数.
(1)f(x)=e6x-4;　　　　(2)g(x)=sin2xx+1;
(3)y=e2x+e-2xex+e-x;　　　　(4)y=log2(2x2+3x+1).
解(1)f'(x)=(e6x-4)'=e6x-4·(6x-4)'=6e6x-4.
(2)g'(x)=sin2xx+1'
=(sin2x)'(x+1)-(x+1)'sin2x(x+1)2
=2cos2x·(x+1)-sin2x(x+1)2
=2(x+1)cos2x-sin2x(x+1)2.
(3)∵y=e2x+e-2xex+e-x=(ex+e-x)2-2ex+e-x
=ex+e-x-2ex+e-x=ex+e-x-2exe2x+1,
∴y'=(ex)'+(e-x)'-2exe2x+1'
=ex-e-x-2ex·(e2x+1)-2ex·2e2x(e2x+1)2
=ex-e-x-2ex(1-e2x)(e2x+1)2.
(4)y'=[log2(2x2+3x+1)]'=log2e2x2+3x+1(2x2+3x+1)'=(4x+3)log2e2x2+3x+1.
9.导学号88184027曲线f(x)=e2x·cos 3x上点(0,1)处的切线与直线l的距离为5,求l的方程.
解由题意知,f'(x)=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'
=2e2xcos 3x-3e2xsin 3x.
则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k=f'(0)=2,
该切线方程为y-1=2x,即y=2x+1.
设直线l的方程为y=2x+m,则d=|m-1|5=5,解得m=-4或m=6.
当m=-4时,l的方程为y=2x-4,即2x-y-4=0.
当m=6时,l的方程为y=2x+6,即2x-y+6=0.
综上可知,l的方程为2x-y-4=0或2x-y+6=0.
B组
1.曲线y=ex2在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为(　　)
A.92e2 B.4e2 C.2e2 D.e2
解析:∵y'=ex2'=ex2·x2'=12ex2,
∴k=12e42=12e2.
∴切线方程为y-e2=12e2(x-4),
即y=12e2x-e2.
∴S=12×|-e2|×2=e2.
答案:D
2.导学号88184028若点P是函数y=ex-e-x-3x　　-12≤x≤12　　图像上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是(　　)
A.5π6 B.3π4 C.π4 D.π6
解析:由导数的几何意义,得k=y'=ex+e-x-3≥2ex·e-x-3=-1,当且仅当x=0时等号成立,
即tan α≥-1,α∈[0,π),所以α的最小值是3π4.故选B.
答案:B
3.求下列函数的导数.
(1)y=11-2x2;(2)y=esin x;
(3)y=sin2x; (4)y=5log2(2x+1).
解(1)设y=u-12,u=1-2x2,
则y'x=y'u·u'x=(u-12)'(1-2x2)'
=-12u-32·(-4x)
=-12(1-2x2)-32·(-4x)=2x(1-2x2)-32.
(2)设y=eu,u=sin x,则y'x=y'u·u'x=eu·cos x=esin x·cos x.
(3)设y=u2,u=sin x,y'x=y'u·u'x=2u·cos x=2sin x·cos x=sin 2x.
(4)设y=5log2u,u=2x+1,则y'=5(log2u)'(2x+1)'=10uln2=10(2x+1)ln2.
4.设f(x)=ln(x+1)+x+1+ax+b(a,b∈R),曲线y=f(x)与直线y=32x在点(0,0)相切,试求a,b的值.
解由y=f(x)过点(0,0),得b=-1.
∵y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率为32,
f'(x)=1x+1+12x+1+a,
∴f'(0)=32+a=32,得a=0.
∴a=0,b=-1.
5.导学号88184029已知函数f(x)=ln(x+1),x>0,x2,x≤0,
g(x)=3x+1,求f(g(x))和g(f(x))的导数.
解(1)∵当g(x)>0,即x>-13时,f(g(x))=ln(g(x)+1)=ln(3x+2);
当g(x)≤0,即x≤-13时,f(g(x))=(g(x))2=(3x+1)2=9x2+6x+1;
∴f(g(x))=ln(3x+2),x>-13,9x2+6x+1,x≤-13.
当x>-13时,设u=3x+2,
则f'x=f'u·u'x=1u·3=33x+2.
当x≤-13时,f'(g(x))=(9x2+6x+1)'=18x+6.
∴f'(g(x))=33x+2,x>-13,18x+6,x≤-13.
(2)g(f(x))=3f(x)+1=3ln(x+1)+1,x>0,3x2+1,x≤0.
当x>0时,设v=x+1,则gx'=gv'·vx'=3x+1.
当x≤0时,g'(f(x))=(3x2+1)'=6x.
∴g'(f(x))=3x+1,x>0,6x,x≤0.