2022届高考数学一轮复习核心素养测评第九章9.7.1利用空间向量求线线角与线面角理含解析北师大版.doc

核心素养测评五十　利用空间向量求线线角与线面角
1.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,已知点H在正方形A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.求DH与CC′所成的角的大小.
【解析】如图所示,
以D为原点,DA为单位长度,建立空间直角坐标系D-xyz,则=(1,0,0),=(0,0,1).
设=(m,m,1)(m>0),由已知,<,>=60°,
由·=||·||·cos<,>,
可得2m=,解得m=,
所以=,,1,
因为cos<,>==,又因为0°<<,><180°,所以<,>=45°,
即DH与CC′所成的角为45°.
2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.
(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1,并且交BC于点M,并写出作图步骤,但不要求证明.
(2)若侧面ACC1A1⊥ABB1A1,求直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值.
【解析】(1)
如图,在平面ABB1A1内,过点A作AN∥B1P交BB1于点N,连接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM为所求直线.
(2)连接PC1,AC1,
因为AA1=AC=A1C1=4,∠C1A1A=60°,
所以△AC1A1为正三角形.
因为P为AA1的中点,所以PC1⊥AA1,
又因为侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,且面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1,
PC1平面ACC1A1,所以PC1⊥平面ABB1A1,
在平面ABB1A1内过点P作PR⊥AA1交BB1于点R,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C(0,-4,2),C1(0,0,2).
因为Q为AC的中点,所以点Q的坐标为,
所以=(0,-2,2),=(0,-3,).
因为A1B1=AB=2,∠B1A1A=60°,
所以B1(,1,0),所以=(,1,0),
设平面PQB1的法向量为m=(x,y,z),
由得,
令x=1,得y=-,z=-3,所以平面PQB1的一个法向量为m=(1,-,-3).
设直线A1C1与平面PQB1的夹角为α,
则sin α===,
即直线A1C1与平面PQB1夹角的正弦值为.
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