刚体的转动一.pptx

第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式刚体：刚体：受力时不改变形状和体积的物体。受力时不改变形状和体积的物体。特点：特点：特点：特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度都相同，故可用其中都相同，故可用其中都相同，故可用其中都相同，故可用其中一点的运动代表整体的运动，即可视一点的运动代表整体的运动，即可视一点的运动代表整体的运动，即可视一点的运动代表整体的运动，即可视为一质点运动。为一质点运动。为一质点运动。为一质点运动。用质心代表用质心代表刚体的平动刚体的平动 刚体平动刚体平动刚体平动刚体平动 质点运动质点运动质点运动质点运动平动平动 当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作转动，转动，转动，转动，该直线该直线该直线该直线称称称称转轴转轴转轴转轴。定轴转动的特点定轴转动的特点定轴转动的特点定轴转动的特点：所有点都具有：所有点都具有：所有点都具有：所有点都具有相同的角位移、角速度、相同的角位移、角速度、相同的角位移、角速度、相同的角位移、角速度、角加速度角加速度角加速度角加速度.这些角量也这些角量也这些角量也这些角量也称刚体的角量。称刚体的角量。称刚体的角量。称刚体的角量。转轴转轴转轴转轴 转轴转轴转轴转轴瞬时转轴瞬时转轴瞬时转轴瞬时转轴固定转轴固定转轴固定转轴固定转轴非定轴转动非定轴转动非定轴转动非定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动转动（转动（定轴、非定轴）定轴、非定轴）刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动 uu 角坐标和角位移角坐标和角位移角坐标和角位移角坐标和角位移是矢量，是矢量，方向用右手螺旋法则确定。方向用右手螺旋法则确定。uu 角速度角速度角速度角速度方向：右手螺旋法则确定。方向：右手螺旋法则确定。方向：右手螺旋法则确定。方向：右手螺旋法则确定。二二二二.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 转动平面转动平面转动平面转动平面xOP rv角位置：角位置：角位移：角位移：定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动-角速度角速度角速度角速度仅有仅有仅有仅有沿转轴的沿转轴的沿转轴的沿转轴的两个方向两个方向两个方向两个方向。用正负号表示方向用正负号表示方向用正负号表示方向用正负号表示方向加速转动加速转动加速转动加速转动方向一致方向一致方向一致方向一致;减速转动减速转动减速转动减速转动方向相反方向相反方向相反方向相反角加速度方向与角加速度方向与角加速度方向与角加速度方向与 相同。相同。相同。相同。uu 角加速度角加速度角加速度角加速度 uu角量与线量的关系角量与线量的关系角量与线量的关系角量与线量的关系o o 刚体刚体刚体刚体绕绕绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比方向如图方向如图方向如图方向如图1 1、力在转动平面内、力在转动平面内、力在转动平面内、力在转动平面内2 2、力不在转动平面内、力不在转动平面内、力不在转动平面内、力不在转动平面内4-24-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量一、力对转轴的一、力对转轴的一、力对转轴的一、力对转轴的力矩力矩力矩力矩P*O转动平面转动平面质点动力学问题质点动力学问题质点动力学问题质点动力学问题刚体动力学问题刚体动力学问题刚体动力学问题刚体动力学问题?(2)(2)若有若有若有若有n n个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则合力合力合力合力矩为各力矩的代数和矩为各力矩的代数和矩为各力矩的代数和矩为各力矩的代数和;例如例如例如例如 (1)(1)对轴的力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用对轴的力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用对轴的力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用对轴的力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负正负正负正负号表示力矩的方向号表示力矩的方向号表示力矩的方向号表示力矩的方向;讨论：讨论：讨论：讨论：(3)(3)刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，即即即即合内力矩为零合内力矩为零合内力矩为零合内力矩为零。TTTT(3)(3)刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，即即即即合内力矩为零合内力矩为零合内力矩为零合内力矩为零。O与与与与 共线，共线，共线，共线，内力总是成对出现，内力矩也成对出现，内力总是成对出现，内力矩也成对出现，内力总是成对出现，内力矩也成对出现，内力总是成对出现，内力矩也成对出现，对对对对i,ji,j 两个质点两个质点两个质点两个质点，内力矩之和为，内力矩之和为，内力矩之和为，内力矩之和为故内力矩之和为零故内力矩之和为零故内力矩之和为零故内力矩之和为零对对对对 mmi i 用牛用牛用牛用牛：二、定轴转动定律二、定轴转动定律二、定轴转动定律二、定轴转动定律zOrifiFi mi i i切向分量式为：切向分量式为：切向分量式为：切向分量式为：外力矩外力矩内力矩内力矩合内力矩：合内力矩：合内力矩：合内力矩：合外力矩：合外力矩：合外力矩：合外力矩：对所有质点求和：对所有质点求和：对所有质点求和：对所有质点求和：转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量所有的外力对定轴所有的外力对定轴所有的外力对定轴所有的外力对定轴 z z 轴轴轴轴的力矩的代数和的力矩的代数和的力矩的代数和的力矩的代数和刚体对刚体对刚体对刚体对 z z 轴的转动轴的转动轴的转动轴的转动惯量和角加速度惯量和角加速度惯量和角加速度惯量和角加速度讨论讨论讨论讨论刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律:刚体绕定轴转动时，刚体绕定轴转动时，其角加速度与刚其角加速度与刚体所受的对轴的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。体所受的对轴的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。2.合外力矩、转动惯量和角加速度都是合外力矩、转动惯量和角加速度都是相对于同一转轴相对于同一转轴相对于同一转轴相对于同一转轴而言的。而言的。1.与与 地位相当，地位相当，m反映质点的平动反映质点的平动惯性，惯性，J反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。3.力矩和角加速度都是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两力矩和角加速度都是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所个方向，所 以都可用以都可用正负号表示方向正负号表示方向正负号表示方向正负号表示方向。uu 定义定义定义定义三三 、转动惯量的计算、转动惯量的计算质量离散分布质量离散分布质量离散分布质量离散分布质量连续分布质量连续分布质量连续分布质量连续分布质量为线分布质量为线分布质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布质量为体分布质量为体分布线分布线分布线分布线分布面分布面分布面分布面分布 为质量的线密度为质量的线密度为质量的线密度为质量的线密度 为质量的体密度为质量的体密度为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度为质量的面密度为质量的面密度体分布体分布体分布体分布Zuu 决定刚体转动惯量的因素决定刚体转动惯量的因素决定刚体转动惯量的因素决定刚体转动惯量的因素刚体的质量刚体的质量刚体的质量刚体的质量;转轴的位置。转轴的位置。转轴的位置。转轴的位置。质量的分布；质量的分布；质量的分布；质量的分布；(1)(1)J J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如例如例如例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdx,dmm(2)(2)J J 与质量分布有关与质量分布有关与质量分布有关与质量分布有关例如例如例如例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量ROdm 取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，d dm=m=d dx xROdm盘由许多环组成盘由许多环组成盘由许多环组成盘由许多环组成 本例转动惯量本例转动惯量与与h 无关无关。所以，。所以，实心圆柱实心圆柱对中心轴对中心轴的转动惯量也是的转动惯量也是 。xyzrdr例如例如例如例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如例如例如例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量圆盘绕中心轴旋转的转动惯量（3 3）J J与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？mLxL/2L/2对对z轴：轴：对对z轴：轴：前例中前例中 Jz-相对质心轴的转动惯量，相对质心轴的转动惯量，Jz -相对通过棒端的轴的转动惯量。相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距两轴平行，相距L/2，有：，有：推广推广:若有任一轴与过质心的轴若有任一轴与过质心的轴平行且相距平行且相距d，刚体对其转动惯，刚体对其转动惯量为量为:,称为称为平行平行轴定理轴定理。故通过质心轴的转动惯量最小故通过质心轴的转动惯量最小四四四四.关于转动惯量几个定理关于转动惯量几个定理关于转动惯量几个定理关于转动惯量几个定理平行轴定理平行轴定理COmLxL/2L/2对于薄板刚体对于薄板刚体,薄板刚体对薄板刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量等于对等于对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量与对与对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量之和之和ACB垂直轴定理垂直轴定理转动惯量的叠加转动惯量的叠加mi rixyz yixiO 任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即：即：即：即：回转半径回转半径回转半径回转半径任意刚体的回转半径任意刚体的回转半径任意刚体的回转半径任意刚体的回转半径式中式中式中式中:J J 是刚体关于某一轴的转动惯量。是刚体关于某一轴的转动惯量。是刚体关于某一轴的转动惯量。是刚体关于某一轴的转动惯量。o例例:G 不是质心不是质心CG式中式中式中式中 R RGG称为称为称为称为回转半径回转半径回转半径回转半径。竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？4-3 4-3 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用TRm1m2已知：已知：已知：已知：滑轮质量滑轮质量滑轮质量滑轮质量MM（匀质圆盘）半径（匀质圆盘）半径（匀质圆盘）半径（匀质圆盘）半径R;R;细绳细绳细绳细绳与滑轮间无相对滑动与滑轮间无相对滑动与滑轮间无相对滑动与滑轮间无相对滑动,绳不可伸长且绳不可伸长且绳不可伸长且绳不可伸长且质量可忽略质量可忽略质量可忽略质量可忽略.物体质量物体质量物体质量物体质量mm1 1 m m2 2求：求：求：求：a=?am1gm2gT解：解：解：解：对否？对否？对否？对否？T1T2否则滑轮匀速转动，而物体加速运动否则滑轮匀速转动，而物体加速运动否则滑轮匀速转动，而物体加速运动否则滑轮匀速转动，而物体加速运动,矛盾矛盾矛盾矛盾!T1T2对滑轮对滑轮对滑轮对滑轮线量与角量关系线量与角量关系线量与角量关系线量与角量关系M例例例例4-1.4-1.请思考：若轴上的摩擦力矩为请思考：若轴上的摩擦力矩为请思考：若轴上的摩擦力矩为请思考：若轴上的摩擦力矩为 MMf f ，结果又如何？结果又如何？结果又如何？结果又如何？对物块对物块对物块对物块.例例例例4-24-2 质量为质量为质量为质量为 的定滑轮的定滑轮的定滑轮的定滑轮,可绕水平光滑轮转动可绕水平光滑轮转动可绕水平光滑轮转动可绕水平光滑轮转动,一轻绳绕一轻绳绕一轻绳绕一轻绳绕于轮上于轮上于轮上于轮上,另一端通过质量另一端通过质量另一端通过质量另一端通过质量 的定滑轮悬有的定滑轮悬有的定滑轮悬有的定滑轮悬有 的物体的物体的物体的物体.求求求求:当重物由静止开始下降了当重物由静止开始下降了当重物由静止开始下降了当重物由静止开始下降了 时时时时,(1)(1)物体的速度物体的速度物体的速度物体的速度;(2)(2)绳中的张力绳中的张力绳中的张力绳中的张力.(.(设绳与定滑轮间无相对滑动。）设绳与定滑轮间无相对滑动。）设绳与定滑轮间无相对滑动。）设绳与定滑轮间无相对滑动。）解解解解:例例例例4-3.4-3.有一半径为有一半径为有一半径为有一半径为 R R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦系数为面的摩擦系数为面的摩擦系数为面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度以角速度以角速度以角速度 0 0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？1 1）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。选角速度方向为正方向选角速度方向为正方向选角速度方向为正方向选角速度方向为正方向圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩:2 2）求角加速度：）求角加速度：）求角加速度：）求角加速度：3 3）求转过圈数：）求转过圈数：）求转过圈数：）求转过圈数：R Rr rdsds摩擦力矩在圆盘的不同部位是不相同的摩擦力矩在圆盘的不同部位是不相同的摩擦力矩在圆盘的不同部位是不相同的摩擦力矩在圆盘的不同部位是不相同的,任取一半径为任取一半径为任取一半径为任取一半径为r r r+dr r+dr 的圆环，该的圆环，该的圆环，该的圆环，该环的质量为：环的质量为：环的质量为：环的质量为：Rr r例例例例4-3.4-3.有一半径为有一半径为有一半径为有一半径为 R R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦系数为面的摩擦系数为面的摩擦系数为面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度以角速度以角速度以角速度 0 0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？开始旋转，它将在旋转几圈后停止？1 1）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。选角速度方向为正方向选角速度方向为正方向选角速度方向为正方向选角速度方向为正方向圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩:任取一半径为任取一半径为任取一半径为任取一半径为r r r+dr r+dr 的圆环，该环的质量为：的圆环，该环的质量为：的圆环，该环的质量为：的圆环，该环的质量为：2 2）求角加速度）求角加速度）求角加速度）求角加速度2 2）求角加速度）求角加速度）求角加速度）求角加速度3 3）求转过圈数）求转过圈数）求转过圈数）求转过圈数已知：已知：已知：已知：例例例例4-4.4-4.匀质杆匀质杆匀质杆匀质杆mm，长为长为长为长为 l l 。从水平位置释放，下落从水平位置释放，下落从水平位置释放，下落从水平位置释放，下落 角时角时角时角时解：解：解：解：由转动定律由转动定律由转动定律由转动定律取一质元取一质元取一质元取一质元C Omglmx（轴光滑）（轴光滑）（轴光滑）（轴光滑）（1 1）杆的旋转角速度和角加速度；）杆的旋转角速度和角加速度；）杆的旋转角速度和角加速度；）杆的旋转角速度和角加速度；（2 2）转轴对杆的支持力。）转轴对杆的支持力。）转轴对杆的支持力。）转轴对杆的支持力。质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用由质心运动定理由质心运动定理由质心运动定理由质心运动定理C Omglmx例例例例4-54-5.两皮带轮两皮带轮两皮带轮两皮带轮 r rA A,r rC C，mm1 1，mm2 2 组成传动系统，小组成传动系统，小组成传动系统，小组成传动系统，小轮由马达带动，设有一恒定主动力矩轮由马达带动，设有一恒定主动力矩轮由马达带动，设有一恒定主动力矩轮由马达带动，设有一恒定主动力矩MM，大轮有，大轮有，大轮有，大轮有一负载力矩一负载力矩一负载力矩一负载力矩MMr r。求小皮带轮的角加速度求小皮带轮的角加速度求小皮带轮的角加速度求小皮带轮的角加速度 1 1。解：解：解：解：受力分析图略受力分析图略受力分析图略受力分析图略忽略皮带质量。忽略皮带质量。忽略皮带质量。忽略皮带质量。小轮：小轮：小轮：小轮：大轮：大轮：大轮：大轮：当皮带不打滑且不伸长，当皮带不打滑且不伸长，当皮带不打滑且不伸长，当皮带不打滑且不伸长，可解出可解出可解出可解出T1T1T2T2例例例例4-5 4-5 质质质质量量量量为为为为mm1 1、半半半半径径径径为为为为r r1 1的的的的匀匀匀匀质质质质圆圆圆圆轮轮轮轮A A，以以以以角角角角速速速速度度度度 绕绕绕绕通通通通过过过过其其其其中中中中心心心心的的的的水水水水平平平平光光光光滑滑滑滑轴轴轴轴转转转转动动动动，若若若若此此此此时时时时将将将将其其其其放放放放在在在在质质质质量量量量为为为为mm2 2、半半半半径径径径为为为为r r2 2的的的的另另另另一一一一匀匀匀匀质质质质圆圆圆圆轮轮轮轮B B上上上上，B B轮轮轮轮原原原原为为为为静静静静止止止止，但但但但可可可可绕绕绕绕通通通通过过过过其其其其中中中中心心心心的的的的水水水水平平平平光光光光滑滑滑滑轴轴轴轴转转转转动动动动。放放放放置置置置后后后后A A轮轮轮轮的的的的重重重重量量量量由由由由B B轮轮轮轮支支支支持持持持，如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设两两两两轮轮轮轮间间间间的的的的摩摩摩摩擦擦擦擦系系系系数数数数为为为为。证证证证明明明明：A A轮轮轮轮放放放放在在在在B B轮轮轮轮上上上上到到到到两两两两轮轮轮轮间间间间没没没没有有有有相相相相对对对对滑滑滑滑动动动动为为为为止止止止，经过的时间为经过的时间为经过的时间为经过的时间为:AB解解解解:两轮间没有滑动时，两轮的角两轮间没有滑动时，两轮的角两轮间没有滑动时，两轮的角两轮间没有滑动时，两轮的角速度速度速度速度 和和和和 必有下列关系：必有下列关系：必有下列关系：必有下列关系：由转动定律由转动定律由转动定律由转动定律