2022年高考数学总复习第八章立体几何练习理.doc

第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个2(2022年四川)一个几何体的三视图如图X811，那么该几何体可以是()图X811A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆台3如图X812，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的周长为()图X812A6 cm B8 cm C(24 )cm D(22 )cm4(2022年广东汕头一模)一个锥体的主视图和左视图如以下图X813，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()图X813ABCD5如图X814是长和宽分别相等的两个矩形给定以下三个命题：存在三棱柱，其正视图、俯视图如图X814；存在四棱柱，其正视图、俯视图如图X814；存在圆柱，其正视图、俯视图如图X814.其中真命题的个数是()图X814A3个 B2个 C1个 D0个6某一几何体的正视图与侧视图如图X815，那么在以下图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为()图X815A BC D7(2022年新课标)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，那么得到的正视图可以为()A B C D8如图X816，直三棱柱的正视图面积为2a2，那么侧视图的面积为_图X8169如图X817所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在图X818中画出X817(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积X81810如图X819所示的为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)如图X8110所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；(2)求四棱锥BCEPD的体积；(3)求证：BE平面PDA.X819X8110第2讲空间几何体的外表积和体积1(2022年福建)以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D12(2022年上海)假设两个球的外表积之比为14，那么这两个球的体积之比为()A12 B14 C18 D1163(2022年广东)某四棱台的三视图如图X821，那么该四棱台的体积是()图X821A4 B. C. D64(2022年新课标)如图X822，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削的局部的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.图X822 图X8235圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，假设放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图X823)，那么球的半径是_cm.6(2022年江苏)设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.假设它们的侧面面积相等，且，那么_.7假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，那么该圆锥的体积为_8(2022年江苏)如图X824，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，那么V1V2_.图X8249如图X825，设计一个正四棱锥形的冷水塔，高是1 m，底面的边长是2 m.(1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积；(2)制造这个水塔的侧面需要的钢板的面积是多少？图X82510如图X826，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比图X826第3讲点、直线、平面之间的位置关系1(2022年安徽)在以下命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2以下命题正确的选项是()A假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行3设A，B，C，D是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是()A假设AC与BD共面，那么AD与BC共面B假设AC与BD是异面直线，那么AD与BC是异面直线C假设ABAC，DBDC，那么ADBCD假设ABAC，DBDC，那么ADBC4(2022年广东)假设空间中有四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，那么以下结论一定正确的选项是()Al1l4Bl1l4Cl1，l4既不平行也不垂直Dl1，l4的位置关系不确定5如图X831所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60；CN与AF垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()A B C D图X831 图X8326(2022年上海)在如图X832所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为_7(2022年广东惠州一模)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_8(2022年安徽)如图X833，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60.PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)假设E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积图X8339如图X835所示的是一个正方体(如图X834)的外表展开图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答以下问题(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求三棱锥MNPQ的体积与正方体的体积之比图X834图X835第4讲直线、平面平行的判定与性质1直线l，m，n及平面，以下命题中是假命题的是()A假设lm，mn，那么ln B假设l，n，那么lnC假设lm，mn，那么ln D假设l，n，那么ln2m，n是两条直线，是两个平面，给出以下命题：假设n，n，那么；假设平面上有不共线的三点到平面的距离相等，那么；假设n，m为异面直线，n，n，m，m，那么.其中正确命题的个数是()A3个 B2个 C1个 D0个3如图X841，l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，以下结论错误的选项是()AD1B1l BBD平面AD1B1Cl平面A1D1B1 DlB1C1图X841 图X8424设m，n为两条直线，为两个平面，那么以下四个命题中，正确的选项是()A假设m，n，且m，n，那么B假设m，mn，那么nC假设m，n，那么mnD假设m，n为两条异面直线，且m，n，m，n，那么5如图X842，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上假设EF平面AB1C，那么线段EF的长度等于_6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，那么截面面积为_7如图X843(1)，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有以下四个说法：水的局部始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当容器倾斜如图X843(2)时，BEBF是定值其中正确说法的序号是_图X8438(2022年广东惠州一模)如图X844，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)假设BC3，求三棱锥DBC1C的体积图X8449(2022年安徽)如图X845，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)假设EB2，求四边形GEFH的面积图X845第5讲直线、平面垂直的判定与性质1(2022年广东)设l为直线，是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是()A假设l，l，那么B假设l，l，那么C假设l，l，那么D假设，l，那么l2如图X851，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的选项是()图X851ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成角为603(2022年广东深圳一模)直线a，b，平面，且a，b，那么“ab是“的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图X852，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，A1D与BC1所成的角为，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D.图X852 图X8535a，b，c是三条不同的直线，命题“ab，且acbc是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有()A1个 B2个 C3个 D4个6如图X853，在正三棱柱ABCA1B1C1中，假设AB2，AA11，那么点A到平面A1BC的距离为()A. B. C. D.7正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，假设PA，PB，PC两两互相垂直，那么球心到截面ABC的距离为_8(2022年辽宁)如图X854，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积图X8549(2022年北京)如图X855，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，点E，F分别为A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积图X855第6讲空间坐标系与空间向量1a(2,1,3)，b(1,2,1)，假设a(ab)，那么实数的值为()A2 BC. D22假设向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角余弦值为，那么()A2 B2C2或 D2或3(由人教版选修21P105例1改编)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，那么此平行六面体的对角线AC1的长为()A. B2 C. D.4在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC的中点，设a，b，c，那么()A.abc BabcC. abc D. abc5以下等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A.32B. C.0D.06空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，那么()A. B C. D7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，那么|MN|()A.a B.aC.a D.a8三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，那么(1)与的夹角等于_；(2)在方向上的投影等于_9三棱锥OABC中，OBOC，AOBAOC60，那么，的大小为_10(2022年新课标)如图X861，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)假设ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值图X861第7讲空间中角与距离的计算1向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，假设cosm，n，那么l与所成的角为()A30 B60 C120 D1502如图X871，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于()A. B. C. D.图X8713如图X872，假设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角为60，那么A1C1到底面ABCD的距离为()图X872A. B1 C. D.4在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，那么AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D905如图X873，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是()A. B. C. D.图X8736在矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直，那么B与D之间的距离为_7点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，那么平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_8(2022年新课标)如图X874，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.图X874(1)证明：ABA1C；(2)假设平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值9(2022年江苏)如图X875，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值图X875第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1B2.D3.B4.C5A解析： 可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断正确；可以是放倒的圆柱，所以也正确图D856D7A解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图(如图D85)，以xOz平面为投影面，那么易得到正视图应选A.8.a2解析：由正视图面积可求出直三棱柱的高为2a，底面的正三角形的高为a，故左视图的面积为2aaa2.9解：(1)如图D86.(2)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥4462.图D8610(1)解：该组合体的正视图和侧视图如图D87.图D87(2)解：PD平面ABCD，PD平面PDCE，平面PDCE平面ABCD.BCCD，BC平面PDCE.S梯形PDCE(PDEC)DC323，四棱锥BCEPD的体积为VBCEPDS梯形PDCEBC322.(3)证明：ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA，EC平面PDA.同理，BC平面PDA.EC平面EBC，BC平面EBC，且ECBCC，平面EBC平面PDA.又BE平面EBC，BE平面PDA.第2讲空间几何体的外表积和体积1A解析：由，得圆柱的底面半径和高均为1，其侧面积等于S2112.2C解析：因为球的外表积S4R2，两个球的外表积之比为14，那么两个球的半径之比为12.又因为球的体积VR3，那么这两个球的体积之比为18.3B解析：由三视图可知，该四棱台的上、下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故V(1222)2.应选B.4C解析：由三视图复原几何体为小圆柱和大圆柱组成的简单组合体其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，那么其体积和为22432234，而圆柱体毛坯体积为32654，故切削局部的体积为20，从而切削的局部的体积与原来毛坯体积的比值为.54解析：设球的半径为r，那么由3V球V水V柱，可得3r3r28r26r.解得r4.6.解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2，h1，h2，那么2r1h12r2h2，.又，所以.那么.7.解析：因为半圆面的面积为l22，所以l24，即l2，即圆锥的母线l2.底面圆的周长2rl2，所以圆锥的底面半径r1，所以圆锥的高h.所以圆锥的体积为r2h1.8124解析：V1SADEh1SABCh2V2，所以V1V2124.9解：(1)VS底h221(m3)答：这个正四棱锥形冷水塔的容积是 m3.(2)如图D88，取底面边长的中点E，连接SE.图D88SE(m)，S侧424 (m2)答：制造这个水塔的侧面需要4 m2的钢板10(1)证明：由题意知，BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，DC1BC.ACAD，A1C1A1D，A1DC1ADC45.CDC190，即DC1DC.又DCBCC，DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)解：设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意，得V11.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1121，(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得的两局部体积的比为11.第3讲点、直线、平面之间的位置关系1A2.C3.C4D解析：如图D89，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1.假设AB为l4，那么l1l4；假设BC为l4，那么l1l4；假设A1B1为l4，那么l1与l4异面因此l1，l4的位置关系不确定应选D.图D89 图D905D6.解析：A1DB1C，直线A1B与A1D所成的角即为异面直线A1B与B1C所成的角又A1DB为正三角形，DA1B.故答案为.7.解析：如图D90，连接AE，DF，D1F，那么DFAE，所以DF与D1F所成的角即为异面直线AE，D1F所成的角，设正方体的边长为2，那么DFD1F，在DD1F中，cosD1FD.8解：(1)证明：如图D91，连接AC交BD于点O，连接PO.PBPD，POBD.又底面ABCD是菱形，BDAC.而ACPOO，BD平面PAC.BDPC，即PCBD.(2)在ABD中，ABAD2，BAD60，那么BD2，AC2AO2 .又POBD，那么PO.AO2PO26AP2，POAC.又PEPA，那么SPECSPAC.BD平面PAC，BO平面PEC.VPBECVBPECSPECBO1.图D91 图D929解：(1)如图D92，连接NC，NQ，MC，MN与PQ是异面直线在正方体中，PQNC，那么MNC为MN与PQ所成的角因为MNNCMC，所以MNC60.所以MN与PQ所成角的大小为60.(2)设正方体棱长为a，那么正方体的体积Va3.而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP平面PQM，所以VNPQMMPMQNPa3.所以三棱锥MNPQ的体积与正方体的体积之比为16.第4讲直线、平面平行的判定与性质1D2.B3.D4D解析：选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面5.解析：因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C与平面ABCD的交线为AC，所以EFAC.又点E为AD的中点，所以EF为DAC的中位线，所以EFAC.因为AB2，ABCD为正方形，所以AC2 ，所以EF.图D936. cm2解析：如图D93，截面ACEBD1，平面BDD1平面ACEEF，其中F为AC与BD的交点，所以E为DD1的中点，易求SACE cm2.7解析：对于，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的局部始终呈棱柱状(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC为棱柱的一条侧棱，故正确；对于，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，那么水面面积可能变大，也可能变小，故不正确；是正确的；是正确的，由水的体积的不变性可证得综上所述，正确命题的序号是.8(1)证明：如图D94，连接B1C，交BC1于点O，连接OD.四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为ACB1的中位线ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)解：三棱柱ABCA1B1C1，侧棱CC1AA1.又AA1底面ABC，侧棱CC1平面ABC.故CC1为三棱锥C1BCD的高，A1ACC12.SBCDSABC.VVCC1SBCD21.图D94 图D959(1)证明：BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，GHBC.同理，EFBC.GHEF.(2)解：如图D95，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.PAPC，O是AC的中点，POAC.同理，得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，PO平面ABCD.又平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，PO平面GEFH.平面PBD平面GEFHGK，POGK.GK平面ABCD.又EF平面ABCD，GKEF.GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EBABKBDB14.从而KBDBOB，即K是OB的中点又由POGK，得GKPO.G是PB的中点，且GHBC4.由，得OB4 ，PO6.GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.第5讲直线、平面垂直的判定与性质1B2.D3B解析：根据题意，分两步来判断：当时，a，且，a，又b，ab，那么ab是的必要条件；假设ab，不一定有，当a时，又由a，那么ab，但此时不成立，即ab不是的充分条件，那么ab是的必要不充分条件图D964B解析：如图D96，连接B1C，那么B1CA1D，A1D与BC1所成的角为，B1CBC1，长方体ABCDA1B1C1D1为正方体取B1D1的中点M，连接C1M，BM，C1M平面BB1D1D，C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角ABBC2，C1M，BC12 ，sinC1BM.应选B.5C解析：假设a，b，c换成平面，那么“，且是真命题；假设a，b换成平面，那么“，且cc是真命题；假设b，c换成平面，那么“a，且a是真命题；假设a，c换成平面，那么“b，且b是假命题6B解析：方法一：取BC中点E，连接AE，A1E，过点A作AFA1E，垂足为F.A1A平面ABC，A1ABC.ABAC，AEBC.BC平面AEA1.BCAF.又AFA1E，AF平面A1BC.AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离AA11，AE，AF.方法二：VSABCAA11.又A1BA1C，在A1BE中，A1E2，S222.VShh.h.h.点A到平面A1BC的距离为.图D977.解析：因为在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一局部(如图D97)，此正方体内接于球，正方体的对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥PABC在平面ABC上的高球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥PABC在平面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为.8(1)证明：由ABDB，BCBC，ABCDBC，得ABCDBC(SAS)ACDC.又G为AD的中点，CGAD.ABBD，G为AD的中点，BGAD.又BGCGG，AD平面BCG.又EFAD，故EF平面BCG.图D98(2)解：如图D98，在平面ABC内，过点A作AOBC，交CB的延长线于点O.平面ABC平面BCD，AO平面BDC.又G为AD的中点，G到平面BCD的距离hAO.在AOB中，AOABsin60.h.VDBCGVGBCDh.9(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，BB1AB.又ABBC，且BB1BCB，AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：如图D99，取AB中点为G，连接EG，FG.图D99E，F分别是A1C1，BC的中点，FGAC，且FGAC.ACA1C1，且ACA1C1，FGEC1，且FGEC1.四边形FGEC1为平行四边形C1FEG.又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE.(3)解：AA1AC2，BC1，ABBC，AB.VEABCSABCAA112.第6讲空间坐标系与空间向量1D2C解析：cosa，b.解得2或.3D解析：，|2()2|2|2|22221112(cos60cos60cos60)6，|.4D5D解析：M，A，B，C四点共面xyz(x，y，zR)，且xyz1.0，存在x1，y1，使xy，共面M为公共点，M，A，B，C四点共面6B7A解析：.|a.8(1)(2)解析：(1,1,0)，(1,0，1)，(1)cos，.(2)在方向上的投影.990解析：()|cosAOC|cosAOB|cos60|cos600.，90.图D10010(1)证明：如图D100，连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)解：因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC(SSS)故OAOB，从而OA，OB，OB1两两垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又OB1，那么OB1，OA.故A，B(1,0,0)，B1，C.，1.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，那么即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，那么同理可取m(1，)那么cosn，m.所以结合图形知，二面角AA1B1C1的余弦值为.第7讲空间中角与距离的计算1A解析：设l与所成的角为，那么sin|cosm，n|.30.2D3.D4.C5B解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1 与平面ACD1所成角，即DD1O，其正切值是 .6.解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.那么可求得AM，BM，CN，DN，MN1.，|2|()|2|2|2|22()21222(000)，|.7.解析：(1,2,0)，(1,0,3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由n0，n0知，令x2，那么y1，z.平面ABC的一个法向量为n.又平面xOy的一个法向量为(0,0,3)所求二面角的余弦值cos.故平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为.8(1)证明：如图D101，取AB中点为E，连接CE，A1B，A1E.图D101ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形A1EAB.CACB，CEAB.CEA1EE，AB平面CEA1.ABA1C.(2)解：由(1)知，ECAB，EA1AB.又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面AA1B1BAB，EC面AA1B1B.ECEA1.EA，EC，EA1两两相互垂直以E为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度，建立如图D102所示的空间直角坐标系Exyz，图D102由题设知，A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)，那么(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，那么即可取n(，1，1)cosn，.直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.9解：(1)如图D103，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，图D102那么A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)(2,0，4)，(1，1，4)cos，.异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量设平面ADC1的法向量为m(x，y，z)，(1,1,0)，(0,2,4)，且m，m，取z1，得y2，x2.平面ADC1的法向量为m(2，2,1)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为，|cos|cos，m|，那么sin.平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.