2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案：4.3.1-2-空间直角坐标系-空间两点间的距离公式-Word版含解析.doc

4.3　空间直角坐标系
4.3.1　空间直角坐标系
4.3.2　空间两点间的距离公式

知识导图

学法指导
1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．
2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．
3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．
高考导航
1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．
2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.

知识点一　空间直角坐标系的建立及坐标表示
1．空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.
②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．

空间直角坐标系的画法
(1)x轴与y轴成135 °(或45 °)，x轴与z轴成135 °(或45 °)．
(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.

知识点二　空间两点间的距离公式
1．空间中任意一点P(x，y，z)与原点之间的距离|OP|＝；
2．空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离
|P1P2|＝.
1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．
2．空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P(，，).

[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　)
(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．(　　)
(3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz平面内的是(　　)
A．(3,2,1)　 B．(2,0,0)
C．(5,0,2) D．(0，－1，－3)
解析：位于yOz平面内的点，其x坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz平面内．
答案：D
3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　)
A．y轴上 B．xOy平面上
C．zOx平面上 D．第一象限内
解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上．
答案：C
4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　)
A．4 B．2
C．4 D．3
解析：|AB|＝＝4.
答案：A

类型一　空间中点的坐标的确定

例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．

【解析】　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.
因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，
|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，
显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；
C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；
B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，
因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).
(1)建立适当的空间直角坐标系．
(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．

方法归纳
(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．
跟踪训练1　在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
解析：

如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，OO1⊥BO，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝，
∵点A，B，C均在坐标轴上，∴A，B，C.
∵点A1，C1在yOz平面内，∴A1，C1.
∵点B1在xOy平面内的射影为点B，且BB1＝1，
∴B1，∴各点的坐标分别为A，B，C，A1，B1，C1.
建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标．

类型二　空间直角坐标系中的点的对称点
例2　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴对称的点P1的坐标是________；关于xOy平面对称的点P2的坐标是________；关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标是________．
【解析】　点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P关于x轴的对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．
点P关于xOy平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．
设点P关于点A的对称点的坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得解得故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4，－1,0)．
【答案】　(－2，－1，－4)　(－2,1，－4)　(4，－1,0)

利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．

方法归纳
在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：
①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)
②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)
③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)
④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)
⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)
⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)
⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．

跟踪训练2　已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.
解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，
即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).

方法归纳
求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．
如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．
要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．
类型三　空间两点间的距离,,

例3　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
【解析】　由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，

所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，
从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，可得
|MN|＝＝a.
建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解．

方法归纳
求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
跟踪训练3　求A(0,1,3)，B(2,0,1)两点之间的距离．
解析：|AB|＝＝3.
解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.

[基础巩固](20分钟，40分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．点M(0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A．x轴上　B．y轴上
C．z轴上 D．xOz平面上
解析：因为点M(0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M在y轴上．
答案：B
2．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是(　　)
A．(4,2,2) B．(2，－1,2)
C．(2,1,1) D．(4，－1,2)
解析：设点P与点Q的中点坐标为(x，y，z)，则x＝＝2，y＝＝1，z＝＝1.
答案：C
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　)
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标，z坐标分别相等，∴Q(0，，)．
答案：B
4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．
∴a＝，b＝，c＝5.
答案：B
5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　　)
A．(0,0,6) B．(6,0,1)
C．(6,0,0) D．(0,6,0)
解析：设P(x,0,0)，|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)

6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．
解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．
答案：(－4,1，－2)
8．点P(－1,2,0)与点Q(2，－1,0)的距离为________．
解析：∵P(－1,2,0)，Q(2，－1,0)，
∴|PQ|＝＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，|AB|＝|AC|＝|AA1|＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
解析：如右图，以A为原点，射线AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，

则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)，因为M为BC1的中点，N为A1B1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M(，，)，N(，，)，即M(2,2,2)，N(2,0,4)．
所以由两点间的距离公式得
|MN|＝＝2.
10．已知点P(2,3，－1)，求：
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；
(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；
(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标．
解析：(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′的横坐标、纵坐标与点P的横坐标、纵坐标相同，点P′的竖坐标与点P的竖坐标互为相反数．
所以点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1)．同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．
(2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q的横坐标与点P的横坐标相同，点Q的纵坐标、竖坐标与点P的纵坐标、竖坐标互为相反数．
所以点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1)．
同理，点P关于y轴，z轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)．
(3)点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为(　　)
A．(4,0,6)　　　 B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)
解析：点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．
答案：C
12．已知点P到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为.又点P到线段AB中点的距离为3，所以
＝3，
解得z＝0或z＝－4.
答案：0或－4

13．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解析：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
14．已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
解析：(1)根据空间两点间的距离公式得
|MN|＝＝2，
所以线段MN的长度为2.
(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，所以＝，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.