2023版高考数学一轮复习第5章第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式训练含解析.doc

第五章　第2讲
[A级　基础达标]
1．已知cos α＝，且α∈(0，π)，则tan α等于(　　)
A．　　 B．　
C．－　　 D．－
【答案】A
2．(2020年杭州模拟)已知tan θ＝2，θ为第三象限角，则sin θ＝(　　)
A．　　 B．－　
C．　　 D．－
【答案】B
3．(2020年龙岩月考)若＝4，则tan α等于(　　)
A．　　 B．　
C．3　　　 D．7
【答案】D
4．(2020年丽水模拟)在△ABC中，若sin A＋cos A＝，则tan A＝(　　)
A．±　　 B．　
C．3　　 D．－3
【答案】D
5．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A．sin(－x)＝sin x　　　 B．sin＝cos x
C．cos＝－sin x　　　 D．cos(x－π)＝－cos x
【答案】CD　【解析】sin(－x)＝－sin x，故A不成立；sin＝－cos x，故B不成立；cos＝－sin x，故C成立；cos(x－π)＝－cos x，故D成立
6．(2019年天水期末)化简：
＝________.
【答案】－tan α　【解析】原式＝＝－tan α.
7．(2020年杭州模拟)如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
【答案】　【解析】因为sin(π＋A)＝，所以－sin A＝.所以cos＝－sin A＝.
8．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝________.
【答案】2　【解析】原式＝＋＝＝2.
9．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．
解：因为sin α＝＞0，
所以α为第一或第二象限角．
原式＝tan α＋＝＋＝.
①当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝.
②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，原式＝＝－.
[B级　能力提升]
10．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可表示为a＝2cos 72°，则＝(　　)
A．2　　　 B．1　　
C．　　　 D．
【答案】C　【解析】因为a＝2cos 72°，所以a2＝4cos272°，可得4－a2＝4－4cos272°＝4sin272°，所以＝2sin 72°.所以a＝2cos 72°·2sin 72°＝2sin 144°＝2sin 36°.所以＝＝＝.
11．实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5及S＝x2＋y2，Smax表示S的最大值，Smin表示S的最小值，则＋的值为(　　)
A．　　　　　 B．　　　
C．　　　　　 D．
【答案】B　【解析】由S＝x2＋y2联想到cos2 α＋sin2 α＝1，进行三角换元．进一步将条件转化为与S的关系．设则4S－5S sin αcos α＝5，得S＝.因为－1≤sin 2α≤1，所以≤S≤.所以＋＝＋＝＝.
12．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　)
A．tan α＝　　　 B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝　　　 D．sin α－cos α＝－
【答案】AB　【解析】因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝1－sin2α＝1－2＝，故B正确；tan α＝＝，故A正确；sin α＋cos α＝＋＝，故C错误；sin α－cos α＝－＝，故D错误．
13．(一题两空)若存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立，则α＝________，β＝________.
【答案】　　【解析】由已知条件得 联立①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.所以sin2α＝，即sin α＝±.因为α∈，所以α＝±.当α＝时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式不成立，舍去．综上，α＝，β＝.
14．(2020年安徽三模)已知sin＝，0<α<，则sin＝________.
【答案】－　【解析】因为sin＝，，所以sin＝－，又－<α－<，所以cos＝，所以sin＝sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.
15．已知－<x<0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin x＋cos x＝，得(sin x＋cos x)2＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝1＋sin 2x＝2，
则sin 2x＝－.因为2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝1－sin 2x＝1－＝，又－<x<0，则sin x<0，cos x>0，所以sin x－cos x<0.因此sin x－cos x＝－.
(2)原式＝
＝＝
＝(2－sin x－cos x)
＝[2－(sin x＋cos x)].
由(1)知sin 2x＝－，代入可得原式＝×＝－.
[C级　创新突破]
16．已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　)
A．－　　　 B．　
C．　　 D．
【答案】D　【解析】由sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，得－cos θ－3cos θ＝－sin θ，即－4cos θ＝－sin θ，可得tan θ＝4，则sin θ cos θ＋cos2θ＝＝＝＝.
17．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋＝＝
sin θ＋cos θ.
根据韦达定理，由条件知sin θ＋cos θ＝，
故＋＝.
(2)由条件知sin θ＋cos θ＝，sin θ cos θ＝，
又1＋2sin θ cos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.
(3)由得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
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