2022年高考数学一轮复习专题1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词讲文.doc

第03节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【考纲解读】
命题角度
考 纲 内 容
5年统计
命 题 分 析 预 测
1．逻辑联结词
了解逻辑联结词“或〞“且〞“非〞的含义．

1．该局部知识单独考查的可能性很小，命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度．
2．备考重点：
〔1〕含有一个量词的命题的否认；
〔2〕含有量词的命题的参数问题
2．全称量词和存在量词
1．理解全称量词与存在量词的意义．
2．能正确地对含有一个量词的命题进行否认．
2022课标Ⅰ，3
【知识清单】
1．逻辑联结词
〔1〕用联结词“且〞联结命题p和命题q，记作pq，读作“p且q〞．
〔2〕用联结词“或〞联结命题p和命题q，记作pq，读作“p或q〞．
〔3〕对一个命题p全盘否认，就得到一个新命题，记作p，读作“非p〞或“p的否认〞．
〔4〕命题p且q、p或q、非p的真假判断
对点练习：
【2022山东，文3】命题p：；命题q：假设a＞b，那么，以下命题为真命题的是
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
【答案】B
【解析】试题分析：由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，应选B．
2．全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
〔1〕短语“所有的〞“任意一个〞在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“〞表示．
〔2〕含有全称量词的命题，叫做全称命题．
〔3〕全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立〞可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立〞．
2．存在量词与特称命题
〔1〕短语“存在一个〞“至少有一个〞在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“〞表示．
〔2〕含有存在量词的命题，叫做特称命题．
〔3〕特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立〞可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立〞．
3．全称命题与特称命题的否认
〔1〕全称命题的否认是特称命题；特称命题的否认是全称命题．
〔2〕“或〞的否认为：“非且非〞；“且〞的否认为：“非或非〞．
〔3〕含有一个量词的命题的否认
命题
命题的否认

对点练习：
【2022湖南益阳模拟】命题“〞，那么命题为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，命题为全称命题，其否认需由特称命题来完成，并将其结论否认，即．故正确答案为D．
【考点深度剖析】
对本节的复习应紧扣概念，理解相似概念的异同点，准确把握逻辑连接词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否认，本节常与其他知识结合，以小题的形式考查，难度不大，考查方式有两种：一是考查复合命题的真假判断；二是考查含有量词命题的否认．
【重点难点突破】
考点1 含有逻辑联结词的命题
【1-1】【2022广西防城港市模拟】命题 “假设，那么〞；命题 “假设，，那么〞，那么以下命题是真命题的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】B
【1-2】【2022河北衡水信息卷五】命题：，，命题：，．那么以下命题为真命题的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，命题为真命题；
，命题为假命题，考查所给的选项：是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，应选C．
【1-3】【2022四川联测促改】给出两个命题：：“事件与事件对立〞的充要条件是“事件与事件互斥〞； ：偶函数的图象一定关于轴对称，那么以下命题是假命题的是〔 〕
A． 或 B． 且 C． 或 D． 且
【答案】B
【解析】由于“事件与事件对立〞是“事件与事件互斥〞的充分不必要条件，故命题是假命题；
由题意得命题为真命题．∴或、或、 且均为真命题，且为假命题，应选B．
【1-4】命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．假设p或q是真命题，p且q是假命题，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞)
C．(－∞，－12)∪(－4，4) D．[－12，＋∞)
【答案】C
【解析】命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12．由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．假设p真q假，那么a<－12；假设p假q真，那么－4<a<4．故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．
【领悟技法】
1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非〞三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补〞，因此，常常借助集合的“并、交、补〞的意义来解答由“或、且、非〞三个联结词构成的命题问题．
2．“pq〞“pq〞“p〞形式命题真假的判断步骤：
〔1〕确定命题的构成形式；
〔2〕判断其中命题p、q的真假；
〔3〕确定“pq〞“pq〞“p〞形式命题的真假．
3．含逻辑联结词命题真假的等价关系
〔1〕真至少一个真假．
〔2〕假均假真．
〔3〕真均真假．
〔4〕假至少一个假真．
〔5〕真假； 假真．
4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假．
【触类旁通】
【变式一】命题：函数的图像关于直线对称，：函数的图像关于点对称，那么以下命题中的真命题为〔 〕
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图像如下图：由图形可知图像关于直线对称，所以命题正确；，所以函数的图像关于点对称，所以命题正确，所以正确．
【变式二】【2022安徽安庆一模】设命题，；命题：，，那么以下命题为真的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】命题 ，，当时即可，命题为真；
命题：，，当是，两式相等，命题为假；那么为真，应选A．
考点2 全称命题与特称命题的真假判断
【2-1】【2022山东威海二模】命题： “〞，命题：“〞，那么以下为真命题的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：先判断命题p和q的真假，再判断选项的真假．
详解：对于命题p，当a=0，b=-1时，0>-1，但是|a|=0，|b|=1，|a|<|b|，所以命题p是假命题．
对于命题q，，如所以命题q是真命题．
所以为真命题．应选C．
【名师点睛】〔1〕此题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些根底知识的能力．(2) 复合命题的真假口诀：真“非〞假，假“非〞真，一真“或〞为真，两真“且〞才真．
【2-2】命题；命题在中，假设，那么．那么以下命题为真命题的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】B
【2-3】a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，假设x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，那么以下选项的命题中为假命题的是(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)≤f(x1) B．∃x0∈R，f(x0)≥f(x1)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x1) D．∀x∈R，f(x)≥f(x1)
【答案】C
【解析】　由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b．依题意f′(x1)＝0，
又a＞0，所以f(x)在x＝x1处取得极小值．因此，对∀x∈R，f(x)≥f(x1)，C为假命题．
【领悟技法】
1．全称命题真假的判断方法
〔1〕要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
〔2〕要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否那么这一特称命题就是假命题．
3. 不管是全称命题，还是特称命题，假设其真假不容易正面判断时，可先判断其否认的真假．
4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否认为假
假
存在一个对象使命题假
否认为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否认为假
假
所有对象使命题假
否认为真
【触类旁通】
【变式一】给出以下四个命题：
①∀，；②∃， ；
③∀，；④∃，．
其中正确命题的序号是(　　)
(A)①② (B)①③ (C)③④ (D)②④
【答案】C
【解析】由于，故命题①②均是假命题；由于，，所以命题③④都是真命题．
【变式二】【2022福建南平二模】命题，命题，真命题的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由，可知命题为真，由指数函数单调性可知命题为假，从而得解．
详解：由，可知命题为真命题；当时，，那么，所以不存在． 命题为假命题．所以为真命题．应选C．
【名师点睛】要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假．属于根底题．
考点3 全称命题与特称命题的否认
【3-1】命题“所有实数的平方是非负实数〞的否认是〔 〕
〔A〕所有实数的平方是负实数
〔B〕不存在一个实数，它的平方是负实数
〔C〕存在一个实数，它的平方是负实数
〔D〕不存在一个实数它的平方是非负实数
【答案】C
【解析】本命题是一个全称命题，它的否认是一个特称命题，要改变量词同时否认结论“所有〞变“存在〞，“非负实数〞变“负实数〞．那么其否认为“存在一个实数，它的平方是负实数〞．应选C．
【3-2】命题，那么是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题的否认，就是把命题的结论否认，条件不变，但条件中的存在量词必须作相应的改变，因此是．选B．
【领悟技法】
1．命题的否认与否命题的区别：“否命题〞是对原命题“假设，那么〞的条件和结论分别加以否认而得的命题，它既否认其条件，又否认其结论；“命题的否认〞即“非〞，只是否认命题的结论．命题的否认与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否认的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否认．
4．要判断“p〞命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p〞的真假，p与p的真假相反．
5．常见词语的否认形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否认形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
【触类旁通】
【变式一】【2022贵州凯里一中模拟】命题：，，那么为〔 〕
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】根据特称命题的否认，易知原命题的否认为： ，应选A．
【变式二】命题，，命题，其中真命题的是 ；命题的否认是 ．
【答案】；
【易错试题常警惕】
易错典例：命题，那么对应的的集合为(　　)
A．　　　　　　B．
C． D．
易错分析：并非是，而是对应的取值集合的补集，解决此类问题时，不宜直接通过式子的变形或运算得出命题，而是先由原命题为真得出参数的取值范围，再研究为真时参数的取值范围．
正确解析：由得或，对应的值的取值范围是，应选B．
温馨提醒：要深刻认识真值表，对逻辑联结词理解不准确是出现错误的最常见原因，与的并集应是全集．另外，含有量词命题的否认，除了把命题的结论否认外，还要注意量词的改变，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
三、数学素养提高之数学思想篇
分类讨论思想求解命题中的参数
分类讨论思想是针对数学教学对象的相同点和不同点来说的，将数学对象分为不同的类别，再对划分的每一类别分别进行研究和求解的一种方法，它表达了化整为零、和零为整的思想与归类整理的方法，但是要注意分类讨论标准确实定，对于复合命题的真假，与组成它的简单命题真假有关，故结合题意应该多简单命题的真假进行讨论．
【典例】两个命题．如果对任意的与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．
【解析】当是真命题时，．
又对任意的为真命题，即恒成立，．
当为真，为假时，需满足，且或；
当为假，为真时，需满足且．
综上所述，实数的取值范围是或．
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