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热点(七) 解三角形
1．(解三角形解的个数问题)在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，那么此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：C
解析：由＝，
得sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在，应选C.
2．(解三角形求面积)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设c2＝(a－b)2＋6，C＝，那么△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
答案：C
解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①
由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab.②
由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.
所以S△ABC＝absin＝×6×＝，应选C.
3．(解三角形判断三角形形状)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设<cos A，那么△ABC为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案：A
解析：由<cos A，得<cos A，
所以sin C<sin Bcos A，
即sin(A＋B)<sin Bcos A，
所以sin Acos B<0，
因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，应选A.
4．(解三角形求角)在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( )
A．135° B．105°
C．45° D．75°
答案：C
解析：由正弦定理知＝，所以sin A＝，又由题知，BC<AB，∴A＝45°，应选C.
5．(解三角形应用求面积)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，那么S△ABC＝( )
A. B.
C. D．2
答案：C
解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.
又a＝1，b＝，
∴sin A＝＝×＝，易知a<b，所以A<B，
∴A＝30°，∴C＝90°.
∴S△ABC＝×1×＝，应选C.
6．(解三角形求角)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a2－b2＝bc，且sin C＝2sin B，那么角A的大小为________．
答案：
解析：由sin C＝2 sin B，得c＝2b，代入a2－b2＝bc得，a2－b2＝6b2，即a2＝7b2，由余弦定理得，cos A＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.
7．(解三角形求高)在△ABC中，AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，那么BC边上的高等于________．
答案：1
解析：在△ABC中，∵tan∠BAC＝－3，
∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－，
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，∴BC＝3.
∴S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，
∴BC边上的高为＝＝1.
8．(解三角形应用求高)如下图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.山高BC＝100 m，那么山高MN＝________ m.
答案：150
解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，
所以AC＝100 m.
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，＝，因此AM＝100 m.
在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，
由＝sin 60°得MN＝100×＝150 m.
9．(和三角形面积有关的问题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解析：(1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0，
得tan A＝－，又0<A<π，
所以A＝.
由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos.
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD与△ACD面积的比值为
＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
10．(解三角形综合)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)假设a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)假设a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
解析：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
∴cos B的最小值为.
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