2022届中考数学全程演练第45课时实验操作型问题.doc

第45课时　实验操作型问题
(50分)
一、选择题(每题10分，共10分)
图45－1
1．[2022·宁波]如图45－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．假设只知道原住房平面图长方形的周长，那么分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 (A)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
二、填空题(每题10分，共10分)
2．[2022·绍兴]把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸〞．现在我们在长为2，宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，那么所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是__＋4__.
【解析】　∵在长为2，宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，那么这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为2∶1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，
宽为＝，
∴另外一个矩形的长为2－＝，
宽为＝，
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2＝4＋.
三、解答题(共30分)
3．(15分)[2022·南充]如图45－2，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．
解：(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
图45－2
根据折叠的性质可知：
∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，
∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°，
∵∠APM＋∠AMP＝90°，
∴∠BPQ＝∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；
(2)∵AD∥BC，
∴∠DQC＝∠MDQ，
根据折叠的性质可知：∠DQC＝∠DQM，
∴∠MDQ＝∠DQM，∴MD＝MQ，
∵AM＝ME，BQ＝EQ，
∴BQ＝MQ－ME＝MD－AM，
∵sin∠DMF＝＝，
∴设DF＝3x，MD＝5x，
∴BP＝PA＝PE＝，BQ＝5x－1，
∵△AMP∽△BPQ，
∴＝，
∴＝，
解得x＝或x＝2，
又∵AP>AM，
∴x＝时，AP＝<AM，
∴x＝时，不符合题意，
∴AB＝6.
4．(15分)[2022·宁波]在边长为1的小正方形组成的方格纸中，假设多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，那么格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．
(1)在图45－3的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；
图45－3
(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值．
解：(1)如答图；
第4题答图
(2)三角形：a＝4，b＝6，S＝6；
平行四边形：a＝3，b＝8，S＝6；
菱形：a＝5，b＝4，S＝6；
任选两组数据代入S＝ma＋nb－1，
解得m＝1，n＝.
(30分)
5．(15分)提出问题：
(1)如图45－4①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN；
类比探究
(2)如图45－4②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由；
拓展延伸
(3)如图45－4③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
图45－4
解：(1)证明：∵△ABC，△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴∠ABC＝∠ACN；
(2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立．
理由：∵△ABC，△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.
∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN；
∴∠ABC＝∠ACN；
(3)∠ABC＝∠ACN.
理由：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，
∴＝.∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.
6．(15分)[2022·南充]如图45－5，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；
(2)求∠BPQ的大小；
(3)求CQ的长．
图45－5 第6题答图
解：(1)证明：因为△ABP′是由△ABP顺时针旋转90°得到，
那么AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
(2)∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′＝45°，PP′＝，
又∵BP′＝，BP＝2，
∴PP′2＋BP2＝BP′2，
∴∠BPP′＝90°，
∵∠APP′＝45°，
∴∠BPQ＝180°－∠APP′－∠BPP′＝45°；
(3)过点B作BE⊥AQ于点E，那么△PBE为等腰直角三角形，
∴BE＝PE，BE2＋PE2＝PB2，
∴BE＝PE＝2，∴AE＝3，
∴AB＝＝，那么BC＝，
∵∠BAQ＝∠EAB，∠AEB＝∠ABQ＝90°，
∴△ABE∽△AQB，
∴＝，即＝，∴AQ＝，
∴BQ＝＝，
∴CQ＝BC－BQ＝.
(20分)
7．(20分)[2022·娄底]如图45－6①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，如果点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们速度均是1 cm/s，连结PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答以下问题：
图45－6
(1)设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
(2)如图②，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；
(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
解：(1)由勾股定理，得AB＝5；
由题意得BP＝AQ＝t，AP＝5－t.
如答图①过点P作PD⊥AC于点D，
那么△APD∽△ABC，
∴＝，解得PD＝3－t，
∴S＝t＝－＋，
∴当t＝时，S取得最大值是；
第7题答图①　　 第7题答图②
(2)连结PP′交AC于点D，
∵PQP′C是菱形，
∴PP′与QC互相垂直平分，
∴AD＝t＋＝＋2，
PD＝3－t，AP＝5－t.
由勾股定理得＋＝(5－t)2，
解得t1＝，t2＝20(舍去)；
第7题答图③　　 第7题答图④
(3)△APQ是等腰三角形，
①当AP＝AQ时，t＝5－t，那么t＝；
②当PA＝PQ时，如答图③，作PE⊥AC于E，
∵cos∠A＝，那么AE＝(5－t)，
又∵AP＝PQ，∴AE＝AQ＝，
∴(5－t)＝，∴t＝；
③当QA＝QP时，如答图④，作QF⊥AB于点F，
∴AF＝t；
∴t＝5－t，∴t＝.
综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△APQ是等腰三角形．