资源描述
1.1 集合
核心考点·精准研析
考点一 集合的根本概念
1.集合A={1,2,4},那么集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为 ( )
A.3 B.6 C.8 D.9
2.假设集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,那么a= ( )
A. B. C.0 D.0或
3.a,b∈R,假设={a2,a+b,0},那么a2 021+b2 021为 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.±1
4.(2023·全国卷Ⅱ)集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},那么A中元素的个数为 ( )
A.9 B.8 C.5 D.4
【解析】1.选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),
(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
2.选D.假设集合A中只有一个元素,那么方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的取值为0或.
3.选C.由得a≠0,那么=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 021+b2 021=(-1)2 021+02 021=-1.
4.选A.由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9.
1.集合定义应用
要明确构成集合的元素,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后看元素的限制条件是什么,准确把握集合的含义.
2.二次项系数讨论
假设二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等的二次项系数含有参数,必须讨论二次项系数为0的情况.
【秒杀绝招】
1.排除法解T2,a=0时显然方程有一个解,排除A、B,当a≠0时,由Δ=0解得a=,排除C.
2.图像法解T4,画出圆x2+y2=3,在圆内找整点.如下图,在圆内共有9个整点,应选A.
考点二 集合间的根本关系
【典例】1.集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},那么满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2023·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},那么集合B的子集个数为 ( )
A.5 B.8 C.3 D.2
3.集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},假设B⊆A,那么实数a的取值范围为
A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2]
C.[-2,1] D.[2,+∞)
【解题导思】
序号
联想解题
1
由集合A,想到一元二次方程的根
2
由求集合B子集的个数,想到子集计算公式2n
3
由B⊆A,想到列不等式组
【解析】1.选D.由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}.
2.选B.由≤0得-1≤x<3,那么A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个.
3.选C.集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},因为B⊆A,所以有所以-2≤a≤1.
1.集合间根本关系的两种判定方法
(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.
(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合,从元素或图形中寻找关系.
2.求参数的方法
将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
1.集合M={0,1},那么满足条件M∪N=M的集合N的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},假设B⊆A,那么实数a的取值集合为 .
【解析】1.选D.由M∪N=M,得N⊆M.又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4.
2.A={-3,2},假设a=0,那么B=∅,满足B⊆A;假设a≠0,那么B=,由B⊆A知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a的取值集合为.
答案:
考点三 集合的运算
命题
精解
读
1.考什么:(1)集合的交、并、补集运算.
(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和数形结合等数学思想.
2.怎么考:与不等式结合,考查集合的根本运算,属根底题类型.
3.新趋势:以集合为载体,考查解不等式、集合的交、并、补等知识以及数形结合等数学思想.
学霸
好方
法
1.集合运算方法:假设集合可以用列举法表示,那么一一列举集合的元素;假设与不等式结合,那么解不等式后画数轴求解.
2.交汇问题:集合的运算与函数、不等式、方程等相结合,考查相关的性质和运算.
集合的交集、并集运算
【典例】1.(2023·全国卷Ⅰ)集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},那么M∩N=
( )
A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2}
C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}
2.(2023·安庆模拟)假设集合M={x|x2-3x+2≤0},N={x|-1≤x≤1},那么M∪N= ( )
A.∅ B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1≤x≤2} D.{x|1≤x≤2}
【解析】1.选C.由题意得M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},那么M∩N={x|-2<x<2}.
2.选C.由题意得M={x|1≤x≤2},N={x|-1≤x≤1},那么M∪N={x|-1≤x≤2}.
涉及不等式的集合运算时,借助什么工具解题?
提示:当题目中涉及不等式时,常借助数轴解题.
集合的补集运算
【典例】1.(2023·全国卷Ⅰ)集合A={x|x2-x-2>0},那么RA= ( )
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
2.(2023·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},那么图中阴影局部所表示的集合为 ( )
A.{x|x≤-1或x≥3} B.{x|x<1或x≥3}
C.{x|x≤1} D.{x|x≤-1}
【解析】1.选B.方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以RA={x|-1≤x≤2}.
方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.
2.选D.图中阴影局部表示集合为U(A∪B),又A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},所以A∪B={x|x>-1},所以U(A∪B)={x|x≤-1}.
怎样求阴影局部所表示的集合?
提示:先用集合间的关系和集合的运算表示阴影,再根据集合运算求解.
利用集合的运算求参数
【典例】1.集合A={0,2,a},B={1,a2},假设A∪B={0,1,2,4,16},那么a的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|3<x<7},假设A∪B=B,那么实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]
C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)
【解析】1.选D.由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4.
2.选B.因为A∪B=B.
当A=∅时,a-1≥2a+1,解得a≤-2;
当A≠∅时,有不等式组无解.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2].
当A⊆B,讨论集合A时容易无视哪种情况?
提示:容易无视A=∅的情况.
1.(2023·吉安模拟)设集合M={x∈R|x2=x},N={-1,0,1},那么M∪N= ( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
【解析】选D.因为M={x∈R|x2=x}={x∈R|x=0或x=1},N={-1,0,1},所以M∪N={-1,0,1}.
2.(2023·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},那么(RA)∩B=
( )
A.{1} B.{2} C.{1,2} D.∅
【解析】选D.A={x|x≤1或x≥2},那么RA={x|1<x<2}.
又集合B={x|x≤2,x∈Z},所以(RA)∩B=∅.
3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},假设A∩B≠∅,那么a的取值范围是 ( )
A.-1<a≤2 B.a>2
C.a≥-1 D.a>-1
【解析】选D.由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如下图:
易知a>-1.
集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},那么A⊕B中元素的个数为
( )
A.77 B.49 C.45 D.30
【解析】选C.集合A表示如下图的所有“〞,集合B表示如下图的所有“〞+所有“〞,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),那么集合A⊕B表示如下图的所有“。〞+所有“〞+所有“·〞,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.
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