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2022年北京市高考数学试卷〔理科〕
一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．〔5.00分〕集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，那么A∩B=〔　　〕
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．〔5.00分〕在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．〔5.00分〕执行如下列图的程序框图，输出的s值为〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔5.00分〕“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为〔　　〕
A．f B．f C．f D．f
5．〔5.00分〕某四棱锥的三视图如下列图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
6．〔5.00分〕设，均为单位向量，那么“|﹣3|=|3+|〞是“⊥〞的〔　　〕
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．〔5.00分〕在平面直角坐标系中，记d为点P〔cosθ，sinθ〕到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
8．〔5.00分〕设集合A={〔x，y〕|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，那么〔　　〕
A．对任意实数a，〔2，1〕∈A B．对任意实数a，〔2，1〕∉A
C．当且仅当a＜0时，〔2，1〕∉A D．当且仅当a≤时，〔2，1〕∉A
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
9．〔5.00分〕设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，那么{an}的通项公式为．
10．〔5.00分〕在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a〔a＞0〕与圆ρ=2cosθ相切，那么a=．
11．〔5.00分〕设函数f〔x〕=cos〔ωx﹣〕〔ω＞0〕，假设f〔x〕≤f〔〕对任意的实数x都成立，那么ω的最小值为．
12．〔5.00分〕假设x，y满足x+1≤y≤2x，那么2y﹣x的最小值是．
13．〔5.00分〕能说明“假设f〔x〕＞f〔0〕对任意的x∈〔0，2]都成立，那么f〔x〕在[0，2]上是增函数〞为假命题的一个函数是．
14．〔5.00分〕椭圆M：+=1〔a＞b＞0〕，双曲线N：﹣=1．假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．
三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．〔13.00分〕在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
〔Ⅰ〕求∠A；
〔Ⅱ〕求AC边上的高．
16．〔14.00分〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．
〔Ⅰ〕求证：AC⊥平面BEF；
〔Ⅱ〕求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
〔Ⅲ〕证明：直线FG与平面BCD相交．
17．〔12.00分〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
〔Ⅰ〕从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
〔Ⅱ〕从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
〔Ⅲ〕假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1〞表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0〞表示第k类电影没有得到人们喜欢〔k=1，2，3，4，5，6〕．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
18．〔13.00分〕设函数f〔x〕=[ax2﹣〔4a+1〕x+4a+3]ex．
〔Ⅰ〕假设曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线与x轴平行，求a；
〔Ⅱ〕假设f〔x〕在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
19．〔14.00分〕抛物线C：y2=2px经过点P〔1，2〕，过点Q〔0，1〕的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
〔Ⅰ〕求直线l的斜率的取值范围；
〔Ⅱ〕设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
20．〔14.00分〕设n为正整数，集合A={α|α=〔t1，t2，…tn〕，tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=〔x1，x2，…，xn〕和β=〔y1，y2，…yn〕，记
M〔α，β〕=[〔x1+y1﹣|x1﹣y1|〕+〔x2+y2﹣|x2﹣y2|〕+…〔xn+yn﹣|xn﹣yn|〕]
〔Ⅰ〕当n=3时，假设α=〔1，1，0〕，β=〔0，1，1〕，求M〔α，α〕和M〔α，β〕的值；
〔Ⅱ〕当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M〔α，β〕是奇数；当α，β不同时，M〔α，β〕是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
〔Ⅲ〕给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M〔α，β〕=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2022年北京市高考数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．〔5.00分〕集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，那么A∩B=〔　　〕
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根据集合的根本运算进行计算即可．
【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，
那么A∩B={0，1}，
应选：A．
【点评】此题主要考查集合的根本运算，根据集合交集的定义是解决此题的关键．比较根底．
2．〔5.00分〕在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的除法运算法那么，化简求解即可．
【解答】解：复数==，
共轭复数对应点的坐标〔，﹣〕在第四象限．
应选：D．
【点评】此题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是根本知识的考查．
3．〔5.00分〕执行如下列图的程序框图，输出的s值为〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．
【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．
在执行第一次循环时，S=1﹣=．
由于k=2≤3，
所以执行下一次循环．S=，
k=3，直接输出S=，
应选：B．
【点评】此题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．
4．〔5.00分〕“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为〔　　〕
A．f B．f C．f D．f
【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．
假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为：=．
应选：D．
【点评】此题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
5．〔5.00分〕某四棱锥的三视图如下列图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC=，CD=，
PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
应选：C．
【点评】此题考查简单几何体的三视图的应用，是根本知识的考查．
6．〔5.00分〕设，均为单位向量，那么“|﹣3|=|3+|〞是“⊥〞的〔　　〕
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．
【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|〞
∴平方得||2+9||2﹣6•=9||2+||2+6•，
即1+9﹣6•=9+1+6•，
即12•=0，
那么•=0，即⊥，
那么“|﹣3|=|3+|〞是“⊥〞的充要条件，
应选：C．
【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决此题的关键．
7．〔5.00分〕在平面直角坐标系中，记d为点P〔cosθ，sinθ〕到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为〔　　〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意d==，当sin〔θ+α〕=﹣1时，dmax=1+≤3．由此能求出d的最大值．
【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，
∴当sin〔θ+α〕=﹣1时，
dmax=1+≤3．
∴d的最大值为3．
应选：C．
【点评】此题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8．〔5.00分〕设集合A={〔x，y〕|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，那么〔　　〕
A．对任意实数a，〔2，1〕∈A B．对任意实数a，〔2，1〕∉A
C．当且仅当a＜0时，〔2，1〕∉A D．当且仅当a≤时，〔2，1〕∉A
【分析】利用a的取值，反例判断〔2，1〕∈A是否成立即可．
【解答】解：当a=﹣1时，集合A={〔x，y〕|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={〔x，y〕|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然〔2，1〕不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；
当a=4，集合A={〔x，y〕|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={〔x，y〕|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然〔2，1〕在可行域内，满足不等式，所以B不正确；
应选：D．
【点评】此题考查线性规划的解容许用，利用特殊点以及特殊值转化求解，防止可行域的画法，简洁明了．
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
9．〔5.00分〕设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，那么{an}的通项公式为　an=6n﹣3　．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{an}的通项公式．
【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，
∴，
解得a1=3，d=6，
∴an=a1+〔n﹣1〕d=3+〔n﹣1〕×6=6n﹣3．
∴{an}的通项公式为an=6n﹣3．
故答案为：an=6n﹣3．
【点评】此题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是根底题．
10．〔5.00分〕在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a〔a＞0〕与圆ρ=2cosθ相切，那么a=　1+．
【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．
【解答】解：圆ρ=2cosθ，
转化成：ρ2=2ρcosθ，
进一步转化成直角坐标方程为：〔x﹣1〕2+y2=1，
把直线ρ〔cosθ+sinθ〕=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
那么：=1，
解得：a=1±．a＞0
那么负值舍去．
故：a=1+．
故答案为：1+．
【点评】此题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．
11．〔5.00分〕设函数f〔x〕=cos〔ωx﹣〕〔ω＞0〕，假设f〔x〕≤f〔〕对任意的实数x都成立，那么ω的最小值为．
【分析】利用条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数f〔x〕=cos〔ωx﹣〕〔ω＞0〕，假设f〔x〕≤f〔〕对任意的实数x都成立，
可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0
那么ω的最小值为：．
故答案为：．
【点评】此题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
12．〔5.00分〕假设x，y满足x+1≤y≤2x，那么2y﹣x的最小值是　3　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，那么y=x+z，
平移y=x+z，
由图象知当直线y=x+z经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由得，即A〔1，2〕，
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决此题的关键．
13．〔5.00分〕能说明“假设f〔x〕＞f〔0〕对任意的x∈〔0，2]都成立，那么f〔x〕在[0，2]上是增函数〞为假命题的一个函数是　f〔x〕=sinx　．
【分析】此题答案不唯一，符合要求即可．
【解答】解：例如f〔x〕=sinx，
尽管f〔x〕＞f〔0〕对任意的x∈〔0，2]都成立，
当x∈[0，〕上为增函数，在〔，2]为减函数，
故答案为：f〔x〕=sinx．
【点评】此题考查了函数的单调性，属于根底题．
14．〔5.00分〕椭圆M：+=1〔a＞b＞0〕，双曲线N：﹣=1．假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为　2　．
【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：椭圆M：+=1〔a＞b＞0〕，双曲线N：﹣=1．假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标〔c，0〕，正六边形的一个顶点〔，〕，可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈〔0，1〕，
解得e=．
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为e==2．
故答案为：；2．
【点评】此题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．〔13.00分〕在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
〔Ⅰ〕求∠A；
〔Ⅱ〕求AC边上的高．
【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理结合大边对大角进行求解即可．
〔Ⅱ〕利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．
【解答】解：〔Ⅰ〕∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣，∴sinB===，
由正弦定理得=得sinA===，
那么A=．
〔Ⅱ〕由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c×，
即c2+2c﹣15=0，
得〔c﹣3〕〔c+5〕=0，
得c=3或c=﹣5〔舍〕，
那么AC边上的高h=csinA=3×=．
【点评】此题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决此题的关键．
16．〔14.00分〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．
〔Ⅰ〕求证：AC⊥平面BEF；
〔Ⅱ〕求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
〔Ⅲ〕证明：直线FG与平面BCD相交．
【分析】〔I〕证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF；
〔II〕建立坐标系，求出平面BCD的法向量，通过计算与的夹角得出二面角的大小；
〔III〕计算与的数量积即可得出结论．
【解答】〔I〕证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，
∵AB=BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴AC⊥平面BEF．
〔II〕解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如下列图：
那么B〔2，0，0〕，C〔0，1，0〕，D〔0，﹣1，1〕，
∴=〔﹣2，1，0〕，=〔0，﹣2，1〕，
设平面BCD的法向量为=〔x，y，z〕，那么，即，
令y=2可得=〔1，2，4〕，又EB⊥平面ACC1A1，
∴=〔2，0，0〕为平面CD﹣C1的一个法向量，
∴cos＜，＞===．
由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角，
∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣．
〔III〕证明：F〔0，0，2〕，〔2，0，1〕，∴=〔2，0，﹣1〕，
∴•=2+0﹣4=﹣2≠0，
∴与不垂直，
∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD，
∴FG与平面BCD相交．
【点评】此题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．
17．〔12.00分〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
〔Ⅰ〕从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
〔Ⅱ〕从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
〔Ⅲ〕假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1〞表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0〞表示第k类电影没有得到人们喜欢〔k=1，2，3，4，5，6〕．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【分析】〔Ⅰ〕先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解．
〔Ⅱ〕设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评〞，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．
〔Ⅲ〕由题意知，定义随机变量如下：ξk=，那么ξk服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
【解答】解：〔Ⅰ〕设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影〞，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，
第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
P〔A〕==0.025．
〔Ⅱ〕设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评〞，
第四类获得好评的有：200×0.25=50部，
第五类获得好评的有：800×0.2=160部，
那么从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
P〔B〕==0.35．
〔Ⅲ〕由题意知，定义随机变量如下：
ξk=，
那么ξk服从两点分布，那么六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
ξ1
1
0
P
0.4
0.6
E〔ξ1〕=1×0.4+0×0.6=0.4，
D〔ξ1〕=〔1﹣0.4〕2×0.4+〔0﹣0.4〕2×0.6=0.24．
第二类电影：
ξ2
1
0
P
0.2
0.8
E〔ξ2〕=1×0.2+0×0.8=0.2，
D〔ξ2〕=〔1﹣0.2〕2×0.2+〔0﹣0.2〕2×0.8=0.16．
第三类电影：
ξ3
1
0
P
0.15
0.85
E〔ξ3〕=1×0.15+0×0.85=0.15，
D〔ξ3〕=〔1﹣0.15〕2×0.15+〔0﹣0.85〕2×0.85=0.1275．
第四类电影：
ξ4
1
0
P
0.25
0.75
E〔ξ4〕=1×0.25+0×0.75=0.15，
D〔ξ4〕=〔1﹣0.25〕2×0.25+〔0﹣0.75〕2×0.75=0.1875．
第五类电影：
ξ5
1
0
P
0.2
0.8
E〔ξ5〕=1×0.2+0×0.8=0.2，
D〔ξ5〕=〔1﹣0.2〕2×0.2+〔0﹣0.2〕2×0.8=0.16．
第六类电影：
ξ6
1
0
P
0.1
0.9
E〔ξ6〕=1×0.1+0×0.9=0.1，
D〔ξ5〕=〔1﹣0.1〕2×0.1+〔0﹣0.1〕2×0.9=0.09．
∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．〔13.00分〕设函数f〔x〕=[ax2﹣〔4a+1〕x+4a+3]ex．
〔Ⅰ〕假设曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线与x轴平行，求a；
〔Ⅱ〕假设f〔x〕在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【分析】〔Ⅰ〕求得f〔x〕的导数，由导数的几何意义可得f′〔1〕=0，解方程可得a的值；
〔Ⅱ〕求得f〔x〕的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=，a＞，0＜a＜，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围．
【解答】解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=[ax2﹣〔4a+1〕x+4a+3]ex的导数为
f′〔x〕=[ax2﹣〔2a+1〕x+2]ex．
由题意可得曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线斜率为0，
可得〔a﹣2a﹣1+2〕e=0，
解得a=1；
〔Ⅱ〕f〔x〕的导数为f′〔x〕=[ax2﹣〔2a+1〕x+2]ex=〔x﹣2〕〔ax﹣1〕ex，
假设a=0那么x＜2时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增；x＞2，f′〔x〕＜0，f〔x〕递减．
x=2处f〔x〕取得极大值，不符题意；
假设a＞0，且a=，那么f′〔x〕=〔x﹣2〕2ex≥0，f〔x〕递增，无极值；
假设a＞，那么＜2，f〔x〕在〔，2〕递减；在〔2，+∞〕，〔﹣∞，〕递增，
可得f〔x〕在x=2处取得极小值；
假设0＜a＜，那么＞2，f〔x〕在〔2，〕递减；在〔，+∞〕，〔﹣∞，2〕递增，
可得f〔x〕在x=2处取得极大值，不符题意；
假设a＜0，那么＜2，f〔x〕在〔，2〕递增；在〔2，+∞〕，〔﹣∞，〕递减，
可得f〔x〕在x=2处取得极大值，不符题意．
综上可得，a的范围是〔，+∞〕．
【点评】此题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
19．〔14.00分〕抛物线C：y2=2px经过点P〔1，2〕，过点Q〔0，1〕的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
〔Ⅰ〕求直线l的斜率的取值范围；
〔Ⅱ〕设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
【分析】〔Ⅰ〕将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k的取值范围；
〔Ⅱ〕根据向量的共线定理即可求得λ=1﹣yM，μ=1﹣yN，求得直线PA的方程，令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得+为定值．
【解答】解：〔Ⅰ〕∵抛物线C：y2=2px经过点
P〔1，2〕，∴4=2p，解得p=2，
设过点〔0，1〕的直线方程为y=kx+1，
设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕
联立方程组可得，
消y可得k2x2+〔2k﹣4〕x+1=0，
∴△=〔2k﹣4〕2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，
故直线l的斜率的取值范围〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕；
〔Ⅱ〕证明：设点M〔0，yM〕，N〔0，yN〕，
那么=〔0，yM﹣1〕，=〔0，﹣1〕
因为=λ，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN，
直线PA的方程为y﹣2=〔x﹣1〕=〔x﹣1〕=〔x﹣1〕，
令x=0，得yM=，同理可得yN=，
因为+=+=+======2，
∴+=2，∴+为定值．
【点评】此题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
20．〔14.00分〕设n为正整数，集合A={α|α=〔t1，t2，…tn〕，tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=〔x1，x2，…，xn〕和β=〔y1，y2，…yn〕，记
M〔α，β〕=[〔x1+y1﹣|x1﹣y1|〕+〔x2+y2﹣|x2﹣y2|〕+…〔xn+yn﹣|xn﹣yn|〕]
〔Ⅰ〕当n=3时，假设α=〔1，1，0〕，β=〔0，1，1〕，求M〔α，α〕和M〔α，β〕的值；
〔Ⅱ〕当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M〔α，β〕是奇数；当α，β不同时，M〔α，β〕是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
〔Ⅲ〕给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M〔α，β〕=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【分析】〔Ⅰ〕直接根据定义计算．
〔Ⅱ〕注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．
〔Ⅲ〕根据抽屉原理即可得证．
【解答】解：〔I 〕 M〔α，α〕=1+1+0=2，M〔α，β〕=0+1+0=1．
〔II〕考虑数对〔xk，yk〕只有四种情况：〔0，0〕、〔0，1〕、〔1，0〕、〔1，1〕，相应的分别为0、0、0、1，
所以B中的每个元素应有奇数个1，
所以B中的元素只可能为〔上下对应的两个元素称之为互补元素〕：
〔1，0，0，0 〕、〔0，1，0，0〕、〔0，0，1，0〕、〔0，0，0，1〕，
〔0，1，1，1〕、〔1，0，1，1〕、〔1，1，0，1〕、〔1，1，1，0〕，
对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M〔α，β〕是偶数，
所以四元集合B={〔1，0，0，0〕、〔0，1，0，0〕、〔0，0，1，0〕、〔0，0，0，1〕}满足 题意，
假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，
那么互补元素中含有1个1的元素β与之满足M〔α，β〕=1不合题意，
故B中元素个数的最大值为4．
〔Ⅲ〕 B={〔0，0，0，…0〕，〔1，0，0…，0〕，〔0，1，0，…0〕，〔0，0，1…0〕…，
〔0，0，0，…，1〕}，
此时B中有n+1个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素α，β，满足M〔α，β〕=0，那么α，β中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在B有多于n+1个元素，由于α=〔0，0，0，…，0〕与任意元素β都有M〔α，β〕=0，
所以除〔0，0，0，…，0〕外至少有n+1个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi=yi=l，此时M〔α，β〕≥1不满足题意，
故B中最多有n+1个元素．
【点评】此题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．