2022年高考数学全国-卷理科第21题探究-崔静静(1).docx

点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点O不在直
取等号) ，所以 S
=8t=8(t≥2)．
线AB上，则ΔOAB的面积是1xy－xy”(该结论
2 1 2 21
ΔPQG
2t2 + 1
2t + 1
t
与 2015 年高考上海卷理科第 21( 1) 题的结论等价) ，
可得y=2t+1(t≥2)是增函数，所以当且仅当t
所以△PQG 的 面积为 S

ΔPQG
= 2S
t
ΔOPG =
2 2k3
( k2 +2) 槡2k2 +1
· －
2(3k2+2)
2k
=2，即k=1时，(SΔPQG)

max
=16．
9
槡2k2 +1 ( k2 +2) 槡2k2 +1
槡2k2 +1
因此，△PQG
16．
8k(k2 + 1)
 8(k+1)
面积的最大值为 9
:
k
)
=(k2+2)(2k2+1)=
2(k+
12
k
(k＞0)．
+ 1
参考文献
［1］甘志国．用导数证明函数不等式的4种常用方法［J］．高中数理化，2018(03):6－8．
设t=k+1(k＞0)，可得t≥2(当且仅当k=1时
k
( 收稿日期: 2019 － 08 － 09)
2019 年高考数学全国Ⅲ卷理科第 21 题探究
崔静静1 赵思林2
(1．西昌学院理学院四川西昌615013;
2．内江师范学院数学与信息科学学院四川内江641112)
摘 要: 2019年高考数学全国理科Ⅲ卷第 21题立意高、背景深、思维活、思路广、解法多，本文从试题的立意、背景、解法等方面进行分析与探究．
关键词: 高考数学; 试题立意; 解法探究
1 试题呈现
题目 (2019年全国Ⅲ卷理科第21题)已知曲
x2 1
线C: y = 2 ，点 D 为直线y = － 2 上的动点，过点 D 作
C的两条切线，切点分别为点A，B．
( 1) 证明: 直线 AB 过定点;
( 2) 若以E( 0，5 ) 为圆心的圆与直线AB 相切，且
2
切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积．
2 试题的立意
试题延续了全国卷最常考的风格，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，同时也涉及到中点弦、圆和抛物线弦相切等相关知识点． 本题与 2015 年高考数学四
川理科卷的第 10 题颇为相似，都是利用中点的性质得到直线的斜率，即为切点横坐标，由定点和切点连线的斜率和垂直，从而求得切点坐标．
该题将直线方程、抛物线、圆、切线、导数、向量等 知识有机结合，体现了知识的基础性与综合性，充分 考查了学生的数学思维与核心素养． 题目紧扣考纲， 相比以往的圆锥曲线试题有所创新，让学生产生似曾 相识又陌生的感觉． 从阅卷情况来看，此题入手容易， 得 1—4分的比比皆是，但得高分难、得满分很少． 因此，试题具有较高的信度和效度、合适的难度和较好 的区分度，这有利于区分考生不同思维层次的水平， 有利于高校选拔人才． 本题将知识、方法、思想、核心素养融为一体，是一道着眼于考查核心素养并且极富思维价值的好题［1］．
赵思林( 1962 － ) ，男，四川巴中人，硕士，教授，硕士生导师，研究方向: 高考数学、数学教育．
3 试题的背景
背景1 以抛物线的阿基米德三角形为背景，动
联立{y=2，

2
x
消去y可得x2－2kx－2b=0．
点 D 在抛物线的准线上，则切点弦过定点( 抛物线的焦点) ． 该性质的逆命题也成立，且切点弦 AB 的斜率为点 D 的横坐标．
y=kx+b．
因此，x1+x2=2k，x1x2=－2b．
x2
1
易得点A处的切线方程为y = xx－1． ②
2
背景2 圆锥曲线的极点和极线． 2
4 解法探究 x
同理，点B处的切线方程为y = xx－2． ③
4. 1 第( 1) 问解析
1
联立②③式，解得 D( x1 + x2
2 2
x1 x2 ) ．
解法1设点D(t，－2)，A(x1，y1)．
x2
2 ，2
又点 D 在直线 y = －1 上，则x1 x2 = －1 ．
又因为曲线C:y=2，则y'=x．
2 2 2
y + 1
所 以 b = － x1 x2 = 1 ．
1
则切线DA的斜率为x1，故x
2 =x． 2 2
－t 1
1
整理得2tx1－2y1+1=0．
同理2tx2－2y2+1=0．
故直线AB的表达式为2tx－2y+1=0．
所以直线 AB 过定点( 0，1 ) ．
2
故直线 AB 过定点( 0，1 ) ．
2
点评 联立直线与抛物线方程，借助一元二次方程根与系数的关系，解得纵截距b值．
解法4 设点D(t，－1)，则过点D的切线方程
2
1x2 x2 1
解法2 设点D(t，－
)，A(x，1)，B(x，2)．
为 y +
= k( x － t) ．
{
2 12 22 2
x2 x2
又因为曲线C:y=2，则y'=x．
则直线 AB 的方程为 y = x1 + x2 x － x1 x2 ．
y = 2 ，
联立
y + 1 = k( x － t)．
2 2 2
x
2 消去 y可得 x2
1

－2kx+2kt+1=0．④
易得，点A 处的切线方程为y = x1x－ 2． ①
将点 D 坐标代入①式，得
由题意可知Δ=4k2－4(2kt+1)=0．⑤
所以④的两根x1=x2=k．
－1
2
x2
= tx －1 ，即 t =
1 2
x2－1
x2－ 1
1 ．
2x1
x2
又因为曲线C:y=2，则y'=x．
x2
同理 t =
x2－ 1
2 ．
2x2
x2－ 1
设直线DA，DB斜率分别为k，k，且A(x，1)，
1 2 12
x
2
2
故1
= 2 ，化简得 xx
=－1．
B(x2，)．则k1，k2是方程⑤的两根，则k1+k2=2t，
2x1
2x2
1 2
x +x 1
2
1k1k2=－1．
故直线AB的方程为y=1 2x+ ，过点(0，)．
k +k kk
2 2 2
点评 该解法1与解法2相似．避免了设直线AB 的方程，通过分析得到DA，DB的斜率分别为x1，x2，再代入化简，便可轻松获解．
解法3设点D(t，－1)，A(x，y)．
2 1 1
x2
所以直线AB的方程为y=1 2x －1 2．
2 2
故直线 AB 过定点( 0，1 ) ．
2
点评 解法3与解法4有异曲同工之处，据悉， 该思想方法是大多数学生在考场上选择的方法． 此法思维切入点低，但运算量稍大，充分体现了在数学应
又因为曲线C:y=2，则y'=x．
x2
试中“运算能力是万能之本”．
x2 解法5 由对称性可知直线AB所过定点必在y
设直线AB的表达式y=kx+b，A(x，1)，B(x，2)．
1 2 22
轴上．

当点D 坐标为( 0，－1 ) 时，该点到抛物线的两切
2
理念．

1 1
，
点为 A ( 1 1
2
) ，B ( － 11
，
2
) ，直线 AB 与 y 轴交于

解法8 由题意有
y1 －2
x1

= t =
y2 － 2
x2
， 即 kAF =
点M( 0，1 ) ．
2
kBF，即A，B，F三点共线．
x1 y2 － x2 y11
设过点 M( 0 1
) 的直线 AB 的方程为 y = kx +
化简上式得
x1 －x2
= 2 ．
，
2 y－y1
y2 － y1
1x2 x2
直线 AB的方程为x－ x
= x － x ．
，A(x，1)，B(x，2)．
1 2 1
{
2 12 22
x2
故当x=0时，y=1．
2
y = 2 ，
联立
y = kx + 1．

消去y可得x2－2kx－1=0．
即直线 AB 过定点( 0 1 ) ．
，
2
2
从而，x1+x2=2k，x1x2=－1． x2
又曲线C:y=2，则y'=x．
x2
1
2
点 A 处的切线方程为 y = x x －1 ，同理点 B 处
的切线方程为 y = x x －
x2
2 ．

点评 第(1)问只要把握住切点弦的方程和曲线
在某点的切线方程是一致的，问题就能迎刃而解．
4. 2 第( 2) 问解析
解法1 设直线AB的方程为y=tx+1．
2
联立
y =
x2
2
，
消去 y 可得 x2 － 2tx － 1 = 0．
{
2 2
x + x xx 1
y = tx + 1 ．
2
所以D(12，12) ，即D(k，－ )．
则有x+x=2t，y+y=t(x+x)+1=2t2+1．
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
设点M为A，B的中点，则M(t，t2+1)．
则 D( k，－ 2 ) 是直线 y = － 2 上的动点，所以直
，
线 AB 过定点( 0 1 ) ．
由于EM⊥AB，而→=(t，t
EM
2
2
AB
2－2)，→与向量(1，
2k)平行，所以t+(t－2)t=0，解得t=0或t=±1．
点评 该方法体现了由特殊到一般的数学思想方法．
解法6 设点D(t，－1)，则直线AB是点D的
2
极线．
y －1
从而，直线AB的方程为2= tx．
当t=0时，圆的方程为x2+(y－5)2=4;
2
当t=±1时，圆的方程为x2+(y－5)2=2．
2
当t=0时，S=3;当t=±1时，S=4槡2．
因此，四边形 ADBE的面积为 3或 4槡2．
1
2 2 解法2 设直线AB的方程为y=tx+2．
2 2
化简得 y = tx +1 ，所以直线 AB 过定点( 0，1 ) ．
x2 x2
由 t = y2 － y1
2 －1
= 2 2
= x1 + x2 ，
解法7焦点F(0，1)和准线y=－1是抛物线
x2 －x1
x2－x1 2
2 2 y +y x +x 1 1
的极点和极线．
由配极原则，点F的极线过点D，则点D的极线
，
过点F，即直线AB过定点(01)．
化简得12=t(12)+ =t2+ ．
2 2 2 2
故中点为M(t，t2+1)．下同解法1．
2
2
点评 如果考生在考场上能够想到极点和极线的基本定理，便可“秒杀”此题．一般来说，“想得多，就算得少”，相反“想得少，就算得多”，面对像高考这样短时间内选拔人才的方式，应重视“多想少算”的教育
点评 利用中点结论可得 AB 斜率即为切点横坐标，由定点和切点连线的斜率和垂直，可求得切点坐标．这种“设而不求”法通常用于对称性问题［2］．相较解法1，解法2运算用时少，效率高，不易出错．
解法3 由题意有AE=BE．化简该表达式，

可得Ｒ2=2或Ｒ2=4．其余同上．
点评 第( 2) 问实际上考查了圆和圆锥曲线的位置关系，涉及中点弦，圆和抛物线的弦相切，在近几年的全国卷中多次出现，应引起重视．
5 结束语
本题解法较多，有的方法虽然也能解决问题，但 运算量偏大，过程较繁琐． 只要灵活地选择数学方法， 便能出奇制胜，达到多想少算的效果． 教师还应把握好因材施教的教学原则，对于学有余力的学生，应要
求其掌握极点、极线基本定理，阿基米德三角形性质等相关知识点．
参考文献:
［1］崔静静，赵思林． 一个数学探究性问题的多角度研究———2016年高考数学四川卷理科第15题评析与引申［J］．中国数学教育，2017(06):47－50．
［2］王后雄，马春华等． 高中数学教材完全解读，选修 2 － 1
［M］．北京:中国青年出版社，2015．
( 收稿日期: 2019 － 06 － 22)
对一道经典的三角函数高考试题的多视角探究
张 科1 吴志鹏2
摘 要: 本文从不同的视角出发，对 2018年全国新课标Ⅰ卷的一道填空题进行研究、剖析，使学生在学习过程中懂原理、会方法，思维得到不断提升，同时也能很好地培养学生数学核心素养．
关键词: 高考; 三角函数; 探究
最值是函数图象的重要特征，也是函数的重要性 质，函数性质在高考中属于必考内容，求函数的最值，
在于研究函数的图象和利用其性质进行求解． 三角函

所以cosx=1或cosx=－1． 2
当 cosx = 1 ，即 x =π或 x = 5π时，函数f( x) 取得
数的最值问题的求解也是如此，既可以迁移函数最值的求解方法，也可以根据三角函数自身的定义、图象

极值．
2 3 3
和性质进行研究． 在高考备考中，如能从不同的视角出发，对三角试题进行研究、分析，就能让学生在学习
当cosx=－1，即x=π时，函数f(x)取得极值．
又因为 f ( 5π) = － 3 槡3 ，f ( π) = 3 槡3 ，f ( 0 ) =
3 2 3 2
过程中更好地掌握方法，培养数学核心素养． 本文以
2018 年全国新课标Ⅰ卷的一道填空题为例，阐述解决三角函数最值问题的多种视角，彰显其作为高考试题所散发出来的魅力．
1 题目呈现
题目 (2018年全国新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)
=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值．
2 解法赏析
2．1导数的视角
解析 因为 f( x) = 2sinx + sin2x 的最小正周期为T=2π，所以f'(x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+ cosx － 1) = 2( 2cosx － 1) ( cosx + 1) ．
令f'(x)=0，即2cos2x+cosx－1=0．
f(2π)=0，f(π)=0，所以比较大小可知，函数f(x)最
3 槡 3
小值为 － 2 ．
评析 利用导数求函数的极值，再比较极值与端点的函数值大小确定函数最值，是求函数最值常用的方法． 本题利用函数的周期性在一个周期内求三角函数的极值和周期起始点与终点的函数值，比较大小获得函数的最小值．
2．2平面几何的视角
解析f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)．
如图1，以AB为直径作单位圆，点C为圆上的任意一点，CD⊥AB于点E．