自学考试线性代数试卷及答案集合.doc

自学考试线性代数试卷及答案集合资料仅供参考 10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】A. B.0 C.1 D.22. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，则=【 】A. B. C. D.23. 设向量组的秩为2，则中 【 】A. 必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】A. B. C. D.5. 二次型的正惯性指数为 【 】A.0 B.1 C.2 D.3二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、6. 设，则方程的根是 7. 设矩阵,则= 8. 设为3阶矩阵，,则行列式= 9. 设矩阵,若矩阵满足,则= 10. 设向量,则由线性表出的表示式为 11. 设向量组线性相关，则数 12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为 13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为 14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则 15. 设二次型正定，则实数的取值范围是 三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 计算4阶行列式的值。17. 已知矩阵，求。18. 设矩阵,且矩阵满足,求。19. 设向量,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。四、证明题（本题7分）23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。 10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1. D 2.A 3.C 4.B 5.C二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 57. 8.9.10.11.12.13.14.15. 三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 解 = .3分 .9分17. 解 .2分 .7分从而 .9分18. 解 由,得 .2分又由可逆 .5分由,可得两边左乘,得到 .9分19解 设， .2分该线性方程组的增广矩阵为 .6分由于能有线性表出，则必有此时，方程组有唯一解表示式为 .9分20. 解 方程组的增广矩阵 .2分可知4，方程组有无穷多解 .4分由同解方程组求出方程组的一个特解,导出组的一个基础解系为 .7分从而方程组的通解为为任意常数） .9分21. 解 由条件可知矩阵的特征值为 .2分 由，得 .4分对于，由线性方程组求得一个特征向量为 对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为 令,则 .9分22. 解 二次型的矩阵 .2分由故的特征值为 .4分对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系 将其单位化，得 .7分令,则为正交矩阵，经正交变换，化二次型为标准形 .9分四、 证明题（本题7分）23. 证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得 .2分其中必有。否则，如果，则上式化为其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 .5分类似地，可证明 .7分 4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷课程代码：04184一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、 设行列式D1=，D2=，则D2= 【 】 A.-D1 B.D1 C.2D1 D.3D12、 若A=，B=，且2A=B，则 【 】 A.x=1，y=2 B.x=2，y=1 C.x=1，y=1 D.x=2，y=23、已知A是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的是 【 】 A. B. C. D.4、 设2阶实对称矩阵A的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E+A）x=0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.35、 矩阵有一个特征值为 【 】 A.-3 B.-2 C.1 D.2二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6、 设A为3阶矩阵，且=3，则= .7、 设A=，则A*= .8、 已知A=，B=，若矩阵X满足AX=B，则X= .9、 若向量组(1，2，1)T，(k-1，4，2)T线性相关，则数k= .10、 若齐次线性方程组有非零解，则数= .11、 设向量(1，-2，2)T，(2，0，-1)T，则内积（）= .12、 向量空间V=x=(x1，x2，0)T|x1，x2的维数为 .13、 与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为 .14、 矩阵的两个特征值之积为 .15、 若实二次型f(x1，x2，x3)=正定，则数的取值范围是 .三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16、 计算行列式D=的值.17、 设2阶矩阵A的行列式，求行列式的值.18、 设矩阵A=，B=，矩阵X满足X=AX+B，求X.19、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20、 利用克拉默法则解线性方程组，其中两两互不相同.21、 已知矩阵与相似，求数的值.22、 用正交变换化二次型为标准型，并写出所作的正交变换.四、 证明题（本题7分）23、 设A，B均为n阶矩阵，且A=B+E，B2=B，证明A可逆.答案：一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 9 7.8. 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13. 14. -1 15.1三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D= = 17. 解 由于，因此可逆，于是 故 = 18.解 由，化为， 而可逆，且 故 19. 解 由于 因此向量组的秩为2，是一个极大线性无关组，而且有 注：极大线性无关组不唯一。20. 解 方程组的系数行列式 D= 因为a,b,c两两互不相同，因此，故方程有唯一解。 又， 由克拉默法则得到方程组的解 21. 解 因为矩阵A与B相似，故 且, 即 因此a=1,b=4. 22. 解 二次型的矩阵 由于，因此A的特征值 对于特征值，由方程组得到A属于特征值的一个单位特征向量对于特征值由方程组得到A属于特征值的一个单位特征向量.得正交矩阵，作正交变换，二次型化为标准形 四、 证明题（本题7分）23. 证 因为,因此,又, 故, 化简得 于是,故A可逆。 10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。考生答题注意事项：1本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用05毫米黑色字迹签字笔作答。4合理安排答题空间。超出答题区域无效。说明：在本卷中。AT表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵， A 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。1已知2阶行列式 A-2 B-l C1 D23设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A若st，则必线性相关 B若st，则必线性相关 C若线性无关，则st D若线性无关，则st4设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为mn矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A若r1=m，则Ax=O有非零解 B若r1=n，则Ax=0仅有零解 C若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D若r2=n，则Ax=b有惟一解5. 设n阶矩阵A满足2E-3A=0，则A必有一个特征值= 第二部分 非选择题二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。6设行列式中元素aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=_7已知矩阵，则A2+2A+E=_8设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=_9设向量，则由向量组线性表出的表示式为=_10设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应满足_11设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数k=_12设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A3E必有一个特征值是_13设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=_14设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=_15二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为_三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分) 请在答题卡上作答。16. 计算行列式的值17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X18. 已知矩阵A,B满足关系式B=E-A，其中，计算 (1)E+A+A2与A3; (2)B(E+A+A2)19. 求向量组a1=(1，-l，2，1)T，a2=(1，0,2，2)T，a3=(0，2，1，1)T，a4=-(1，0，3，1)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出20. 设3元线性方程组，问数a，b分别为何值时，方程组有无穷 多解?并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)21. 设矩阵，求A的全部特征值和特征向量22. 用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性 变换四、证明题(本大题共l小题，共7分) 请在答题卡上作答。23设向量组a1，a2，a3的秩为2，且a3可由a1，a2线性表出，证明a1，a2是向量组 a1，a2，a3的一个极大线性无关组