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自学考试线性代数试卷及答案集合

资料仅供参考
10月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184线性代数（经管类）试卷
本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设3阶行列式=2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2. 设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，
则=【 】
A. B. C. D.2
3. 设向量组的秩为2，则中 【 】
A. 必有一个零向量
B. B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4. 设3阶矩阵,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5. 二次型的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
6. 设，则方程的根是
7. 设矩阵,则=
8. 设为3阶矩阵，,则行列式=
9. 设矩阵,,若矩阵满足,则=
10. 设向量,,,则由线性表出
的表示式为
11. 设向量组线性相关，
则数
12. 3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数
为
13. 设3阶矩阵满足，则必有一个特征值为
14. 设2阶实对称矩阵的特征值分别为和1，则
15. 设二次型正定，
则实数的取值范围是

三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 计算4阶行列式的值。

17. 已知矩阵，求。

18. 设矩阵,且矩阵满足,求。

19. 设向量
,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。

20. 求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21. 设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。

22. 用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）
23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。

10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试题答案及评分参考
（课程代码04184）
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1. D 2.A 3.C 4.B 5.C
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. ＜＜
三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16. 解 = ......3分
......9分
17. 解 ......2分
..........7分
从而 ......9分
18. 解 由,得 ......2分
又由可逆 ......5分
由,可得
两边左乘,得到
......9分
19解 设， ......2分
该线性方程组的增广矩阵为
......6分
由于能有线性表出，则必有
此时，方程组有唯一解
表示式为 ......9分
20. 解 方程组的增广矩阵
......2分
可知＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分
由同解方程组
求出方程组的一个特解,
导出组的一个基础解系为 ......7分
从而方程组的通解为

为任意常数） ......9分
21. 解 由条件可知矩阵的特征值为 ......2分
由，得 ......4分
对于，由线性方程组求得一个特征向量为

对于，由线性方程组求得两个线性无关的特征向量为

令,则 ......9分
22. 解 二次型的矩阵 ......2分
由
故的特征值为 ......4分
对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系

将其单位化，得 ......7分
令,则为正交矩阵，
经正交变换，化二次型为标准形 ......9分
四、 证明题（本题7分）
23. 证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得
......2分
其中必有。否则，如果，则上式化为
其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分

4月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试卷
课程代码：04184
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1、 设行列式D1=，D2=，则D2= 【 】
A.-D1 B.D1 C.2D1 D.3D1
2、 若A=，B=，且2A=B，则 【 】
A.x=1，y=2 B.x=2，y=1
C.x=1，y=1 D.x=2，y=2
3、已知A是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的是 【 】
A. B. C. D.
4、 设2阶实对称矩阵A的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E+A）x=0的基础
解系所含解向量的个数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
5、 矩阵有一个特征值为 【 】
A.-3 B.-2 C.1 D.2
二、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6、 设A为3阶矩阵，且=3，则= .
7、 设A=，则A*= .
8、 已知A=，B=，若矩阵X满足AX=B，则X= .
9、 若向量组(1，2，1)T，(k-1，4，2)T线性相关，则数k= .
10、 若齐次线性方程组有非零解，则数= .
11、 设向量(1，-2，2)T，(2，0，-1)T，则内积（）= .
12、 向量空间V={x=(x1，x2，0)T|x1，x2}的维数为 .
13、 与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为 .
14、 矩阵的两个特征值之积为 .
15、 若实二次型f(x1，x2，x3)=正定，则数的取值范围是
.
三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16、 计算行列式D=的值.
17、 设2阶矩阵A的行列式，求行列式的值.
18、 设矩阵A=，B=，矩阵X满足X=AX+B，求X.

19、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20、 利用克拉默法则解线性方程组，其中两两互不相同.
21、 已知矩阵与相似，求数的值.
22、 用正交变换化二次型为标准型，并写出所作的正交变换.
四、 证明题（本题7分）
23、 设A，B均为n阶矩阵，且A=B+E，B2=B，证明A可逆.

答案：
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）
1.C 2.A 3.D 4.C 5.B
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 9 7.
8. 9. 3
10. -2 11. 0
12. 2 13.
14. -1 15.＞1
三、 计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16.解 D=
=
17. 解 由于，因此可逆，于是
故
=
18.解 由，化为，
而可逆，且
故
19. 解 由于
因此向量组的秩为2，是一个极大线性无关组，而且有

注：极大线性无关组不唯一。
20. 解 方程组的系数行列式
D=
因为a,b,c两两互不相同，因此，故方程有唯一解。
又，，
由克拉默法则得到方程组的解

21. 解 因为矩阵A与B相似，故
且, 即
因此a=1,b=4.
22. 解 二次型的矩阵
由于，因此A的特征值
对于特征值，由方程组得到A属于特征值的一个单位特征向量
对于特征值由方程组得到A属于特征值的一个单位特征向量.
得正交矩阵，作正交变换，
二次型化为标准形
四、 证明题（本题7分）
23. 证 因为,因此,又,
故,
化简得 于是,故A可逆。
10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数(经管类) 试卷
(课程代码04184)
本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：
1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。超出答题区域无效。
说明：在本卷中。AT表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，
︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分 选择题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”
的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。
1．已知2阶行列式
A．-2 B．-l C．1 D．2

3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中
正确的是
A．若s≤t，则必线性相关
B．若s≤t，则必线性相关
C．若线性无关，则s≤t
D．若线性无关，则s≤t
4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则
下列结论中正确的是
A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解
C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解
5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=

第二部分 非选择题
二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分)
请在答题卡上作答。
6．设行列式中元素aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．
7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________．
8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________．
9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________．
10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应
满足__________．
11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为

若该方程组无解，则数k=_________．
12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．
13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．
14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________．
15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________．
三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)
请在答题卡上作答。
16. 计算行列式的值．
17. 已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．
18. 已知矩阵A,B满足关系式B=E-A，其中，计算
(1)E+A+A2与A3;
(2)B(E+A+A2)．
19. 求向量组a1=(1，-l，2，1)T，a2=(1，0,2，2)T，a3=(0，2，1，1)T，a4=-(1，0，3，1)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．
20. 设3元线性方程组，问数a，b分别为何值时，方程组有无穷
多解?并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．
21. 设矩阵，求A的全部特征值和特征向量．
22. 用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性
变换．
四、证明题(本大题共l小题，共7分)
请在答题卡上作答。
23·设向量组a1，a2，a3的秩为2，且a3可由a1，a2线性表出，证明a1，a2是向量组
a1，a2，a3的一个极大线性无关组．