江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十函.doc

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课时跟踪检测（二十）函数y=A sin(ωx+φ)的图象及其应用
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1．y＝2sin的初相为________．
答案：－
2．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．
解析：最小正周期为T＝＝4π.
答案：4π
3．(2018·苏州高三期中调研)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一条对称轴是x＝，则φ＝________.
解析：当x＝时，函数y＝sin(2x＋φ)取得最值，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜，所以φ＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝sin，x＝为f(x)的图象的一条对称轴，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为________．
解析：∵x＝为f(x)的图象的一条对称轴，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin＝sin的图象．
答案：g(x)＝sin
5．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f＝________.
解析：由题意可知该函数的周期为，
所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
所以f＝tan ＝.
答案：
6．(2018·启东中学检测)在函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．
解析：当y＝0时，sin＝0，所以4x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝π－，k∈Z，取k＝0，则x＝－，取k＝1，则x＝，所以离原点最近的交点坐标.
答案：
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1．振动量y＝sin(ωx＋φ)的频率为，则ω＝________.
解析：因为y＝sin(ωx＋φ)的频率为，所以其周期T＝，所以ω＝＝3π.
答案：3π
2．(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．
解析：将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位长度，
得到函数y＝sin的图象．
∵平移后得到的图象经过坐标原点，且0＜φ＜，
∴－2φ＋＝0，解得φ＝.
答案：
3.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：由图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，
又因为＝，所以f(x)的图象过点，
即sin＝1，得φ＝，
所以f(x)＝sin.
而x1＋x2＝－＋＝，
所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin ＝.
答案：
4．(2019·启东中学检测)将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．
解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin的图象．
∵g(x)是偶函数，
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋kπ，k∈Z.
又φ＜0，∴φ的最大值是－.
答案：－
5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝－sinx，所以f(1)＝－.
答案：－
6．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f ＝________.
解析：由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f＝
sin＝0.
答案：0
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，
易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
因为x∈，所以－≤2x－≤，
所以－≤f(x)≤3.
答案：
8．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f(x)≤对x∈R恒成立，即＝＝1，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为f ＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin，
所以由三角函数的单调性知2x－∈(k∈Z)，
解得x∈(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．(2019·连云港调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，点P为其图象上一个最高点．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)图象上所有点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．

解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2.
又点P为其图象上一个最高点，
所以A＝2，sin＝1，
又－＜φ＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)由题意得g(x)＝f
＝2sin＝2sin，
当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，2sin∈(－1,2]，
故g(x)在区间上的值域为(－1,2]．
10．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(2cos2ωx－1)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin.
令2x－＝t，若0≤x≤，则－≤t≤.
因为g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝sin t与y＝－k在区间上有且只有一个交点，作出函数y＝sin t的图象如图所示．
由正弦函数的图象可知－≤－k＜或－k＝1.
所以－＜k≤或k＝－1.
所以实数k的取值范围为∪{－1}．
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1．已知函数f(x)＝2sin－1在区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b－a的最小值为________．
解析：要使b－a最小，则f(x)在区间[a，b]上零点个数恰好是10，由函数f(x)的图象可知，一个周期内只有2个零点，且两个零点之间的最小间隔为，所以满足条件的b－a的最小值为＋4π＝.
答案：
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).
则下列叙述正确的是________．
①R＝6，ω＝，φ＝－；
②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；
③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；
④当t＝20时，|PA|＝6.

解析：①由点A(3，－3)，可得R＝6，由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，则φ＝－，故①正确；
②由①知，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，即当t－＝时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；
③当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；
④f(t)＝6sin，当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝，所以|PA|＝6，故④正确．
答案：①②④
3.(2019·如皋中学模拟)如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈(0，π))，x∈[－4,0]的图象，图象的最高点为B(－1,2)．边界的中间部分为长1 km的直线段CD，且CD∥EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求曲线段FGBC的函数表达式；
(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF的最近距离为1 km，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO的长；
(3)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．
解：(1)由已知条件，得A＝2，
∵＝3，∴T＝＝12，∴ω＝.
又∵当x＝－1时，有y＝2sin＝2，φ∈(0，π)，
∴φ＝.∴曲线段FGBC的解析式为

y＝2sin，x∈[－4,0]．

(2)由y＝2sin＝1，
得x＋＝＋2kπ(k∈Z)或x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得x＝12k－3或x＝12k＋1(k∈Z)，
又x∈[－4,0]，∴x＝－3，∴G(－3,1)，
∴OG＝.∴景观路GO长为 km.
(3)如图，易知OC＝，CD＝1，∴OD＝2，∠COD＝，
作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1＝OPsin θ＝2sin θ，
在△OMP中，＝，
∴OM＝＝·sin＝2cos θ－sin θ.
故S平行四边形OMPQ＝OM·PP1＝·2sin θ＝4sin θcos θ－sin2 θ＝2sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，θ∈.
当2θ＋＝，即θ＝时，平行四边形OMPQ面积的最大值为.