2022届高考数学大二轮复习刷题首秧第一部分刷考点考点十七推理与证明理.doc

考点十七　推理与证明
一、选择题
1．(2022·河北衡水质检四)利用反证法证明：假设＋＝0，那么x＝y＝0，假设为(　　)
A．x，y都不为0 B．x，y不都为0
C．x，y都不为0，且x≠y D．x，y至少有一个为0
答案　B
解析　x＝y＝0的否认为x≠0或y≠0，即x，y不都为0，应选B.
2．(2022·重庆巴蜀中学适应性月考七)某演绎推理的“三段〞分解如下：
①函数f(x)＝lg x是对数函数；②对数函数y＝logax(a>1)是增函数；③函数f(x)＝lg x是增函数，那么按照演绎推理的三段论模式，排序正确的选项是(　　)
A．①→②→③ B．③→②→①
C．②→①→③ D．②→③→①
答案　C
解析　大前提是②，小前提是①，结论是③.故排列的次序应为②→①→③，应选C.
3．假设P＝－，Q＝－，a≥0，那么P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P<Q
C．P＝Q D．以上都不对
答案　A
解析　易知P>0，Q>0，＝＝，＝＝，所以<，所以P>Q.
4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
答案　B
解析　依题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2，应选B.
5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，那么a，b，c三数(　　)
A．至少有一个不大于2 B．都大于2
C．至少有一个不小于2 D．都小于2
答案　C
解析　a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，所以a，b，c三数至少有一个不小于2，应选C.
6．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，那么照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)
答案　A
解析　观察三个图案知，其规律是每次闪烁，三块黑色区域都顺时针旋转两个角．应选A.
7．观察以下不等式：＋1<2，2＋<2，＋<4，＋2<2，…据此可以归纳猜测出的一般结论为(　　)
A．＋<2(n∈N)
B.＋<2(n∈N)
C．＋<2(n≥2且n∈N*)
D.＋<2(n≥2且n∈N*)
答案　D
解析　＋1<2即为＋<2，2＋<2即为＋<2，＋<4即为＋<2，＋2<2即为＋<2，故可以归纳猜测出的一般结论是：＋<2(n≥2且n∈N*)，应选D.
8．在△ABC中，假设AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，那么△ABC的外接圆半径r＝，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，假设SA，SB，SC两两互相垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，那么四面体S－ABC的外接球半径R＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　在四面体S－ABC中，三条棱SA，SB，SC两两互相垂直，那么可以把该四面体补成长方体，其中SA＝a，SB＝b，SC＝c是一个顶点处的三条棱长，所以外接球的直径就是长方体的体对角线，那么半径R＝，应选A.
二、填空题
9．观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．
答案　1296
解析　第一行的和为12，第二行的和为32＝(1＋2)2，
第三行的和为62＝(1＋2＋3)2，
第四行的和为(1＋2＋3＋4)2＝102，
…
第八行的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296.
10．所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…按此规律，8128可表示为________．
答案　26＋27＋…＋212
解析　因为6＝21＋22,28＝22＋23＋24，所以496＝16×31＝24×(25－1)＝＝24＋25＋26＋27＋28，…，8128＝64×127＝26×(27－1)＝＝26＋27＋…＋212.
11．(2022·辽宁朝阳重点高中第四次模拟)甲、乙、丙、丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了〞；乙说：“丙阅读了〞；丙说：“甲和丁都没有阅读〞；丁说：“乙阅读了〞．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是________．
答案　乙
解析　假设甲阅读了语文老师推荐的文章，那么甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；假设乙阅读了语文老师推荐的文章，那么甲、乙说的都不对，丙、丁说的都对，满足题意；假设丙阅读了语文老师推荐的文章，那么甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；假设丁阅读了语文老师推荐的文章，那么甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意．
12．数列{an}为等差数列，假设am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，那么am＋n＝.类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，假设bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，那么可以得到bm＋n＝________.
答案　
解析　设等比数列的首项为b1，公比为q≠0.
那么bm＝c＝b1qm－1，bn＝d＝b1qn－1，＝b·q(n－m)(n＋m－1)，所以＝b1qn＋m－1＝bm＋n.
三、解答题
13．设Sn为数列{an}的前n项和，给出如下数列：
①5,3,1，－1，－3，－5，－7，…；
②－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，….
(1)对于数列①，计算S1，S2，S4，S5；对于数列②，计算S1，S3，S5，S7；
(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足ak＋ak＋1＝0的这一类等差数列{an}前n项和的规律，猜测一个正确的结论，并加以证明．
解　(1)对于数列①：S1＝5，S2＝8，S4＝8，S5＝5；
对于数列②：S1＝－14，S3＝－30，S5＝－30，S7＝－14.
(2)∵ak＋ak＋1＝0，∴2a1＝(1－2k)d，
∴S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d
＝[(2k－n)(1－2k)＋(2k－n)(2k－n－1)－(1－2k)n－n(n－1)]
＝[2k－4k2－n＋2nk＋4k2－2kn－2k－2nk＋n2＋n－n＋2kn－n2＋n]
＝·0
＝0.
一、选择题
1．(2022·甘肃静宁一中第三次模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，那么当n＝k＋1时，左端应在n＝k的根底上加上(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
D.
答案　C
解析　当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋k2＋1＋k2＋2＋…＋(k＋1)2，增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.应选C.
2．(2022·安徽安庆6月模拟)大于1的自然数的三次幂可以分解成假设干个奇数的和，比方23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，按此规律，可得453的分解和式中一定不含有(　　)
A．2069 B．2039
C．2022 D．1979
答案　D
解析　根据题中规律，443可以分解成44个奇数的和，443的分解和式中最后一个奇数是44×45－1＝1979，所以453＝1981＋1983＋…＋2069.应选D.
3．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，那么斜边长为 ，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为 ，那么三棱锥顶点到底面的距离为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　设三条棱长分别为x，y，z，又因为三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，∴S1＝xy，S2＝yz，S3＝xz，那么S2S3＝×xyz2＝S1z2，∴z＝ .∵类比推理可得底面积为，假设三棱锥顶点到底面的距离为h，可知三棱锥体积为V＝S1× ＝h×，
∴h＝＝，应选C.
4．(2022·北京通州一模)由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，….假设数对(m，n)满足(m2－1)(n2－3)＝2022，其中m，n∈N*，那么数对(m，n)排在(　　)
A．第351位 B．第353位
C．第378位 D．第380位
答案　B
解析　2022＝3×673(673为质数)，故或(m，n∈N*)，解得m＋n＝28，在所有数对中，两数之和不超过27的有1＋2＋3＋…＋26＝×26＝351个，在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个[第一个是(1,27)]，故数对(2,26)排在第351＋2＝353位，应选B.
答案　A
解析　
6．我国古代数学名著?九章算术?中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣．〞其表达的是一种无限与有限的转化过程，比方在 中“…〞即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，那么1＋＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　设1＋＝x，那么1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，应选C.
7．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，假设＝＝＝＝k，那么h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，假设＝＝＝＝K，那么H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　根据三棱锥的体积公式V＝SH，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
8．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是(　　)
①“数轴上两点间距离公式为|AB|＝，平面上两点间距离公式为|AB|＝〞，类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|＝〞；
②“代数运算中的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2〞类比推出“向量中的运算(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2仍成立〞；
③“平面内两不重合的直线不平行就相交〞类比到空间，“空间内两不重合的直线不平行就相交〞也成立；
④“圆x2＋y2＝1上点P(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝1〞，类比推出“椭圆＋＝1(a>b>0)上点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1〞．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　对于①，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②，(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，类比正确；对于③，空间内两不重合的直线，有平行、相交和异面三种情况，类比错误；对于④，椭圆＋＝1(a>b>0)上点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1为真命题．综合上述，可知正确个数为3，应选C.
二、填空题
9．观察以下等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
…
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
答案　
解析　观察前4个等式，由归纳推理可知－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝.
10．(2022·全国卷Ⅱ改编)在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中成绩最高的是________．
答案　甲
解析　假设甲预测正确，那么乙、丙预测错误，那么甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲、乙、丙；假设乙预测正确，那么丙预测也正确，不符合题意；假设丙预测正确，那么甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意．
11．(2022·山东淄博3月模拟)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成假设干个单分数和的形式．例如＝＋，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2,3,4，…)的分数的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此规律，＝________(n＝2,3,4，…)．
答案　＋
解析　通过分析题目所给的特殊项，的分解是由两个局部构成，第一个局部是，第二个局部是，故＝＋.
12．kC＝nC(1≤k≤n，且k，n∈N*)可以得到几种重要的变式，如：C＝C，将n＋1赋给n，就得到kC＝(n＋1)C，…，进一步能得到：1C＋2C·21＋…＋nC·2n－1＝nC＋nC21＋nC·22＋…＋nC·2n－1＝n(1＋2)n－1＝n·3n－1.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝________.
答案　
解析　由kC＝(n＋1)C得C＝C，那么C·k＝Ck，所以C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝C·0＋C·1＋C·2＋…＋C·n＋1－·C·0＝×＝·.
三、解答题
13．f(n)＝…(n∈N*)，g(n)＝(n∈N*)．
(1)当n＝1,2,3时，分别比拟f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；
(2)由(1)猜测f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．
解　(1)f(1)＝2，g(1)＝，f(1)>g(1)，f(2)＝，g(2)＝，f(2)>g(2)，f(3)＝，g(3)＝，f(3)>g(3)．
(2)猜测：f(n)>g(n)(n∈N*)，即×××…×>.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，上面已证．
②假设当n＝k时，猜测成立，即
×××…×>，
那么当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝×××…××>＝＝.
因为<，所以>＝g(k＋1)，所以当n＝k＋1时猜测也成立．综上可知，对n∈N*，猜测均成立．
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